劉 放，徐 航，宋世杰，吳 濤，鄒逸鵬

（西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都610031）

隨著600 km/h的高速磁懸浮列車(chē)的亮相，在未來(lái)磁浮交通將成為人們的另一種出行選擇。目前，我國(guó)已建成并開(kāi)通運(yùn)營(yíng)了長(zhǎng)沙機(jī)場(chǎng)磁浮快線(xiàn)和北京地鐵S1線(xiàn)兩條中低速磁浮示范線(xiàn)路，太原、清遠(yuǎn)和成都等城市也正在規(guī)劃建設(shè)中低速磁浮線(xiàn)路。中低速磁浮交通已進(jìn)入產(chǎn)業(yè)化和工程推廣應(yīng)用的關(guān)鍵期［1］。

在現(xiàn)有磁浮建設(shè)中，磁浮軌排的鋪設(shè)技術(shù)十分不成熟。例如：在河北唐山修建的1.5 km中低速磁浮試驗(yàn)線(xiàn)，其軌排安裝采用的是傳統(tǒng)起重設(shè)備，該方法作業(yè)效率較低，并且不適用于長(zhǎng)距離及跨越橋梁時(shí)的軌排鋪設(shè)工作［2］。因此，現(xiàn)階段對(duì)磁浮軌排鋪設(shè)裝備的研究應(yīng)提上日程。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)磁浮軌排鋪設(shè)裝備研究較少，許金國(guó)［2］通過(guò)研究北京地鐵S1線(xiàn)修建時(shí)的相關(guān)資料，分析了中低速磁浮軌道施工中的各個(gè)工況，完成了中低速磁浮軌排運(yùn)駕車(chē)的整體結(jié)構(gòu)及方案設(shè)計(jì)，并對(duì)該設(shè)備的強(qiáng)度進(jìn)行了分析與計(jì)算。在車(chē)輛-橋梁及車(chē)輛-軌道耦合振動(dòng)方面，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者有著較多的研究。姚成釗［3］建立了車(chē)輛-橋梁耦合振動(dòng)系統(tǒng)，運(yùn)用FORTRAN及ANSYSY分析了車(chē)輛在橋梁不平順作用下的位移、速度及加速度響應(yīng)，研究了車(chē)重、車(chē)距、車(chē)速等參數(shù)對(duì)振動(dòng)的影響。葉爾肯·扎木提等［4］等建立了機(jī)車(chē)車(chē)輛耦合動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果相對(duì)比驗(yàn)證了理論動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。Li等［5］為了分析磁懸浮列車(chē)的影響機(jī)理，建立了中低速磁懸浮列車(chē)-軌道-橋梁系統(tǒng)的垂向動(dòng)力耦合作用模型，研究了橋梁和F軌對(duì)系統(tǒng)耦合的影響。Liu等［6］提出了一個(gè)三維磁浮車(chē)輛-橋梁耦合系統(tǒng)線(xiàn)性隨機(jī)振動(dòng)分析的框架，該框架將磁懸浮車(chē)輛的運(yùn)動(dòng)、懸浮控制系統(tǒng)、橋梁的動(dòng)力學(xué)行為和導(dǎo)軌不平順性耦合起來(lái)，方便了相關(guān)問(wèn)題的后續(xù)研究。Kim等［7］建立了一個(gè)詳細(xì)的磁浮車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型，該模型包括了3D車(chē)輛模型、柔性軌道以及具有反饋控制器的懸浮電磁鐵，對(duì)模型的失穩(wěn)現(xiàn)象進(jìn)行研究與分析。

上述研究的主要研究對(duì)象為汽車(chē)、傳統(tǒng)軌道車(chē)輛及磁浮車(chē)輛，與軌、橋系統(tǒng)的耦合動(dòng)力學(xué)。磁浮軌排鋪設(shè)裝備在磁浮軌道上行駛時(shí)也有類(lèi)似的問(wèn)題，但由于磁浮軌排鋪設(shè)裝備是一種新型設(shè)備，目前國(guó)內(nèi)外鮮有在這方面的研究。因此，本文建立了磁浮軌排鋪設(shè)裝備-軌排軌道梁的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)磁浮軌排鋪設(shè)裝備在軌排軌道梁上行駛時(shí)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了研究與分析。

1 磁浮軌排鋪設(shè)裝備及軌排軌道梁結(jié)構(gòu)

