梁 捷 秦開宇 陳 力

?(電子科技大學(xué)航空航天學(xué)院，成都611731)

?(中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心，四川綿陽(yáng)621000)

??(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州350116)

空間機(jī)器人系統(tǒng)能在航天器在軌服務(wù)技術(shù)中發(fā)揮重要作用[1-9]。在以往的研究中，許多學(xué)者關(guān)注了空間機(jī)器人系統(tǒng)中機(jī)械臂臂桿的柔性控制問題[10-13]。但需引起注意的是，彈性關(guān)節(jié)控制被認(rèn)為比臂桿柔性控制更具挑戰(zhàn)性[14-15]。由于空間機(jī)器人關(guān)節(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中使用了大量諧波減速器等柔性元件，因此在空間機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中若不考慮關(guān)節(jié)彈性振動(dòng)，將會(huì)對(duì)控制精度及穩(wěn)定性造成很大影響[14-16]。

當(dāng)前，彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人的控制算法主要分為奇異攝動(dòng)法[14,17]和基于柔性補(bǔ)償?shù)钠娈悢z動(dòng)法兩類[18]。劉福才等[17]基于奇異攝動(dòng)法，將柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人分解為快、慢變子系統(tǒng)，并分別設(shè)計(jì)控制器，但該方法僅適用于彈性關(guān)節(jié)剛度較大的情況；陳志勇等[18]建立了基于柔性補(bǔ)償?shù)钠娈悢z動(dòng)修正模型并設(shè)計(jì)控制器，雖然可以應(yīng)用于剛度較小柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人的控制中，但隨著關(guān)節(jié)柔性剛度的進(jìn)一步減小，控制效果并不理想。再者，由于奇異攝動(dòng)分解理論的束縛，以上兩類控制算法很難運(yùn)用于位置不控、姿態(tài)受控的空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型。

近年來(lái)，滑?？刂圃诳仗祛I(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[19-21]。戴巧蓮等[22]提出了一種基于干擾觀測(cè)器的空間機(jī)器人反步控制算法，但其觀測(cè)器設(shè)計(jì)的不足是：需測(cè)量角加速度，同時(shí)要求質(zhì)量陣中主對(duì)角線上的項(xiàng)必須為常數(shù)；米根鎖等[23]設(shè)計(jì)了一種基于干擾觀測(cè)器的機(jī)械臂非線性滑?？刂撇呗?，其在干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)時(shí)假設(shè)干擾的變化是緩慢的，但這在實(shí)際應(yīng)用中很難做到。

鑒于以上研究現(xiàn)狀，為實(shí)現(xiàn)彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人在關(guān)節(jié)柔性剛度較小情況下的軌跡跟蹤及彈性振動(dòng)控制問題，本文擬基于非線性級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的概念建立雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一種基于放寬條件改進(jìn)型非線性干擾觀測(cè)器(nonlinear disturbance observer,NDO)的新型自適應(yīng)動(dòng)態(tài)終端滑?？刂扑惴傲胤答伩刂扑惴āＴ撍惴捎糜陉P(guān)節(jié)柔性剛度較小情況下空間機(jī)器人軌跡跟蹤及抑制彈性關(guān)節(jié)振動(dòng)。

1 級(jí)聯(lián)動(dòng)力學(xué)建模

目前，對(duì)空間機(jī)器人準(zhǔn)確執(zhí)行自主操作任務(wù)的要求不斷提高，這導(dǎo)致了對(duì)輕量化材料和機(jī)構(gòu)的需求增加。因此，關(guān)節(jié)柔度效應(yīng)變得非常重要，是實(shí)現(xiàn)空間機(jī)器人良好軌跡跟蹤性能的主要限制因素。文中應(yīng)用圖1所示的雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人系統(tǒng)開展改進(jìn)型NDO、新型自適應(yīng)動(dòng)態(tài)終端滑模控制系統(tǒng)及關(guān)節(jié)彈性振動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，圖1所示雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人系統(tǒng)由載體B0，左、右臂B1，B2，B3，B4及柔性關(guān)節(jié)O1，O2，O3，O4組成。建立慣性坐標(biāo)系xOy及分體Bi(i=1,2,3,4)的連動(dòng)坐標(biāo)系xiOiyi；此外，圖中θ0為系統(tǒng)載體姿態(tài)實(shí)際轉(zhuǎn)角，θim(i=1,2,3,4)為各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角變量，θi(i=1,2,3,4)為各操作臂Bi(i=1,2,3,4)剛性連桿轉(zhuǎn)角變量，P2和P4為負(fù)載。

