蔣德興

摘要：大專院校和中職學校的土木水利類專業(yè)都開設有測量學課程，測量學課程的學習包括測量理論知識的學習和測量操作環(huán)節(jié)的實訓，測量理論知識又分為測量基本概念和測量基本計算兩個部分，基本計算包括高差高程的基本計算、角度的基本計算、坐標的正算與反算、坡度的基本計算等等。本文就測量學中坐標正算與反算的有關(guān)問題進行了思考。

關(guān)鍵詞：測量;坐標正算;坐標反算;計算精度

中圖分類號：TU198 文獻標識碼：A文章編號：1003-2177（2021）10-0072-03

0 引言

測量學中的所有計算既要保證公式的正確、正負符號的正確和計算單位的正確，同時又要保證計算精度達到要求，計算精度指的是計算量的準確程度以及計算量的有效位數(shù)。如果計算量不正確就談不上準確程度，如果計算量正確但有效位數(shù)不夠同樣也談不上準確程度。本文就測量學中坐標正算與反算的準確程度以及有效位數(shù)的取位問題進行了探討。

1坐標正算

坐標正算，就是根據(jù)直線的邊長、坐標方位角和一個端點的坐標，計算直線另一個端點的坐標。如下圖1所示，設直線AB的邊長為DAB，坐標方位角為αAB，已知點A（起點） 的坐標為（XA、YA），則直線未知點 B（終點）的坐標計算如下[1]：

圖1 坐標正算

A、B兩點間的縱坐標增量ΔxAB=DABcosαAB……①

A、B兩點間的橫坐標增量ΔyAB=DABsinαAB……②

B點的縱坐標XB=XA+ΔxAB……③

B點的橫坐標YB=YA+ΔyAB……④

由公式①、②計算A、B兩點間的縱、橫坐標增量ΔxAB、ΔyAB時，αAB一定要是已知點A到未知點B的坐標方位角，如果是未知點B到已知點A的坐標方位角αBA，那么一定要加或減180°變成已知點A到未知點B的坐標方位角αAB。由于邊長DAB在工程上一般取三位，即精確到mm位，所以坐標增量ΔxAB、ΔyAB也精確到mm位，位數(shù)取多了意義不大，位數(shù)取少了精度不夠。坐標增量的正負取決于三角函數(shù)值的正負，而三角函數(shù)值的正負又取決于坐標方位角所在的象限。當坐標增量為正時，其正號一般要求寫上而不要省略[2]。

由公式③、④計算B點的縱、橫坐標XB、YB時，就不存在收舍了，已知點坐標和坐標增量是幾位，未知點縱、橫坐標就是幾位。

2坐標反算

坐標反算，就是根據(jù)直線兩個端點的已知坐標，計算直線的邊長和坐標方位角。如下圖2所示，若 A、B為兩已知點，其坐標分別為（XA，YA）和（XB，YB），那么根據(jù)三角函數(shù)，可以得出直線邊長和坐標方位角的計算公式為[1]：

圖2 坐標反算

ΔxAB=XB-XA……⑤

ΔyAB=YB-YA……⑥

DAB=√[（xB-xA）2+（yB-yA）2]=√（ΔxAB2+ ΔyAB2）……⑦

tanαAB=（yB-yA）/（xB-xA）=ΔyAB/ΔxAB=K……⑧

αAB=arctan（K）+常數(shù)…… ⑨

常數(shù)與AB方向所在的象限有關(guān)，即與縱、橫坐標增量的正負號有關(guān)，下表1列出了各個象限的常數(shù)值：

由公式⑤、⑥計算A、B兩點間的縱、橫坐標增量時，一定要用終點坐標減去起點坐標。對于水平距離而言，無所謂起點與終點，但對于方位角而言，必須分清楚起點與終點，如果計算的是AB方向的坐標方位角，那么A為起點，B為終點。如果坐標增量的大小沒有錯，而算錯了正負號，后面對距離的計算沒有影響，但對方位角的計算就有影響了，影響了方位角所在的象限。公式⑤、⑥在計算時無收舍，原本是幾位有效位數(shù)，其結(jié)果也取幾位有效位數(shù)。