1.1 磁浮軌排鋪設(shè)裝備結(jié)構(gòu)

圖1為磁浮軌排鋪設(shè)裝備的結(jié)構(gòu)示意圖，設(shè)備主要由吊運(yùn)小車(chē)（吊鉤及行走小車(chē)機(jī)構(gòu)）、主梁以及支腿等結(jié)構(gòu)組成。一次可裝載12 m軌排5個(gè)，單次起吊質(zhì)量為4 t。

圖1 磁浮軌排鋪設(shè)裝備結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of maglev track laying equipment

1.2 軌排軌道梁結(jié)構(gòu)

中低速磁浮軌排與軌道梁整體結(jié)構(gòu)如圖2所示，下方為軌道梁，軌道梁跨徑為24 m，其截面如圖2（b）所示，軌道梁上方有兩個(gè)承載臺(tái)，通過(guò)橡膠墊和連接扣件與方管枕梁相連，方管長(zhǎng)為1.625 m，規(guī)格為0.2 m×0.2 m。位于方管枕梁之上的是磁浮軌排即F軌，單根F軌長(zhǎng)為12 m，每個(gè)軌道梁上方有兩個(gè)F軌，兩F軌之間的距離為1.370 m，軌排軌道梁總高1.915 m，總寬2.120 m。

圖2 軌排軌道梁結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of maglev track beam

2 磁浮軌排鋪設(shè)裝備-軌排軌道梁動(dòng)力學(xué)建模及數(shù)值仿真分析

2.1 建立動(dòng)力學(xué)模型

分析系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，需要將整個(gè)系統(tǒng)抽象為力學(xué)系統(tǒng)，磁浮軌排鋪設(shè)裝備受到來(lái)自軌排的不平順激勵(lì)作為系統(tǒng)的輸入，設(shè)備在其作用下產(chǎn)生振動(dòng)。分析整個(gè)系統(tǒng)的受力情況，應(yīng)用力學(xué)原理建立描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。

磁浮軌排鋪設(shè)裝備-軌排軌道梁的動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示。磁浮軌排鋪設(shè)裝備的前進(jìn)方向視圖如圖3（a）所示，整體橫向視圖如圖3（b）所示。

圖3 磁浮軌排鋪設(shè)裝備-軌排軌道梁的動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of maglev track laying equipment-maglev tr ack beam

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型基于以下假設(shè)：磁浮軌排鋪設(shè)裝備的剛度很大，故忽略其彈性變形，視為剛體；彈簧、阻尼元件的質(zhì)量較小，產(chǎn)生的慣性力對(duì)整個(gè)系統(tǒng)振動(dòng)影響極小，故忽略彈簧、阻尼的質(zhì)量；只考慮車(chē)輪在垂直于軌道方向上的運(yùn)動(dòng)；磁浮軌排鋪設(shè)裝備左右對(duì)稱(chēng)；磁浮軌排鋪設(shè)裝備行駛時(shí)為勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

基于上述假設(shè)，利用達(dá)朗貝爾原理和虛位移原理推導(dǎo)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

車(chē)體垂向運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)微分方程：

左前懸掛垂向運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)微分方程：

右前懸掛垂向運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)微分方程：

左后懸掛垂向運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)微分方程：

右后懸掛垂向運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)微分方程：

式中：m0為車(chē)體的質(zhì)量；m1為懸掛的質(zhì)量；k1為下懸掛剛度系數(shù)；k2為上懸掛剛度系數(shù)；c1為下懸掛阻尼系數(shù)；c2為上懸掛阻尼系數(shù)；y0為設(shè)備的垂向位移；y1、y2、y3、y4分別為左前、右前、左后及右后懸掛的垂向位移；y?0為設(shè)備的垂向速度分別為左前、右前、左后及右后懸掛的垂向速度；y?0為設(shè)備的垂向加速度分別為左前、右前、左后及右后懸掛的垂向加速度；w1、w2分別為左、右側(cè)軌排的不平順高度值；g為重力加速度。

2.2 軌排不平順激勵(lì)

