張雷明，尋之朋，張 偉

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院，江蘇 徐州221008;2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 材料與物理學(xué)院，江蘇 徐州221116)

2017年中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽[1-3]中，第12題是將輪子的軸固定到具有一定抗扭力的垂直線上，要求在扭轉(zhuǎn)線和旋轉(zhuǎn)輪子并釋放后，對(duì)這個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究。為此，我們制作了一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置，如圖1所示。如果靜止時(shí)將輪子放開，輪子受到的重力相對(duì)于豎直旋轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生力矩，方向如圖2所示，這個(gè)力矩使系統(tǒng)沿力矩方向產(chǎn)生角動(dòng)量，將要求整個(gè)系統(tǒng)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則輪子會(huì)側(cè)翻[4-5]。如果把輪子轉(zhuǎn)動(dòng)后再放開，由于輪子已經(jīng)有了一定的初始角動(dòng)量，在力矩的作用下，輪子會(huì)以懸掛輪子的垂直線為軸扭轉(zhuǎn)。本文主要對(duì)輪子圍繞垂直線扭轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行理論分析和實(shí)驗(yàn)研究。首先基于拉格朗日方程[6]從理論上推導(dǎo)輪子運(yùn)動(dòng)過程中進(jìn)動(dòng)角α所滿足的變化關(guān)系，然后在不同實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)進(jìn)動(dòng)角的變化進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，最后將實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)理論分析與實(shí)驗(yàn)相符合，從而得出有意義的結(jié)論。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

1 理論分析

在本部分，從理論上推導(dǎo)把輪子轉(zhuǎn)動(dòng)后放開以垂直線為軸扭轉(zhuǎn)過程中進(jìn)動(dòng)角和章動(dòng)角的變化關(guān)系。如圖3所示，考慮繩子無扭轉(zhuǎn)力的情況下，對(duì)輪子系統(tǒng)建立慣性坐標(biāo)系Oxyz和固連坐標(biāo)系Ox′y′z′和Ox″y″z″，并定義繞自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jx，繞赤道軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，列出系統(tǒng)的動(dòng)能為[6]

圖3 坐標(biāo)系

將系統(tǒng)的拉格朗日方程對(duì)x、y、z軸分解，得

其中Mz′、My、Mx為輪子受到的力矩沿Oxyz軸系的投影。聯(lián)立(2)、(3)、(4)式解得

2 實(shí)驗(yàn)研究

這一部分主要是對(duì)把輪子轉(zhuǎn)動(dòng)后放開繞垂直線扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀測(cè)。使用的實(shí)驗(yàn)器材有不同材質(zhì)不同長(zhǎng)度的繩子和材料、大小、粗細(xì)不同的輪子，驅(qū)動(dòng)裝置由變壓器、電動(dòng)機(jī)和信號(hào)接受裝置組成，使用的測(cè)量?jī)x器由JY-901模塊傳感器、ZG-2型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量?jī)x、周期測(cè)量?jī)x和游標(biāo)卡尺等組成。測(cè)量工作主要有四個(gè)方面：

(1)測(cè)量輪子以不同的速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，進(jìn)動(dòng)角隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，如表1所示。

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，可畫出一樣大小的兩個(gè)輪子以不同轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)時(shí)進(jìn)動(dòng)角α的實(shí)驗(yàn)值隨時(shí)間的變化曲線，分別如圖4和圖5所示。

圖4 小輪子轉(zhuǎn)速n=4.3轉(zhuǎn)/s時(shí)進(jìn)動(dòng)角變化曲線

圖5 小輪子轉(zhuǎn)速n=3.7轉(zhuǎn)/s時(shí)進(jìn)動(dòng)角變化曲線

表1 不同轉(zhuǎn)速下進(jìn)動(dòng)角隨時(shí)間變化測(cè)量值

從圖中可以看出，實(shí)驗(yàn)曲線和理論曲線基本吻合。同時(shí)，利用實(shí)驗(yàn)曲線得到轉(zhuǎn)速n=4.3轉(zhuǎn)/s和n=3.7轉(zhuǎn)/s時(shí)(13)式中的比例系數(shù)K的值分別為K=29.3和K=32.6，表明進(jìn)動(dòng)角α的變化快慢與輪子的轉(zhuǎn)速成反比，這一結(jié)論與理論分析結(jié)果是一致的。因此，我們對(duì)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)后放開繞垂直線扭轉(zhuǎn)過程中的動(dòng)力學(xué)分析是合理的。

