包 涵 武花干 徐 權(quán) 張 希 陳 蓓 包伯成

(常州大學(xué) 微電子與控制工程學(xué)院, 常州 213164)

蔡氏電路(Chua′s circuit)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的非線性電路,實(shí)驗(yàn)制作簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn),通過(guò)調(diào)節(jié)一個(gè)電阻值,便可從實(shí)驗(yàn)電路中觀察到奇妙的混沌現(xiàn)象[1-2]。然而,蔡氏二極管(Chua′s diode)的等效實(shí)現(xiàn)與電感線圈的手工繞制是蔡氏電路物理制作的難點(diǎn)。

自蔡氏電路發(fā)明以來(lái),蔡氏二極管的等效實(shí)現(xiàn)和蔡氏電路的無(wú)感化實(shí)現(xiàn)是人們主要關(guān)注的兩個(gè)方面[3-4]。經(jīng)典蔡氏二極管具有三段分段線性函數(shù)形式,它是由兩級(jí)負(fù)阻抗變換器(Negative Impedance Converter, NIC)并聯(lián)連接實(shí)現(xiàn)的,已成為分立元器件實(shí)現(xiàn)的公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)[5-6]。近年來(lái),文獻(xiàn)[7]提出了由單級(jí)NIC等效實(shí)現(xiàn)的蔡氏二極管,并發(fā)現(xiàn)了簡(jiǎn)化蔡氏電路的共存多吸引子現(xiàn)象;文獻(xiàn)[8]則提出了由三級(jí)NIC等效實(shí)現(xiàn)的蔡氏二極管,并報(bào)道了蔡氏電路的隱藏吸引子現(xiàn)象。然而,無(wú)感化實(shí)現(xiàn)的原因在于手工繞制電感線圈伴有寄生的串聯(lián)等效電阻[9],使得硬件體積龐大,魯棒性差。一種最為簡(jiǎn)單的無(wú)感化實(shí)現(xiàn)方法是采用二階有源RC濾波器替換原有的二階LC振蕩器,可構(gòu)建一類形式多樣的簡(jiǎn)化蔡氏電路[10]。這類無(wú)感簡(jiǎn)化蔡氏電路硬件價(jià)格低廉、易于物理制作,且適用于IC集成。

1 經(jīng)典蔡氏電路

經(jīng)典蔡氏電路是一個(gè)三階非線性電路,如圖1所示?？梢苑殖扇糠?11′端右邊電路是一個(gè)非線性電阻RN即蔡氏二極管,22′端左邊電路是由電容C2、電感L及其串聯(lián)等效電阻r構(gòu)成的LC振蕩器,中間電路是由電阻R和電容C1構(gòu)成的簡(jiǎn)單電路。因此,從原理上講,蔡氏電路是由一階有源RC濾波器通過(guò)電阻R線性耦合二階LC振蕩器來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

圖1 經(jīng)典的三階蔡氏電路

蔡氏二極管是蔡氏電路能產(chǎn)生復(fù)雜混沌現(xiàn)象的重要元件,一般具有三段分段線性函數(shù)形式的非線性有源電阻性元件。對(duì)于圖1中11′端右邊電路,定義流過(guò)的電流為iN、兩端的電壓為uN,則蔡氏二極管的伏安關(guān)系(Voltage-Current Relation, VCR)可用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述為

iN=f(uN)

=GbuN+0.5(Ga-Gb)[|uN+Bp|-|uN-Bp|]

(1)

因此,蔡氏二極管可以用三個(gè)電路參數(shù)來(lái)表征,即內(nèi)區(qū)間電導(dǎo)Ga、外區(qū)間電導(dǎo)Gb和內(nèi)外區(qū)間的轉(zhuǎn)折點(diǎn)電壓Bp。