在磁浮軌道上運(yùn)行時(shí)，受軌道隨機(jī)不平順激勵(lì)的影響，磁浮軌排鋪設(shè)裝備會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)振動(dòng)。一般采用功率譜密度描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的軌道不平順，從功率譜中可以明顯地看出，組成成分中各波的特性以及不平順的大小與頻率的變化關(guān)系［8］。目前，由于沒(méi)有具體的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有統(tǒng)一的軌排不平順功率譜。張耿等［9］對(duì)唐山低速磁浮試驗(yàn)線(xiàn)進(jìn)行了測(cè)量，研究發(fā)現(xiàn)，軌排不平順譜與德國(guó)高干擾譜類(lèi)似。因此，選擇德國(guó)高干擾譜作為軌排不平順譜，其高低不平順譜表示為式中：S(Ω)為軌排功率譜密度；Ω為軌排不平順的空間頻率；Ωc與Ωr為截?cái)囝l率；Av為粗糙度系數(shù)。

對(duì)上述不平順譜進(jìn)行頻域-時(shí)域轉(zhuǎn)換，進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了左、右側(cè)軌排的不平順模型（如圖4所示），左、右兩側(cè)的不平順?lè)稻?5～5 mm之間。

圖4 軌排不平順樣本Fig.4 The samples of track surface irregularity

2.3 數(shù)值仿真

基于上述動(dòng)力學(xué)方程，運(yùn)用Matlab-Simulink模塊建立了仿真分析模型如圖5所示。

圖5 Simulink仿真模型Fig.5 Simulink simulation model

仿真時(shí)分兩種工況：①滿(mǎn)載工況。磁浮軌排鋪設(shè)裝備在裝運(yùn)點(diǎn)將軌排裝運(yùn)上車(chē)，將軌排運(yùn)送到軌排鋪設(shè)點(diǎn)進(jìn)行軌排安裝作業(yè)。此工況下設(shè)備載有5個(gè)12 m規(guī)格的磁浮軌排，總質(zhì)量為40 t，行駛速度為20 km/h。②空載工況。磁浮軌排鋪設(shè)裝備將所載的軌排安裝完畢后，需駛回軌排裝運(yùn)點(diǎn)進(jìn)行軌排裝車(chē)作業(yè)，此工況下設(shè)備總重為20 t，運(yùn)行速度為40 km/h。仿真時(shí)用到的動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 動(dòng)力學(xué)參數(shù)Tab.1 Dynamics parameter

2.4 數(shù)值仿真結(jié)果

數(shù)值仿真得到的設(shè)備振動(dòng)響應(yīng)圖如圖6所示，圖中展示了10 s內(nèi)設(shè)備的垂向振動(dòng)情況。曲線(xiàn)1為滿(mǎn)載工況下的曲線(xiàn)，其振動(dòng)范圍在-2.01～2.08 mm之間，振動(dòng)的均值為0.15 mm；曲線(xiàn)2為空載工況下的曲線(xiàn)，其振動(dòng)范圍在-1.23～1.79 mm之間，振動(dòng)的均值為0.2 mm。兩工況的振動(dòng)范圍均小于軌排不平順?lè)担艺駝?dòng)的劇烈程度明顯小于軌排不平順?lè)?，振?dòng)在可接受范圍內(nèi)，說(shuō)明懸掛系統(tǒng)起到了較好的減振作用，使得設(shè)備能在磁浮軌道上相對(duì)平穩(wěn)地運(yùn)行。由于滿(mǎn)載時(shí)的設(shè)備總重大于空載時(shí)的設(shè)備總重，因此，滿(mǎn)載時(shí)的振動(dòng)的波動(dòng)范圍大于空載時(shí)振動(dòng)的波動(dòng)范圍。

圖6 設(shè)備振動(dòng)響應(yīng)1Fig.6 Response of maglev track laying equipment vibration 1

3 磁浮軌排鋪設(shè)裝備-軌排軌道梁聯(lián)合仿真分析

為了驗(yàn)證數(shù)值仿真結(jié)果的正確性以及研究軌排軌道梁的振動(dòng)情況，選擇用有限元和多剛體動(dòng)力學(xué)軟件聯(lián)合仿真對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行再次分析。聯(lián)合仿真的分析過(guò)程：先用有限元分析軟件對(duì)軌排軌道梁進(jìn)行柔性體模態(tài)仿真分析，得到其剛度矩陣、阻尼矩陣、質(zhì)量矩陣以及各階模態(tài)等相關(guān)數(shù)據(jù)；將得到的結(jié)果轉(zhuǎn)換為多體動(dòng)力學(xué)軟件能夠識(shí)別的格式，再將其導(dǎo)入到多體動(dòng)力學(xué)分析軟件進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。