由公式⑦計算邊長時，一定要注意根號下需要一對中括號，否則就沒有根號到第二項的值。計算結(jié)果一定有個取位問題，按照前面的敘述，已知坐標是幾位，邊長就取幾位有效數(shù)字。

由公式⑧計算方位角的正切函數(shù)值K時，那么是否K也取與已知坐標相同的位數(shù)呢？答案是否定的！我們在工程上通常說坐標、邊長以及坐標增量取三位有效數(shù)字就能保證精度了，但方位角的計算我們通常要求精度達到1″，在這里的正切函數(shù)值該取多少位呢？下面用數(shù)學中的微分方程來探討這個問題：

將公式⑧兩邊取微分得到：sec2αAB·dαAB/ρ″=dK

dαAB=（dK/sec2αAB）·ρ″=（cos2αAB）dK·ρ″，式中ρ″=206265″。

為了討論K的誤差對αAB的最大誤差影響，不妨取cos2αAB=1，下面列出表2。

從表2可以看出，當K取到小數(shù)點后面五位時，K的最大誤差（dK）為0.000005，而αAB的最大誤差（dαAB）為1.0″。在工程上，方位角的計算我們通常要求精度達到1″，所以我們得出重要結(jié)論：為了使方位角反算的精度達到1″，正切函數(shù)值K必須取到小數(shù)點后第五位。我們再來回答開始提出的問題：顯然，如果函數(shù)值K也跟著坐標取三位的話，方位角的計算誤差就有可能達到上百秒，這顯然不能滿足工程上方位角反算的精度達到1″的要求[2]。

文章的最后我要再次探討方位角的反算公式：公式⑨是利用反正切函數(shù)求方位角，事實上當邊長已經(jīng)計算出來后我們還可以反正弦或者反余弦來求方位角，其公式如下：

由公式①可得到cosαAB=ΔxAB/DAB，αAB=arccos （ΔxAB/DAB）+常數(shù)……⑩

由公式②可得到sinαAB=ΔyAB/DAB，αAB=arcsin （ΔyAB/DAB）+常數(shù)……

我們在實際工作中，通常利用反正切函數(shù)來求方位角，而不用反正弦函數(shù)或反余弦函數(shù)來求方位角，其理由如下：（1）反正弦函數(shù)或反余弦函數(shù)求方位角時，要利用邊長，而邊長是計算值，有收舍誤差。反正切函數(shù)求方位角時，不需要邊長，這樣就少了一次計算過程中的收舍誤差。（2）反正切函數(shù)求方位角時，對于任何方向的方位角計算，其計算過程中的收舍誤差都不會帶來較大的方位角誤差，而反正弦函數(shù)時，對于接近坐標南北方向的方位角的計算，由于ΔyAB的值很小，正弦函數(shù)值（ΔyAB/DAB）不會因為分母的計算誤差而帶來較大的誤差，這種情況下反正弦函數(shù)計算方位角會比較準確，這時的ΔxAB非常大，非常接近于分母的值（邊長），恰恰此時反余弦函數(shù)計算方位角的誤差會比較大;對于接近坐標東西方向的方位角的計算，由于ΔxAB的值很小，余弦函數(shù)值（ΔxAB/DAB）不會因為分母的計算誤差而帶來較大的誤差，這種情況下反余弦函數(shù)計算方位角會比較準確，這時的ΔyAB非常大，非常接近于分母的值（邊長），恰恰此時反正弦函數(shù)計算方位角的誤差會比較大。以下表3的數(shù)據(jù)為例我們進行驗證。

從上表3可以看出：對于任意的方向，反正弦、反余弦、反正切所得的方位角基本一致;對于接近南北的方向，反正弦與反正切所得的方位角一致，而反余弦所得的方位角就與之相差較大;對于接近東西的方向，反余弦與反正切所得的方位角基本一致，而反正弦所得的方位角就與之相差較大。

3 結(jié)語

本文著重探討了坐標反算中的取位和計算精確度的問題，并對方位角反算的三個公式作了對比，指出了其優(yōu)缺點。

參考文獻

[1]李仕東.工程測量[M].北京：人民交通出版社，2009.

[2]國家測繪局.工程測量規(guī)范（GB50026-2007）[S].

（責編：楊梅）