孫遠(yuǎn)韜，陳凱歌，章增增，張 氫，秦仙蓉

（同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海201804）

近年來，板料成形技術(shù)憑借其高效、高利用率等特點(diǎn)，在汽車、航空、航天等領(lǐng)域得到了極大的推廣［1］。板料成形過程中，如果幾何參數(shù)、成形工藝等選擇不合理將會導(dǎo)致成形件發(fā)生破裂、起皺和回彈等缺陷，因此，成形過程中，有必要對設(shè)計及工藝方案進(jìn)行優(yōu)化。目前，針對板料成形的確定性優(yōu)化技術(shù)已經(jīng)取得了較為成熟的結(jié)果［2-4］。然而，工程實(shí)際中存在著諸如材料性能、沖壓工藝等不確定性因素，最終影響著成形質(zhì)量［10］。Sun等［5］針對汽車薄壁結(jié)構(gòu)材料性能、沖壓工藝等的不確定性，提出了一種多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法，提高了薄壁結(jié)構(gòu)的成形質(zhì)量。Ledoux等［6］將不確定性設(shè)計參數(shù)考慮為隨機(jī)分布，對U型件的成型過程進(jìn)行了可靠性分析和優(yōu)化設(shè)計，并獲得了較為滿意的結(jié)果。研究結(jié)果表明，考慮不確定性的板料成形優(yōu)化設(shè)計更能反映實(shí)際情況。

為進(jìn)一步控制成形質(zhì)量對不確定性因素的敏感程度，Aharon等［7］指出可采用穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計方法。Li等［8］研究了成形參數(shù)偏差對響應(yīng)方差的影響，解決了疊層鋼板成形過程中工藝不確定性和材料性能變化導(dǎo)致的成型質(zhì)量問題。Li等［9］針對沖杯過程提出了6σ的穩(wěn)健設(shè)計方法，顯著提高了成型質(zhì)量的穩(wěn)健性。Wiebenga等［10］將最大主應(yīng)變作為目標(biāo)函數(shù)，對杯沖進(jìn)行3σ穩(wěn)健性優(yōu)化，提高了產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)健性。孫光永等［11］以破裂和起皺程度為目標(biāo)函數(shù)，對汽車前地板角支撐板進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化。研究結(jié)果表明，采用穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法可以顯著提高成形質(zhì)量，避免成形質(zhì)量的波動。

由于計算機(jī)輔助工程（Computer Aided Engineering，CAE）技術(shù)具有靈活、有效等優(yōu)點(diǎn)，各國學(xué)者將其引入到板料成形中以預(yù)測響應(yīng)［12-14］。然而，在采用CAE方法對板料成形進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時，存在優(yōu)化效率低、成本大等問題。為了克服上述困難，近似模型與最優(yōu)化技術(shù)結(jié)合的方法得到應(yīng)用［15-16］。Naceur等［17］采用移動最小二乘法擬合了板料成形響應(yīng)的近似模型，最終找到了較為滿意的優(yōu)化結(jié)果。卿啟湘等［18］以行李箱蓋成形為例，對比分析了Kriging模型與完全二次多項式響應(yīng)面兩種近似模型，并采用遺傳算法優(yōu)化得到了成形最佳工藝參數(shù)。對比分析可知，Kriging近似模型具有更高的建模效率、計算精度以及優(yōu)化效率，并且更適用于大規(guī)模樣本的擬合。

由上述分析可知，基于近似模型的板料成形穩(wěn)健優(yōu)化方法，提高了計算效率，同時保證了計算的精確度，且可以保證板料成形的缺陷最小、質(zhì)量穩(wěn)定可靠，本文基于Kriging近似模型的板料成形穩(wěn)健優(yōu)化方法如圖1所示。

圖1 基于Kriging近似模型的板料成形穩(wěn)健優(yōu)化方法Fig.1 Robust optimization method for sheet metal forming based on Kriging approximation model

1 基于替代模型的分析方法

近似模型是在實(shí)驗(yàn)設(shè)計的條件下，對輸出響應(yīng)的擬合。影響板料成形質(zhì)量的設(shè)計變量通常較多，為了保證近似模型精度，同時提高計算效率，需要對各參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析以選出主要參數(shù)。

1.1 靈敏度分析

板料成形過程中，溫度、摩擦系數(shù)、沖壓速度和壓邊力等因素影響著成形質(zhì)量，全面考慮所有參數(shù)并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計將導(dǎo)致優(yōu)化效率低等問題。采用靈敏度分析法，可以優(yōu)選出對板料成形質(zhì)量影響較大的參數(shù)。