圖1 雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人

1.1 彈性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化模型

空間機(jī)器人彈性關(guān)節(jié)一般采用諧波減速器裝置，這些齒輪機(jī)構(gòu)因其具有高減速比、體積小、重量輕、同軸裝配等優(yōu)點(diǎn)而在空間機(jī)器人應(yīng)用中受到越來(lái)越多的關(guān)注。然而，對(duì)于諧波減速器裝置，柔輪的彈性振動(dòng)是控制系統(tǒng)開發(fā)面臨的重大挑戰(zhàn)。文中將彈性關(guān)節(jié)假設(shè)為一個(gè)線性扭轉(zhuǎn)彈簧[24](如圖2所示)，θm和τm為電機(jī)轉(zhuǎn)角和電機(jī)力矩。

圖2 柔性關(guān)節(jié)示意圖

1.2 動(dòng)力學(xué)建模

考慮雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人系統(tǒng)，假設(shè)每個(gè)關(guān)節(jié)被建模為恒定剛度的線性扭轉(zhuǎn)彈簧[24]，其非線性動(dòng)力學(xué)模型是由拉格朗日公式在系統(tǒng)中存儲(chǔ)的動(dòng)能和勢(shì)能導(dǎo)出的，具體建模過程如下。

由系統(tǒng)總質(zhì)心定義及位置幾何關(guān)系，可導(dǎo)出

其中，ri(i=0,1,3)為Bi的質(zhì)心OCi(i=0,1,3)相對(duì)慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)O的矢徑，r2為載體B2與載荷P2所組成的聯(lián)合體的質(zhì)心OC2相對(duì)慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)O的矢徑，r4為載體B4與載荷P4所組成的聯(lián)合體的質(zhì)心OC2相對(duì)慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)O的矢徑，Lij(i=0,1,2,3,4；j=0,1,2,3,4)均為系統(tǒng)慣性參數(shù)的組合函數(shù)，ej為xj軸的基矢量。

取系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矢量Q=[θ0,θ1,θ2,θ3,θ4,θ1m,θ2m,θ3m,θ4m]T。系統(tǒng)總動(dòng)能為系統(tǒng)動(dòng)能Tr和電機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)能Tθ之和。因此，有

式中，Tr=T0+T1+T2+T3+T4；Tθ=Tθ1+Tθ2+Tθ3+Tθ4；載體B0、機(jī)械臂B1和機(jī)械臂B3的動(dòng)能分別為機(jī)械臂B2與載荷P2所組成的聯(lián)合體動(dòng)能為機(jī)械臂B4與載荷P4所組成的聯(lián)合體動(dòng)能為關(guān)節(jié)Oi處電機(jī)轉(zhuǎn)子的動(dòng)能其中，分別為載體B0、機(jī)械臂B1和機(jī)械臂B3的質(zhì)量；J0，J1，J3分別為載體B0、機(jī)械臂B1和機(jī)械臂B3的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m2P2和J2P2分別為機(jī)械臂B2與載荷P2所組成聯(lián)合體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m2P4和J2P4分別為機(jī)械臂B4與載荷P4所組成聯(lián)合體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω0，ω1，ω3分別為載體B0、機(jī)械臂B1和機(jī)械臂B3的角速度；ω2，ω4分別為機(jī)械臂B2與載荷P2所組成聯(lián)合體和機(jī)械臂B4與載荷P4所組成聯(lián)合體的角速度；Jθi(i=1,2,3,4)為電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；z為中間變量。

在太空微重力條件下，系統(tǒng)的總勢(shì)能U表達(dá)為

式中，Kim(i=1,2,3,4)表示第i個(gè)彈性關(guān)節(jié)的扭轉(zhuǎn)剛度。不失一般性，假設(shè)系統(tǒng)的初始動(dòng)量、動(dòng)量矩為零，即˙rC=0，于是系統(tǒng)動(dòng)量、動(dòng)量矩守恒關(guān)系可表示為

利用式(1)～式(5)、拉格朗日法及Spong假設(shè)，可導(dǎo)出雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人級(jí)聯(lián)動(dòng)力學(xué)方程

