劉家良

有一類應(yīng)用題，兼顧一次函數(shù)、一次方程（組）、一次不等式（組）三個(gè)方面的知識(shí). 現(xiàn)舉兩例說(shuō)明.

例1（2020·內(nèi)蒙古·通遼）某服裝專賣店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)的精品服裝. 已知2件A型服裝和3件B型服裝共需4 600元;1件A型服裝和2件B型服裝共需2 800元.（1）求A，B兩種型號(hào)服裝的單價(jià);（2）專賣店要購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)服裝60件，其中A型服裝的件數(shù)不少于B型服裝的件數(shù)的2倍，如果B型服裝打7.5折，那么該專賣店至少需要準(zhǔn)備多少貨款？

分析：（1）根據(jù)購(gòu)進(jìn)服裝的單價(jià)、件數(shù)及費(fèi)用，找出等量關(guān)系，列二元一次方程組求出A，B兩種型號(hào)服裝的單價(jià);（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型服裝m件，根據(jù)題意列出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍，設(shè)專賣店準(zhǔn)備的貨款為p元，根據(jù)題意得p關(guān)于m的一次函數(shù)式，再利用一次函數(shù)的增減性求最小值.

解：（1）設(shè)1件A型服裝x元，1件B型服裝y元，

根據(jù)購(gòu)進(jìn)服裝的單價(jià)、件數(shù)及費(fèi)用，可列方程組為[2x+3y=4 600，x+2y=2 800，]解得[x=800，y=1000.]

即A，B兩種型號(hào)服裝的單價(jià)分別為800元、1000元.

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型服裝m件，則購(gòu)進(jìn)B型服裝（60-m）件，

根據(jù)題意得[m≥2（60-m），60-m>0，]解得40 ≤ m<60.

設(shè)專賣店準(zhǔn)備的貨款為p元，則p = 800m + 1 000 × 0.75 × （60-m） = 50m + 45 000.

∵50 > 0，∴p隨m的增大而增大，

∴當(dāng)m = 40時(shí)，y最小值= 50 × 40 + 45 000 = 47 000（元）. 因此該專賣店至少需要準(zhǔn)備47 000元貨款.

點(diǎn)評(píng)：列一次函數(shù)式和列一次方程（組）一樣，都是根據(jù)題意尋找等量關(guān)系;列不等式，需捕捉題中隱含的帶不等關(guān)系的詞語(yǔ)，如題中的“不少于”.

例2（2020·貴州·安順）第33個(gè)國(guó)際禁毒日到來(lái)之際，貴陽(yáng)市策劃了以“健康人生 綠色無(wú)毒”為主題的禁毒宣傳月活動(dòng)，某班開(kāi)展了此項(xiàng)活動(dòng)的知識(shí)競(jìng)賽. 學(xué)習(xí)委員為班級(jí)購(gòu)買獎(jiǎng)品后與生活委員對(duì)話如下. （1）請(qǐng)用方程的知識(shí)幫助學(xué)習(xí)委員計(jì)算一下，為什么說(shuō)學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了;（2）學(xué)習(xí)委員連忙拿出發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確錯(cuò)了，因?yàn)樗€買了一本筆記本，但筆記本的單價(jià)已模糊不清，只能辨認(rèn)出單價(jià)是小于10元的整數(shù)，那么筆記本的單價(jià)可能是多少元？

分析：（1）由題意知學(xué)習(xí)委員購(gòu)買兩種鋼筆共用922元，根據(jù)兩種鋼筆的單價(jià)、數(shù)量（未知數(shù)）及費(fèi)用之和建立方程，求出其中一種鋼筆的數(shù)量，若是小數(shù)，則可以判定學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了;（2）筆記本的單價(jià)和兩種鋼筆的數(shù)量都是未知的，由題意建立二元一次方程，然后轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，確定筆記本的單價(jià).

解：（1）設(shè)單價(jià)為6元的鋼筆買了[x]支，則單價(jià)為10元的鋼筆買了（[100-x]）支，

根據(jù)題意，得6x + 10（100 - x） = 1 300 - 378，解得x = 19.5.

因?yàn)殇摴P的數(shù)量不可能是小數(shù)，所以學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了.

（2）設(shè)筆記本的單價(jià)為y元，根據(jù)題意得y = 1 300 - 378 - 6x - 10（100 - x） = 4x - 78.

由題意可知0 < y < 10，∴[4x-78>0，4x-78<10.]解得19.5 < x < 22. ∵x取整數(shù)，∴x = 20，21.

當(dāng)x = 20時(shí)，y = 2;當(dāng)x = 21時(shí)，y = 6. ∴筆記本的單價(jià)可能是2元、6元.

點(diǎn)評(píng)：求筆記本的單價(jià)，實(shí)則是求函數(shù)y的值，而自變量x的值是未知的，怎樣解決這兩個(gè)未知量呢？由函數(shù)y的取值范圍求得x的范圍，再結(jié)合x為正整數(shù)的特點(diǎn)，求得x的值. 這是思維的新意所在，希望同學(xué)們多揣摩、多體會(huì).

例3（2020·湖北·荊州·改編）為了抗擊新冠疫情，我市甲、乙兩廠積極生產(chǎn)了某種防疫物資共500噸，乙廠的生產(chǎn)量比甲廠多100噸. 這批防疫物資將運(yùn)往A地240噸，B地260噸，運(yùn)費(fèi)如右表（單位：元/噸）.（1）求甲、乙兩廠各生產(chǎn)多少噸;（2）設(shè)這批物資從甲廠運(yùn)往A地x噸，全部運(yùn)往A，B兩地的總運(yùn)費(fèi)為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)使總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案;（3）當(dāng)每噸運(yùn)費(fèi)均降低p元時(shí)，按（2）中設(shè)計(jì)的調(diào)運(yùn)方案運(yùn)輸，總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)5 040元，求p的最小值.

分析：（1）根據(jù)甲、乙兩廠產(chǎn)量的關(guān)系及其產(chǎn)量之和建立方程組，解得兩廠產(chǎn)量;（2）根據(jù)兩廠分別運(yùn)往兩地的數(shù)量及單價(jià)費(fèi)用，結(jié)合（1），建立y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合題意求得x的取值范圍，根據(jù)一次函數(shù)增減性得總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案;（3）由總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)5 040元建立未知數(shù)為p的不等式，求解集，得p的最小值.

解：（1）設(shè)甲廠生產(chǎn)a噸，乙廠生產(chǎn)b噸，則[a+b=500，a+100=b，]解得[a=200，b=300.]

即這批防疫物資甲廠生產(chǎn)了200噸，乙廠生產(chǎn)了300噸.

（2）由題意，得y=20x + 25 （200 - x） + 15（240 - x） + 24[260 - （200 - x）]=4x + 10 040.

由題意得[x≥0，240-x≥0，200-x≥0，x+60≥0.]解得0 ≤ x ≤ 200. ∵4 > 0，∴y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x = 0時(shí)，y值最小，即總運(yùn)費(fèi)最少. ∴總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案為：甲廠的200噸物資全部運(yùn)往B地，乙廠運(yùn)往A地240噸，運(yùn)往B地60噸.

（3）由題意得（20 - p） × 0 + （25 - p）（200 - 0） + （15 - p）（240 - 0） + （24 - p）[260 - （200 - 0）] ≤ 5 040，解得p ≥ 10. ∴p的最小值為10.

點(diǎn)評(píng)：不等式組的解集提供了一次函數(shù)的自變量x的取值范圍，為求一次函數(shù)的最值提供了條件，而求一次函數(shù)的最值往往又是獲取各類最佳方案的切入點(diǎn).