三階蔡氏電路有三個(gè)動(dòng)態(tài)元件即電容C1、電容C2和電感L,分別對(duì)應(yīng)于三個(gè)狀態(tài)變量即電容兩端的電壓u1、u2以及流過(guò)電感的電流iL。由電阻、電容和電感三個(gè)基本元件的VCR,應(yīng)用基爾霍夫電壓、電流兩個(gè)基本定律,可以建立蔡氏電路的狀態(tài)方程組為

(2)

式中,f(u1)是蔡氏二極管RN的VCR特性函數(shù)。在確定電路參數(shù)下,當(dāng)選取不同電阻R時(shí),蔡氏電路展現(xiàn)出周期數(shù)不同的極限環(huán)、單渦卷混沌吸引子和雙渦卷混沌吸引子等振蕩行為。

2 無(wú)感蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)方案

2.1 蔡氏二極管的等效電路

蔡氏二極管是蔡氏電路中唯一的非線性電阻性元件,其等效電路設(shè)計(jì)是蔡氏電路物理實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵。由式(1)描述的蔡氏二極管的VCR一般具有三段分段線性函數(shù)形式,由三個(gè)電路參數(shù)Ga、Gb和Bp來(lái)表征。按照Ga和Gb的數(shù)學(xué)屬性與數(shù)學(xué)關(guān)系,三段分段線性蔡氏二極管的特性曲線可分為三類,如圖2所示。圖中的S0、S+和S_為電路的直流平衡點(diǎn),它們是通過(guò)求解蔡氏二極管RN的特性曲線與負(fù)載線-1/R的交點(diǎn)來(lái)獲得的。不難觀察到,圖2中的三類特性曲線都有Ga< 0的關(guān)系式,圖2(a)中的特性曲線有關(guān)系式|Ga|>|1/R|、Gb>0,圖2(b)中的特性曲線有關(guān)系式|Ga|>|1/R|、|Ga|>|Gb|且Gb<0,而圖2(c)中的特性曲線有關(guān)系式|Ga|<|1/R|、|Ga|<|Gb|且Gb<0。

(a) |Ga|>|1/R|、Gb>0

(b) |Ga|>|1/R|、Gb<0

(c) |Ga|<|1/R|、Gb<0圖2 三類三段分段線性蔡氏二極管的特性曲線

當(dāng)蔡氏二極管采用圖2(a)所描述的特性曲線時(shí),蔡氏電路有一個(gè)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)S0和兩個(gè)穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)S±,會(huì)呈現(xiàn)自激的雙渦卷混沌吸引子,但易于產(chǎn)生依賴于初始狀態(tài)的共存多吸引子即多穩(wěn)定性現(xiàn)象[7]。相比之下,當(dāng)蔡氏二極管采用圖2(b)所描述的特性曲線時(shí),蔡氏電路有一個(gè)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)S0和兩個(gè)不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)S±,會(huì)呈現(xiàn)自激的雙渦卷混沌吸引子,但不易產(chǎn)生多穩(wěn)定性現(xiàn)象[5]。特別地,當(dāng)蔡氏二極管采用圖2(c)所描述的特性曲線時(shí),蔡氏電路有一個(gè)穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)S0和兩個(gè)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)S±,在特殊的初始狀態(tài)下會(huì)呈現(xiàn)隱藏的單渦卷混沌吸引子[8]。

利用運(yùn)算放大器的飽和電壓特性,可由運(yùn)算放大器與電阻組成的NIC等效實(shí)現(xiàn)由式(1)所描述的VCR。對(duì)應(yīng)于圖2所示的特性曲線,三類三段分段線性蔡氏二極管等效電路的原理圖如圖3所示。三類蔡氏二極管等效電路的電路參數(shù)分別滿足[5,7-8]

(a)單級(jí)NIC

(b) 兩級(jí)NIC

(c) 三級(jí)NIC圖3 三類三段分段線性蔡氏二極管的等效電路

(3a)

(3b)

(3c)