其中，式(6)為機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，式(7)為關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型，兩模型式之間通過機(jī)械臂端輸入力矩τ而連接；M(q)∈R5×5為質(zhì)量陣；R5×1為離心力、科氏力矢量，且對(duì)于任選列向量Z∈R5均滿足：θ2θ3θ4]T為載體姿態(tài)角與關(guān)節(jié)角組成的向量。θm=[θ1mθ2mθ3mθ4m]T和Jm=diag(J1mJ2mJ3mJ4m)分別為關(guān)節(jié)電機(jī)的轉(zhuǎn)角列向量和對(duì)稱正定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣；Km=diag(K1mK2mK3mK4m)為扭轉(zhuǎn)剛度陣，Kim(i=1,2,3,4)表示第i個(gè)彈性關(guān)節(jié)的扭轉(zhuǎn)剛度；τ0為載體姿態(tài)角控制力矩；τm∈R4為關(guān)節(jié)電機(jī)實(shí)際輸出力矩列向量。轉(zhuǎn)角誤差δ=θm?θ。

為更好設(shè)計(jì)雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人控制器，建立了式(6)～式(8)組成的空間機(jī)器人級(jí)聯(lián)動(dòng)力學(xué)方程，因?yàn)榧?jí)聯(lián)系統(tǒng)在限定范圍內(nèi)具有全局漸近穩(wěn)定性，因此，更加適用于彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人控制器設(shè)計(jì)[25-26]。

2 控制算法設(shè)計(jì)

本研究提出的控制策略采用基于非線性級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的方法。該方法應(yīng)用于柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人，為設(shè)計(jì)控制算法提供了一種思路。該控制算法的基本思想是：首先，將整個(gè)空間機(jī)器人系統(tǒng)視為由機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型、關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型及兩模型式之間通過機(jī)械臂端輸入力矩τ而連接組成的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)；其次，為這兩個(gè)動(dòng)力學(xué)模型分別設(shè)計(jì)具有級(jí)聯(lián)關(guān)系的內(nèi)、外環(huán)控制器；再次，將關(guān)節(jié)輸出電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角θm視為機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的控制變量，設(shè)計(jì)虛擬的電機(jī)轉(zhuǎn)角θf(wàn)m以實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制；而后，針對(duì)關(guān)節(jié)彈性易產(chǎn)生振動(dòng)的實(shí)際工況，設(shè)計(jì)τm，使電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角θm跟蹤虛擬控制量θmf，即使機(jī)械臂端的實(shí)際輸入力矩τ=Kmθm快速跟蹤機(jī)械臂的虛擬輸入力矩?τ=Kmθmf(其中?τ=τ??τ代表了關(guān)節(jié)彈性振動(dòng))，從而抑制關(guān)節(jié)彈性振動(dòng)。文中級(jí)聯(lián)控制原理如圖3所示，qd為載體姿態(tài)及關(guān)節(jié)角的期望軌跡。

圖3 級(jí)聯(lián)控制原理圖

2.1 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型控制算法設(shè)計(jì)

文中機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型式(6)采用基于放寬條件改進(jìn)型NDO的新型自適應(yīng)動(dòng)態(tài)終端滑?？刂扑惴ǎ渌惴ㄔO(shè)計(jì)思路是：為有效消除參數(shù)不確定和未知干擾對(duì)空間機(jī)器人控制性能的影響，首先設(shè)計(jì)放寬條件的改進(jìn)型NDO對(duì)系統(tǒng)集中不確定項(xiàng)D進(jìn)行估計(jì)，并證明觀測(cè)誤差的收斂性，然后，再對(duì)其與實(shí)際估計(jì)用新型自適應(yīng)終端動(dòng)態(tài)滑模控制來(lái)補(bǔ)償，系統(tǒng)控制框圖如圖4所示，d為外部擾動(dòng)力矩。

圖4 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型控制框圖

為便于算法設(shè)計(jì)，將機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型式(6)寫為

2.1.1 放寬條件的改進(jìn)型NDO設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

定義NDO觀測(cè)誤差為

由式(9)和式(10)可得觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程

觀測(cè)器增益函數(shù)選取為

其中，X為可逆的正定常數(shù)矩陣，由式(11)得

定理1：針對(duì)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型式(9)，設(shè)計(jì)改進(jìn)型NDO式(10)，其觀測(cè)器增益函數(shù)選取如式(14)，輔助矢量函數(shù)為式(15)。在下列假設(shè)成立的情況下，觀測(cè)誤差能以指數(shù)收斂率收斂于相應(yīng)區(qū)間。若擾動(dòng)為緩慢信號(hào)，即˙D≈0，則觀測(cè)誤差將收斂于零。