在進(jìn)行靈敏度分析時，單個設(shè)計變量xi對設(shè)計響應(yīng)yj的靈敏度Vij可以表示為

1.2 Box-Behnken設(shè)計

BBD（Box-Behnken Design）試驗(yàn)設(shè)計方法是由單純二水平因子與不完全區(qū)塊設(shè)計共同組成的，如圖2所示。每個區(qū)塊中，一定數(shù)量的因子通過所有的組合進(jìn)行因子設(shè)計，其他因子保持中心值。圖2為三因子BBD，其中包括3個區(qū)塊，每個區(qū)塊中2個因子作高低水平的4個可能組合，剩下的1個因子放在中心點(diǎn)。當(dāng)因子數(shù)k等于3時，中心點(diǎn)通常需要重復(fù)3次，因此，最終試驗(yàn)總次數(shù)為4×3+3=15。

圖2 三因子Box-Behnken設(shè)計布點(diǎn)示意圖Fig.2 Layout of three factor box Behnken design

1.3 Kriging模型理論

Kriging模型是一種估計方差最小的無偏估計模型。該模型由回歸模型f(x)和隨機(jī)過程Z(x)組成，對于設(shè)計變量x與設(shè)計響應(yīng)y(x)的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中：f(x)=fT(x)β為多項式回歸模型；f(x)=[f1(x)，f2(x)，…，fk(x)]T表示回歸模型的基函數(shù)；β=[β1，β2，…，βk]T為 基 函 數(shù) 的 待 定 參 數(shù)；Z(x)為平穩(wěn)的隨機(jī)函數(shù)，用于修正模型的局部偏差。

記n個 樣 本 點(diǎn)x1，x2，…，xn，其 響 應(yīng) 為Y=[y1，y2，…，yn]T，在未知點(diǎn)x處，基于Kriging模型的響應(yīng)預(yù)測估計值y?(x)為

式中：R為對稱矩陣；R(xi，xj)為任意兩個樣本點(diǎn)xi和xj的互相關(guān)函數(shù)，常采用高斯互相關(guān)函數(shù)。

基函數(shù)的未知系數(shù)β?根據(jù)加權(quán)最小二乘法得到

Kriging模型的最終表達(dá)式為

為了保證近似模型的精度，需要進(jìn)行精度檢驗(yàn)。常用的模型精度檢驗(yàn)通常采用樣本范圍內(nèi)的決定系數(shù)R2和相對均方根誤差（RMSE）兩種標(biāo)準(zhǔn)，其表達(dá)式為

式中：ERMS為均方根誤差；為有限元計算值；為近似模型計算值；為有限元計算的平均值。當(dāng)RMSE的值接近0，R2的值接近1時，表明近似模型的誤差很小。

2 板料成形回彈穩(wěn)健性優(yōu)化建模

穩(wěn)健性設(shè)計的基本思路是通過最小化響應(yīng)方差保證成形質(zhì)量?；貜検前辶铣尚蔚闹饕毕葜?，一方面，回彈量越小，產(chǎn)品的成形質(zhì)量就越高；此外，不確定性因素引起的回彈指標(biāo)產(chǎn)生波動的減小有利于減少廢品的數(shù)目。本文分別選取回彈量S的均值與標(biāo)準(zhǔn)差作為目標(biāo)函數(shù)：

式中：S=y1(x)為設(shè)計變量與回彈量之間的Kriging近似模型。

工程中的不確定性因素大多可以用隨機(jī)因素進(jìn)行描述，采用隨機(jī)模型描述穩(wěn)健性優(yōu)化的邊界條件，需要使設(shè)計變量的約束邊界滿足一定的質(zhì)量水平：

式中：、分別為設(shè)計變量的上下限；m由穩(wěn)健性要求而定。

若xi服從隨機(jī)正態(tài)分布，且當(dāng)m=3時，則設(shè)計解的可靠度概率值約為99.7%。本文以回彈均值與方差作為優(yōu)化目標(biāo)，最終建立穩(wěn)健性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

3 算例分析

板料的沖壓成形條件不合理，會出現(xiàn)回彈、破裂和起皺等缺陷，分別用回彈量、最大減薄率和最大起皺高度進(jìn)行衡量。包容式節(jié)點(diǎn)由板料在壓力機(jī)上鍛壓成形，有利于提高桁架結(jié)構(gòu)的極限承載能力并減少腹桿與弦桿的應(yīng)力集中?？紤]到上述3種成形缺陷，結(jié)合本文所提方法對包容式節(jié)點(diǎn)的成形缺陷進(jìn)行分析并對回彈缺陷進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。

3.1 靈敏度分析

根據(jù)工程實(shí)際，初選包容式節(jié)點(diǎn)成形參數(shù)如表1所示。

表1 包容式節(jié)點(diǎn)成形待選設(shè)計變量初值Tab.1 Initial value of design variables to be selected for the forming of bulge formed joint

對上述參數(shù)初值進(jìn)行10%攝動，利用有限元分析求解變異后的響應(yīng)結(jié)果，如表2所示。

表2 參數(shù)變異后包容式節(jié)點(diǎn)成形響應(yīng)指標(biāo)結(jié)果Tab.2 Results of forming response index of bulge formed joints after parameter variation