其中,Esat是運(yùn)算放大器的飽和電壓,數(shù)值可由電路仿真或硬件實(shí)驗(yàn)測(cè)得。

綜上所述,三類三段分段線性函數(shù)描述的蔡氏二極管均可由式(1)的數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)統(tǒng)一描述,并由電路參數(shù)Ga、Gb和Bp來(lái)表征。根據(jù)電路參數(shù)中內(nèi)外區(qū)間電導(dǎo)的數(shù)學(xué)屬性與數(shù)學(xué)關(guān)系,蔡氏二極管具有如圖2所示的三類特性曲線。這三類特性曲線可分別由如圖3所示的三類等效電路實(shí)現(xiàn),且對(duì)應(yīng)著三類不同的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2.2 蔡氏電路的無(wú)感實(shí)現(xiàn)

如圖1所示,蔡氏電路的22′端左邊電路是由電容C2、電感L及其串聯(lián)等效電阻r構(gòu)成的二階LC振蕩器。一般需要手工繞制磁環(huán)電感線圈來(lái)實(shí)現(xiàn)一定的電感量,其物理制作是蔡氏電路硬件實(shí)驗(yàn)的難點(diǎn)。特別是磁環(huán)電感線圈的體積和重量都較大,難以實(shí)現(xiàn)硬件電路的小型化和輕型化。為了從根本上解決經(jīng)典蔡氏電路的固有問(wèn)題,可采用二階有源RC濾波器替換圖1中的LC振蕩器,實(shí)現(xiàn)無(wú)感蔡氏電路。

常見(jiàn)的四類二階有源RC濾波器電路,如圖4所示,包括文氏橋振蕩器(也是帶通濾波器)[10-11]、有源帶通濾波器[4,10]、高通濾波器[12]以及低通濾波器[13],它們電路結(jié)構(gòu)不同且端口特性也不同,但都有著相同的元器件數(shù)量。與圖1所示的經(jīng)典蔡氏電路進(jìn)行比較,這四類基于有源RC濾波器實(shí)現(xiàn)的蔡氏電路主要特點(diǎn)是:無(wú)電感元件,易于物理制作,硬件體積小巧,適用于IC設(shè)計(jì),且有較好的魯棒性。盡管無(wú)感蔡氏電路與經(jīng)典蔡氏電路有著不同的電路結(jié)構(gòu)與電路參數(shù),但它們都能產(chǎn)生相似的動(dòng)力學(xué)行為。

(a) 文氏橋振蕩器

(b) 有源帶通濾波器

(c) 高通濾波器

(d) 低通濾波器圖4 四類二階有源RC濾波器電路

3 無(wú)感蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)案例

這里,采用圖3(a)所示的單級(jí)NIC等效電路實(shí)現(xiàn)蔡氏二極管,圖4(a)所示的文氏橋振蕩器替換二階LC振蕩器,這樣可獲得一個(gè)基于文氏橋振蕩器的無(wú)感蔡氏電路[10]。無(wú)感蔡氏電路有三個(gè)動(dòng)態(tài)元件,電容C1、C2和C3,分別對(duì)應(yīng)于三個(gè)狀態(tài)變量u1、u2和u3,其狀態(tài)方程組可表示為

(4)

其中,k=Rb/Ra表示文氏橋?yàn)V波器的反饋增益,f(u1)是由式(1)描述的三段分段線性函數(shù)。

基于文氏橋振蕩器的無(wú)感簡(jiǎn)化蔡氏電路的元件參數(shù)列于表1所示[10]。采用供電電壓為±15 V的AD711KN運(yùn)算放大器,其輸出飽和電壓的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值為Esat≈13 V。因此,蔡氏二極管RN的電路參數(shù)可計(jì)算得

表1 基于文氏橋振蕩器的無(wú)感簡(jiǎn)化蔡氏電路的元件參數(shù)

Ga=-555.56 μS,Gb=100 μS,Bp=1.754 V

(5)