(2)測(cè)量不同半徑的輪子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，進(jìn)動(dòng)角隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 輪子半徑不同進(jìn)動(dòng)角隨時(shí)間變化測(cè)量值

利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可擬合出半徑r=15.18cm和r=20.54cm的輪子以相同轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)時(shí)進(jìn)動(dòng)角α隨時(shí)間變化的曲線，如圖6和圖7所示。根據(jù)實(shí)驗(yàn)曲線計(jì)算得到曲線斜率分別為K=29.3和K=16.3，說明輪子半徑越大，曲線斜率越小，角速度越小。由理論分析建立的(13)式也有同樣的結(jié)論。對(duì)輪子的理論分析和實(shí)驗(yàn)相符合，說明我們成功地解釋了輪子轉(zhuǎn)動(dòng)后放開繞垂直線扭轉(zhuǎn)過程中的動(dòng)力學(xué)過程。

圖6 半徑r=15.18cm的輪子進(jìn)動(dòng)角變化曲線

圖7 半徑r=20.54cm的輪子進(jìn)動(dòng)角變化曲線

(3)測(cè)量懸點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離不同時(shí)，進(jìn)動(dòng)角隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，如表3所示。

表3 懸點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離不同時(shí)進(jìn)動(dòng)角隨時(shí)間變化測(cè)量值

表3給出了半徑相同的輪子懸點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離為l=5.12cm和l=10.34cm運(yùn)動(dòng)時(shí)進(jìn)動(dòng)角α隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，變化曲線分別如圖8和圖9所示。

圖8 小輪子懸點(diǎn)距離l=5.12cm時(shí)進(jìn)動(dòng)角變化曲線

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到懸點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離為l=5.12cm和l=10.34cm時(shí)曲線的斜率分別為K=29.3和K=43.5，說明懸點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的中心距離越大進(jìn)動(dòng)角α變化越快，和通過理論分析建立的(13)式得到的結(jié)論是一致的，圖8和圖9中實(shí)驗(yàn)曲線和理論曲線基本吻合也充分說明了這一點(diǎn)。

圖9 小輪子懸點(diǎn)距離l=10.34cm時(shí)進(jìn)動(dòng)角變化曲線

(4)如果考慮輪子長(zhǎng)時(shí)間轉(zhuǎn)動(dòng)，則轉(zhuǎn)速隨時(shí)間衰減，圖像曲線的斜率應(yīng)該不斷增大。實(shí)驗(yàn)測(cè)量曲線如圖10所示，結(jié)果顯然與理論相符。

圖10 長(zhǎng)時(shí)間轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)角變化曲線

3 結(jié)論

本文制作了扭轉(zhuǎn)陀螺模型，將輪子的軸固定到具有一定抗扭力的垂直線上，先把繩子扭轉(zhuǎn)和讓輪子繞軸旋轉(zhuǎn)，然后將系統(tǒng)釋放，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行理論分析和實(shí)驗(yàn)研究。首先利用拉格朗日方程從理論上推導(dǎo)得到輪子運(yùn)動(dòng)過程中進(jìn)動(dòng)角的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)影響進(jìn)動(dòng)角變化快慢的因素主要有輪子的初始轉(zhuǎn)速、半徑和繩子懸點(diǎn)到輪子轉(zhuǎn)軸的距離。接著在不同條件下對(duì)進(jìn)動(dòng)角的變化進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，比較發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果與理論分析結(jié)果是一致的，即短時(shí)間內(nèi)，進(jìn)動(dòng)角的變化快慢與輪子轉(zhuǎn)速成反比、與輪子半徑平方成反比、與繩子懸點(diǎn)到軸的距離成正比。實(shí)驗(yàn)研究還表明，如果輪子長(zhǎng)時(shí)間轉(zhuǎn)動(dòng)，則轉(zhuǎn)速隨時(shí)間衰減。