假設(shè)1：存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣Γ，滿足不等式

假設(shè)2：集中不確定項(xiàng)的變化率有界，即?k>

有觀測(cè)器觀測(cè)誤差全局一致最終有界，并以(1?ξ)λmin(Γ)/(2σ2)‖X‖2收斂，收斂區(qū)間半徑為2kσ2‖X‖2/[ξλmin(Γ)](0<ξ<1)。

證明：構(gòu)建改進(jìn)型NDO的正定Lyapunov函數(shù)

式(17)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

因此，得

考慮正定Lyapunov函數(shù)式(17)、式(16)和式(19)，可得

利用Rayleigh-Ritz不等式[27]

可得

即

由式(25)，得

結(jié)合Rayleigh-Ritz不等式(22)及式(21)，得

由于Γ是對(duì)稱正定矩陣，因此

由式(26)～式(28)，可得

其解析解為

由式(17)及Rayleigh-Ritz不等式(22)，得

再結(jié)合式(30)和式(31)，可得

可見，觀測(cè)誤差能以指數(shù)收斂率收斂于λmin(Γ)/(2σ2‖X‖2)相應(yīng)區(qū)間。若擾動(dòng)為緩慢信號(hào)，即≈0，則觀測(cè)誤差將收斂于零。

證畢。

然而，基于擾動(dòng)為緩慢信號(hào)的假設(shè)是很難滿足工程實(shí)際需要的，這限制了NDO的應(yīng)用，因此，針對(duì)該情況，放寬對(duì)擾動(dòng)信號(hào)變化率的限制，在新的條件下設(shè)計(jì)改進(jìn)型NDO。

假設(shè)系統(tǒng)擾動(dòng)變化率放寬為

式中，σ為未知正常數(shù)，則觀測(cè)誤差動(dòng)態(tài)方程為

求解式(34)，得

因此，觀測(cè)器誤差可收斂到球域內(nèi)

式中，r(Bd)為球域半徑，通過設(shè)計(jì)可使得r(Bd)足夠小。

2.1.2 新型自適應(yīng)動(dòng)態(tài)終端滑?？刂扑惴ㄔO(shè)計(jì)

由于空間機(jī)器人系統(tǒng)存在系統(tǒng)動(dòng)量守恒約束關(guān)系，所以上節(jié)設(shè)計(jì)的放寬條件改進(jìn)型NDO也很難精確估計(jì)系統(tǒng)集中不確定項(xiàng)D，假定補(bǔ)償后仍存在觀測(cè)誤差且滿足不等式基于此，本節(jié)設(shè)計(jì)新型自適應(yīng)終端動(dòng)態(tài)滑?？刂扑惴▽?duì)觀測(cè)誤差進(jìn)行有效補(bǔ)償。該算法顯著優(yōu)點(diǎn)為：通過采用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑模切換項(xiàng)，克服了慣常滑模趨近律需要預(yù)知不確定上界的缺點(diǎn)，因?yàn)閷?duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，不確定上界是很難預(yù)知的；同時(shí)，降低高頻抖振提高了控制精度。

該控制算法由等效控制項(xiàng)和切換控制項(xiàng)兩部分組成，具體設(shè)計(jì)步驟如下。

首先，設(shè)計(jì)滑模面

式中，e=qd?q為跟蹤誤差；α,β∈R5×5為對(duì)角正常數(shù)矩陣。

再次，設(shè)計(jì)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑模切換項(xiàng)

式中，n為正常數(shù)，g(t)為待設(shè)計(jì)的參數(shù)。

將等效控制項(xiàng)式(40)、動(dòng)態(tài)滑模切換項(xiàng)式(41)及放寬條件改進(jìn)型NDO的補(bǔ)償項(xiàng)?D結(jié)合起來(lái)，則機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型式(9)的控制律為

定理2：針對(duì)式(9)描述的雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，如果滑模面設(shè)計(jì)為式(39)，結(jié)合放寬條件的改進(jìn)型NDO式(10)，采用新型自適應(yīng)動(dòng)態(tài)終端滑模控制算法為式(42)，選取參數(shù)和的自適應(yīng)律分別為

式中，ρi(i=0,1,2)為學(xué)習(xí)率，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定收斂。

證明：取Lyapunov函數(shù)

為保證系統(tǒng)狀態(tài)能夠運(yùn)動(dòng)到滑模面上，控制算法應(yīng)滿足滑動(dòng)模態(tài)條件，即當(dāng)設(shè)計(jì)