根據(jù)式（1），求解包容式節(jié)點(diǎn)成形參數(shù)對設(shè)計響應(yīng)的靈敏度。為了綜合考慮參數(shù)3種設(shè)計響應(yīng)的影響，將同一參數(shù)對所有響應(yīng)的靈敏度絕對值進(jìn)行求和，如圖3所示。最終得出靈敏度較大的4個設(shè)計參數(shù)，即為沖壓速度、摩擦系數(shù)、板料初始溫度和模具圓角。

圖3 包容式節(jié)點(diǎn)成形設(shè)計參數(shù)對各響應(yīng)的靈敏度值絕對值之和Fig.3 The sum of the absolute value of the sensitivity values of each response of the bulge formed joint design parameters

3.2 Box-Behnken設(shè)計

基于靈敏度分析，利用BBD可得如表3所示結(jié)果，考慮到各參數(shù)量綱不同，將各設(shè)計變量歸一化處理，其中，x1，x2，x3，x4分別為沖壓速度、模具圓角、摩擦系數(shù)和板料初始溫度。

表3 BBD試驗(yàn)設(shè)計表Tab.3 BBD trial design table

在上述BBD設(shè)計表下進(jìn)行有限元仿真，得到包容式節(jié)點(diǎn)的回彈量、最大減薄率（%）以及最大起皺高度（mm），分別用y1、y2和y3表示，如圖4所示。

圖4 BBD實(shí)驗(yàn)設(shè)計響應(yīng)Fig.4 Response of BBD trial design

3.3 模型擬合與檢驗(yàn)

基于試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)，利用Matlab、對包容式節(jié)點(diǎn)成形響應(yīng)進(jìn)行Kriging近似擬合，并根據(jù)式（6）和式（7），檢驗(yàn)其精度，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，包容式節(jié)點(diǎn)成形各響應(yīng)的Kriging近似模型的RMSE的值均逼近0，R2的值逼近1，具有較高的精度，可以可靠替代有限元模型進(jìn)行后續(xù)優(yōu)化設(shè)計。

圖5 包容式節(jié)點(diǎn)成形近似模型精度評估圖Fig.5 Accuracy evaluation chart of approximate forming model of bulge formed joint

3.4 穩(wěn)健性優(yōu)化

根據(jù)包容式節(jié)點(diǎn)成形工藝實(shí)際情況，并結(jié)合3σ穩(wěn)健優(yōu)化理論，建立包容式節(jié)點(diǎn)回彈控制的穩(wěn)健優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：

式中：x=[x1，x2，x3，x4]T為設(shè)計變量，各設(shè)計變量分別服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布，設(shè)計變量xi的上下邊界則是根據(jù)3σ原則進(jìn)行約束的。

根據(jù)最小距離法，對包容式節(jié)點(diǎn)回彈多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解。構(gòu)造單目標(biāo)函數(shù)（d=2）：

式中：μminS、σminS為單目標(biāo)最優(yōu)序列求解結(jié)果。

利用遺傳算法進(jìn)行求解，解得最小距離D為0.026 9，圖6為優(yōu)化迭代曲線。

圖6 優(yōu)化迭代曲線圖Fig.6 Optimization iteration curve

為了驗(yàn)證穩(wěn)健優(yōu)化的優(yōu)越性，同時求解并給出了確定性優(yōu)化設(shè)計方案，并對比兩種方案的優(yōu)劣。不同優(yōu)化方法得到的回彈概率密度函數(shù)如圖7所示。根據(jù)圖7及實(shí)際經(jīng)驗(yàn)可知，常規(guī)優(yōu)化設(shè)計的優(yōu)化目標(biāo)更小的主要原因是，該方案最小化優(yōu)化目標(biāo)的方法是盡可能地用盡各設(shè)計變量的許用裕度，這將導(dǎo)致該設(shè)計方案的設(shè)計變量通?？拷蚵湓谠O(shè)計邊界上，這將降低設(shè)計方案可行性。反之，穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計以回彈的均值與標(biāo)準(zhǔn)差為優(yōu)化目標(biāo)，在降低回彈量的同時，提高了回彈對外界的波動的抗干擾能力。

圖7 回彈概率密度函數(shù)Fig.7 Probability density function of springback

4 結(jié)語

本文以包容式節(jié)點(diǎn)為對象，基于Kriging模型對其回彈量進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化。采用有限元法與Kriging模型擬合板料成形的近似模型。考慮工程實(shí)際中的不確定性，建立了板料成形穩(wěn)健優(yōu)化模型，對包容式節(jié)點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化。所采用的BBD實(shí)驗(yàn)方法可以減少試驗(yàn)次數(shù)，節(jié)約實(shí)驗(yàn)成本，有利于提高計算效率。所構(gòu)建Kriging近似模型擬合精度較高，可以有效地代替有限元分析。與確定性優(yōu)化方案對比可知，穩(wěn)健優(yōu)化雖然略微犧牲優(yōu)化目標(biāo)，但減少了回彈缺陷，同時提高了回彈缺陷對外界的波動的抗干擾能力。本文所提方法為板料成形穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計與生產(chǎn)實(shí)際提供了理論參考。