3.1 軌排軌道梁模態(tài)分析

采用ANSYS對(duì)軌排軌道梁進(jìn)行模態(tài)分析，其動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中：［M］、［C］、［K］分別為軌排軌道梁的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣分別為軌排軌道梁的加速度、速度、位移及外力矩陣。

分析時(shí)，所求模態(tài)為自由模態(tài)，故取外力為零。阻尼對(duì)整體的振型影響較小，故取阻尼為零。得到軌排軌道梁無(wú)阻尼下自由振動(dòng)方程：

軌排軌道梁的自由模態(tài)可以理解為若干個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以表示為

式中：｛A｝為非零振幅的矩陣；ω為角頻率；φ為初相位。

代入式（8）得

求解式（10）即可得到軌排軌道梁的固有頻率及振型。軌排軌道梁的有限元模型如圖7所示，模型共有單元22 306個(gè)，節(jié)點(diǎn)104 376個(gè)。軌排軌道梁的材料屬性如表1所示。

圖7 軌排軌道梁有限元模型Fig.7 Finite element model of maglev track beam

表2 軌排軌道梁材料屬性Tab.2 Material properties of maglev track beam

對(duì)軌排軌道梁進(jìn)行模態(tài)分析，提取了軌排軌道梁的前6階模態(tài)如圖8所示。分析可知，前6階模態(tài)中，第1、3、5階為橫向振動(dòng)，第2、4、6階為垂向振動(dòng)，振動(dòng)頻率在13.47～73.19 Hz，每1階振動(dòng)中垂向振動(dòng)頻率都高于橫向振動(dòng)頻率，第1、2、3階垂向頻率分別高于同階橫向頻率3.05、7.08、11.86 Hz，這說(shuō)明軌排軌道梁的垂向剛度略好于其橫向剛度，軌排軌道梁更容易發(fā)生橫向的振動(dòng)。

圖8 軌排軌道梁整體模態(tài)及自振頻率Fig.8 Modal and natural frequency of maglev track beam

3.2 聯(lián)合仿真分析

在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，選用多體動(dòng)力學(xué)分析軟件Simpack進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析。系統(tǒng)剛?cè)狁詈戏治瞿Ｐ腿鐖D9所示，其中，軌排軌道梁為柔性體，表示為有限元模型形式。由于設(shè)備整體為剛體，模型的形狀不會(huì)影響分析，圖中將設(shè)備模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理。

圖9 剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型Fig.9 Rigid-flexible coupled dynamic model

3.3 聯(lián)合仿真結(jié)果

聯(lián)合仿真得到的設(shè)備振動(dòng)響應(yīng)圖如圖10所示，圖中展示了10 s內(nèi)設(shè)備的垂向振動(dòng)情況。曲線(xiàn)1為滿(mǎn)載工況下的曲線(xiàn)，其振動(dòng)范圍在-2.79～2.83 mm之間，振動(dòng)的均值為0.14 mm；曲線(xiàn)2為空載工況下的曲線(xiàn)，其振動(dòng)范圍在-1.84～1.87 mm之間，振動(dòng)的均值為0.19 mm。兩種工況下設(shè)備的振動(dòng)幅值均大于數(shù)值仿真的結(jié)果，這是由于聯(lián)合仿真中將軌排軌道梁考慮為柔性體，其振動(dòng)影響到設(shè)備在軌道上的運(yùn)行。對(duì)比振動(dòng)的均值，兩工況下兩種方法的均值相差均為0.01 mm，誤差分別為6.67%和5.00%，可以得出兩種仿真結(jié)果是正確的。

圖10 設(shè)備振動(dòng)響應(yīng)2Fig.10 Response of maglev track laying equipment vibration 2

設(shè)備行駛通過(guò)時(shí)，軌排軌道梁跨中垂向位移變化的曲線(xiàn)如圖11所示，曲線(xiàn)1為滿(mǎn)載工況，曲線(xiàn)2為空載工況?？梢钥闯?，前0.2 s內(nèi)，兩工況的曲線(xiàn)幾乎相同，滿(mǎn)載工況時(shí)軌排軌道梁跨中垂向位移在2.34 s時(shí)達(dá)到最大，最大位移為4.24 mm，在6.78 s時(shí)收斂，收斂位移為2.72 mm；空載工況時(shí)軌排軌道梁跨中垂向位移在1.37 s時(shí)達(dá)到最大，最大位移為3.43 mm，在4.54 s時(shí)收斂，收斂位移為2.72 mm。由于自重，兩種工況下的位移均收斂于2.72 mm，并未收斂于0 mm。