式中，λ為正常數(shù)矩陣。

將式(43)、式(45)和式(46)代入式(44)可得

式中，n和ε為正常數(shù)。因此，被控系統(tǒng)漸近穩(wěn)定收斂。其中，推導(dǎo)過程使用的范數(shù)默認(rèn)為2-范數(shù)的平方。在工程實(shí)踐中，要進(jìn)一步降低滑?？刂浦写嬖诘母哳l顫振以提高控制精度，在式(42)中，利用函數(shù)tanh(·)代替符號(hào)函數(shù)sign(·)，則機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型式(9)的控制律式(42)改進(jìn)為

2.2 關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型控制算法設(shè)計(jì)

空間機(jī)器人關(guān)節(jié)的彈性振動(dòng)給機(jī)器人的控制帶來(lái)了很大的挑戰(zhàn)，如果在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中忽略了關(guān)節(jié)柔度的影響，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定甚至失控?；诖耍闹性O(shè)計(jì)基于力矩反饋的內(nèi)環(huán)控制律τm來(lái)抑制關(guān)節(jié)諧波減速器裝置引起的彈性振動(dòng)。?τ=τ??τ代表彈性關(guān)節(jié)的彈性振動(dòng)特性。即，設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩τm，使τ快速跟蹤?τ。

設(shè)計(jì)基于力矩反饋的關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型控制律

其中，k2,k3均為設(shè)計(jì)參數(shù)。將式(49)代入式(7)，可得

由式(50)可得

由于，k2/k3>0，因此關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型的閉環(huán)控制系統(tǒng)有界輸入、有界輸出穩(wěn)定性。

綜上所述，雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人的控制系統(tǒng)由式(7)～式(9)、式(48)和式(49)組成，控制律式(48)和式(49)存在級(jí)聯(lián)關(guān)系。相較于奇異攝動(dòng)控制方案，基于級(jí)聯(lián)法的控制算法的顯著優(yōu)點(diǎn)是：控制方案理論上不受關(guān)節(jié)剛度大小的約束，同時(shí)，能夠運(yùn)用于文中位置不控，姿態(tài)受控這種電機(jī)轉(zhuǎn)子數(shù)與關(guān)節(jié)數(shù)不對(duì)等的彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人數(shù)學(xué)模型。

3 仿真研究

為了校驗(yàn)本文提出的改進(jìn)型NDO設(shè)計(jì)、新型自適應(yīng)動(dòng)態(tài)終端滑?？刂坪蛷椥哉駝?dòng)抑制控制算法的有效性，對(duì)圖1所示的雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真選取的模型參數(shù)：載體B0的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為m0=40 kg，I0=34.17 kg·m2；兩臂首桿的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為m1=m3=40 kg，I1=I3=1.5 kg·m2；兩臂末桿的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為m2=m4=1 kg，I1=I3=0.75 kg·m2；設(shè)柔性關(guān)節(jié)Oi(i=1,2,3,4)的扭轉(zhuǎn)剛度為Ki=15 N·m/rad(i=1,2,3,4)，關(guān)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ji=0.8 kg·m2(i=1,2,3,4)；O0沿x0，y0方向距O1(O3)長(zhǎng)度為L(zhǎng)x=2 m，Ly=1 m；左、右臂B1，B2，B3，B4的桿長(zhǎng)為L(zhǎng)i=2 m(i=1,2,3,4)。

設(shè)系統(tǒng)仿真時(shí)間t=10 s，利用控制律式(48)和式(49)對(duì)圖1所示空間機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，各臂桿關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡為θ0d=sin(πt/4)/3，θ1d=cos(tπ/3)+π/3?1，θ2d=sin(tπ/3)+π/3，θ3d=cos(tπ/3)+2π/3?1，θ4d=sin(tπ/3)?π/3.θ0d，θ1d，θ2d，θ3d和θ4d的單位為rad，且系統(tǒng)初始構(gòu)型為θ(0)=[0.2,0.8,1.2,1.8,?0.8]Trad，θm(0)=[0.8,1.2,1.8,?0.8]Trad。

控制參數(shù)選擇為α=β=diag(5,5,5,5,5)；X?1=diag(120,120,80,120,80)；k2=20；k3=1；n=ε=4。

用于比較的控制方案中參數(shù)k4=k3；k5=k2；k6=k3。

參數(shù)自適應(yīng)律的初始值為ηi=0。

為驗(yàn)證文中設(shè)計(jì)級(jí)聯(lián)控制算法的有效性，仿真將對(duì)以下兩種算例進(jìn)行討論比較，仿真結(jié)果如圖5～圖10所示。