式中,Ga為負(fù)值,而Gb為正值。

采用表1所示的元件參數(shù)和式(5)的蔡氏二極管電路參數(shù),并設(shè)置初始狀態(tài)u1(0)=1 mV、u2(0)=0 V和u3(0)=0 V,即給電路一個(gè)小擾動(dòng)?；贛atlab軟件,采用龍格庫(kù)塔ODE45算法[14],對(duì)式(4)描述的狀態(tài)方程組進(jìn)行數(shù)值仿真,可獲得在u1-u2和u1-u3平面上的相軌圖,如圖5所示。圖5結(jié)果說(shuō)明,基于文氏橋振蕩器的無(wú)感簡(jiǎn)化蔡氏電路可產(chǎn)生典型的雙渦卷混沌吸引子,類似于經(jīng)典蔡氏混沌吸引子。

(a)u1-u2平面

(b) u1-u3平面圖5 無(wú)感簡(jiǎn)化蔡氏電路的相軌圖

常用的Multisim電路仿真和設(shè)計(jì)軟件是一款符合行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的、具有SPICE仿真環(huán)境的軟件,得到了國(guó)內(nèi)外高校師生的廣泛好評(píng)和大量使用[15-16]。在NI Multisim 12.0軟件中建立基于文氏橋振蕩器的無(wú)感簡(jiǎn)化蔡氏電路的電路仿真模型,如圖6左邊部分所示,其中運(yùn)算放大器選用AD711KN,供電電壓為±15 V。采用表1所示的元件參數(shù),進(jìn)行Multisim電路仿真,可捕獲在兩個(gè)不同平面上的相軌圖,如圖6右邊部分所示。其中,右邊上方是在u1-u2平面上的相軌圖,右邊下方是在u1-u3平面上的相軌圖。電路仿真結(jié)果與圖7的數(shù)值仿真結(jié)果完全吻合。

圖6 電路仿真模型及其仿真得到的相軌圖

(a) u1-u2平面

(b) u1-u3平面圖7 實(shí)驗(yàn)測(cè)得的無(wú)感簡(jiǎn)化蔡氏電路的相軌圖

基于圖6所示的電路仿真模型,在面包板上制作無(wú)感簡(jiǎn)化蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)電路。選用可調(diào)精密電位器、單極性獨(dú)石電容和±15 V電壓供電的AD711KN運(yùn)算放大器。由LCR測(cè)試校正各元件參數(shù),確保與數(shù)值仿真期間所使用的一致,并由數(shù)字示波器輸出捕獲的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)測(cè)得的混沌吸引子的相軌圖,如圖7所示。

必須說(shuō)明的是,為了測(cè)試圖4(a)中電容C3的相對(duì)電壓u3,需要制作一個(gè)輔助測(cè)試電路,它由運(yùn)算放大器連接四個(gè)2 MΩ電阻的減法電路來(lái)簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)測(cè)試與數(shù)值仿真結(jié)果相符,說(shuō)明了無(wú)感簡(jiǎn)化蔡氏電路的可行性。

4 結(jié)語(yǔ)

結(jié)合蔡氏電路的模塊化設(shè)計(jì)制作思路,采用三類蔡氏二極管等效電路,并利用四類二階有源RC濾波器替換無(wú)源LC振蕩器,可組合實(shí)現(xiàn)形式多樣的無(wú)感蔡氏電路。通過(guò)具體案例分析,給出了無(wú)感蔡氏電路的數(shù)學(xué)建模、數(shù)值仿真、電路仿真、電路設(shè)計(jì)與硬件實(shí)驗(yàn)等綜合實(shí)訓(xùn)的教學(xué)范例。蔡氏電路綜合設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)可以幫助學(xué)生更好地掌握理論知識(shí),極大地培養(yǎng)創(chuàng)新能力并提高科研素養(yǎng)。