圖11 軌排軌道梁垂向位移Fig.11 Vertical Displacement of Maglev Track Beam

由文獻(xiàn)［10］可知，軌排軌道梁的變形許用值為

式中：L為軌排軌道梁的跨度。

計(jì)算可得，24 m的軌排軌道梁的許用最大變形量為6.32 mm，兩種工況下的仿真結(jié)果均小于6.84 mm，符合設(shè)計(jì)規(guī)范的規(guī)定。

軌排軌道梁的振動(dòng)是設(shè)備在軌道上行駛時(shí)設(shè)備的振動(dòng)引起的，從設(shè)備的頻域振動(dòng)曲線(xiàn)中即可得到設(shè)備是如何引起軌排軌道梁振動(dòng)的。對(duì)設(shè)備振動(dòng)響應(yīng)的時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換得到振動(dòng)頻域響應(yīng)數(shù)據(jù)。振動(dòng)頻域圖如圖12所示，曲線(xiàn)1為滿(mǎn)載工況，曲線(xiàn)2為空載工況。兩種工況頻率組成大致相同，但滿(mǎn)載工況的各頻率幅值普遍大于空載工況，兩種工況下振動(dòng)的優(yōu)勢(shì)頻率均在25 Hz以?xún)?nèi)，滿(mǎn)載工況下振幅大于0.1 mm的頻率有5.49、13.43、15.87、20.75、21.97 Hz，空載工況下振幅大于0.1 mm的頻率有5.49、14.04、17.09、20.75、21.97 Hz。而軌排軌道梁的1階橫向、垂向自振頻率為13.47 Hz和16.52 Hz，與兩種工況優(yōu)勢(shì)頻率中的13.43、15.87、14.04、17.09 Hz 4個(gè)頻率相接近。因此，在磁浮軌排鋪設(shè)裝備行駛時(shí)，軌排軌道梁的振動(dòng)主要為1階橫向或垂向的振動(dòng)。由于2階及以上的橫向、垂向振動(dòng)頻率較大，所以不容易產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的振動(dòng)。

圖12 設(shè)備振動(dòng)頻譜Fig.12 Maglev track laying equipment vibration spectrum

4 結(jié)論

本文建立了磁浮軌排鋪設(shè)裝備-軌排軌道梁的動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型，分析得出了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程，對(duì)軌排不平順頻譜進(jìn)行了選擇，并處理得到軌排不平順時(shí)域曲線(xiàn)，運(yùn)用Matlab-Simulink模塊對(duì)兩種工況下的模型進(jìn)行了數(shù)值求解。運(yùn)用有限元分析軟件ANSYS與多體動(dòng)力學(xué)軟件Simpack聯(lián)合仿真對(duì)磁浮軌排鋪設(shè)裝備-軌排軌道梁的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了分析，得到了軌排軌道梁的前6階模態(tài)、設(shè)備及軌排軌道梁的振動(dòng)幅值曲線(xiàn)，以及設(shè)備的振動(dòng)幅值頻譜。分析仿真結(jié)果得出：設(shè)備的懸掛系統(tǒng)很好地將設(shè)備振動(dòng)控制在可接受范圍內(nèi)，使得設(shè)備能夠穩(wěn)定運(yùn)行于磁浮軌道之上；由于聯(lián)合仿真將軌排軌道梁考慮為柔性體，聯(lián)合仿真得到的兩種工況下的設(shè)備振動(dòng)幅值均大于數(shù)值分析的結(jié)果，但振動(dòng)范圍及均值相差較小，說(shuō)明仿真結(jié)果是正確的；上兩種工況下軌排軌道梁的垂向位移最大值均小于規(guī)定值，符合設(shè)計(jì)規(guī)范的規(guī)定；分析軌排軌道梁的各階模態(tài)及設(shè)備振動(dòng)的頻譜，得到設(shè)備在兩種工況下行駛通過(guò)軌排軌道梁時(shí)，軌排軌道梁容易發(fā)生1階橫向和1階垂向的振動(dòng)。