圖10 右臂關(guān)節(jié)角θ3,θ4的三種控制算法軌跡跟蹤圖(關(guān)節(jié)柔性剛度15 N·m/rad)

3.1 算例1：開啟/關(guān)閉改進(jìn)型NDO及自適應(yīng)律

圖5～圖7分別給出了文中設(shè)計(jì)控制算法在開啟和關(guān)閉系統(tǒng)中觀測(cè)器補(bǔ)償項(xiàng)?D及式(29)中參數(shù)，和自適應(yīng)律情況下，載體姿態(tài)角關(guān)節(jié)角θ0的對(duì)比情況，左臂關(guān)節(jié)角θ1和θ2的對(duì)比情況，右臂關(guān)節(jié)角θ3和θ4的對(duì)比情況，可以看出，若沒有對(duì)文中自適應(yīng)終端動(dòng)態(tài)滑?？刂扑惴ㄟM(jìn)行觀測(cè)器估計(jì)及動(dòng)態(tài)滑模參數(shù)自適應(yīng)律設(shè)計(jì)，僅通過動(dòng)態(tài)終端滑模控制會(huì)大大降低空間機(jī)器人的控制精度。

圖5 載體姿態(tài)角θ0軌跡跟蹤圖(觀測(cè)器和參數(shù)自適應(yīng)律開啟與關(guān)閉)

圖6 關(guān)節(jié)角θ1和θ2軌跡跟蹤圖(觀測(cè)器及參數(shù)自適應(yīng)律開啟與關(guān)閉)

圖7 關(guān)節(jié)角θ3和θ4軌跡跟蹤圖(觀測(cè)器及參數(shù)自適應(yīng)律開啟與關(guān)閉)

圖9 左臂關(guān)節(jié)角θ1,θ2的三種控制算法軌跡跟蹤圖(關(guān)節(jié)柔性剛度15 N·m/rad)

3.2 算例2：文中控制算法與奇異攝動(dòng)法及基于柔性關(guān)節(jié)補(bǔ)償奇異攝動(dòng)法的比較

本算例中，在相同關(guān)節(jié)剛度Ki=15.0 N·m/rad(i=1,2,3,4)情況下，分別采用文中控制算法與基于文獻(xiàn)[14]的奇異攝動(dòng)法以及基于文獻(xiàn)[18]柔性關(guān)節(jié)補(bǔ)償?shù)钠娈悢z動(dòng)法對(duì)雙臂彈性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人控制時(shí)進(jìn)行對(duì)比仿真，仿真結(jié)果如圖8～圖10所示。可以看出，當(dāng)關(guān)節(jié)柔性剛度較小時(shí)，文獻(xiàn)[18]基于關(guān)節(jié)柔性補(bǔ)償控制器的奇異攝動(dòng)控制算法和文獻(xiàn)[14]奇異攝動(dòng)控制算法在初始階段均無(wú)法跟蹤期望軌跡，而文中設(shè)計(jì)的基于非線性級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的控制算法能夠精確跟蹤期望軌跡。

圖8 載體姿態(tài)角θ0的三種控制算法軌跡跟蹤圖(關(guān)節(jié)柔性剛度15 N·m/rad)

4 結(jié)論

空間機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中若不考慮關(guān)節(jié)彈性振動(dòng)，將會(huì)對(duì)控制精度及穩(wěn)定性造成很大影響。為此，本文依據(jù)非線性級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的概念，設(shè)計(jì)了一種基于放寬條件改進(jìn)型NDO的新型自適應(yīng)動(dòng)態(tài)終端滑?？刂扑惴傲胤答伩刂扑惴āＭㄟ^仿真可知：當(dāng)關(guān)節(jié)柔性較小時(shí)，文中所提出的控制方案可精確完成空間機(jī)器人軌跡跟蹤并抑制彈性關(guān)節(jié)振動(dòng)，而此時(shí)，文獻(xiàn)[14]奇異攝動(dòng)控制算法基本失效，文獻(xiàn)[18]基于關(guān)節(jié)柔性補(bǔ)償控制器的奇異攝動(dòng)控制算法也未能完全精確跟蹤；同時(shí)，若沒有對(duì)文中機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型式的控制律式(42)進(jìn)行觀測(cè)器估計(jì)及自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑模切換項(xiàng)設(shè)計(jì)，僅靠非奇異終端滑模控制會(huì)大大降低空間機(jī)器人的控制精度。