陳森　李菲

[摘 要]課堂活躍度調(diào)節(jié)是課堂管理的重要環(huán)節(jié)，對教學效果具有關鍵性影響。本文將實際控制工程中最經(jīng)典的PID控制理念應用于大學數(shù)學教學情境改善，討論如何利用PID控制來實現(xiàn)大學數(shù)學課堂活躍度的主動調(diào)節(jié)。該調(diào)節(jié)方法基于教師的主動觀察，綜合評估當前、過去和未來的活躍度跟蹤誤差信息，通過保守型、增長型和衰弱型三類具體調(diào)節(jié)手段，實現(xiàn)課堂活躍度的實時調(diào)控。

[關鍵詞]課堂活躍度;大學數(shù)學;PID控制;控制理論

[中圖分類號] G642.421 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）08-0068-05

一、研究背景

課堂活躍度調(diào)節(jié)是課堂管理中的重要環(huán)節(jié)[1-3]。適宜的課堂活躍度是輕松愉快課堂氣氛的前提，是提高學生學習熱情的環(huán)境基礎。超過適宜度的課堂活躍度會影響課堂教學效率，甚至破壞課堂教學的基本流程。同時，低迷的課堂活躍度極大地影響學生自主思考與自主學習的動力，形成教師單向輸出的情景，甚至導致長時間課堂沉默[4-5]。

大學課堂教學的受眾是已初步具備獨立思考能力、自主意識較強的大學生[6]。同時，大學課堂講授的知識具有專業(yè)性，知識體系龐大，知識內(nèi)容具有諸多細致且嚴謹?shù)姆治鐾评磉^程。大學課程具有比中小學課程更大的學習難度。因此，大學課堂活躍度往往表現(xiàn)出兩極分化的情景：在講授學科專業(yè)知識時，學生情緒低迷，注意力分散，呈現(xiàn)集體沉默情景;在討論非教學內(nèi)容話題或引導性內(nèi)容時，學生興趣高漲，注意力集中，課堂活躍度極高，甚至會出現(xiàn)課堂紀律失控、影響教學課程安排的情況。

在眾多的學科門類中，數(shù)學學科的知識體系性強并且體系結構分支繁多。數(shù)學學科的知識點具有強抽象性特點，在講授過程中無法避免冗長的邏輯推演與縝密的符號計算[7]。由于數(shù)學學科的抽象性特點，數(shù)學課堂活躍度的兩極分化現(xiàn)象顯著。如何提供一套理論方法，系統(tǒng)科學地調(diào)節(jié)課堂活躍度，是數(shù)學教學中的一個重要問題。

控制理論與反饋思想在教學系統(tǒng)中的研究已有初步的方法論結果[8]。然而，針對具體的教學系統(tǒng)調(diào)控問題，例如課堂活躍度調(diào)節(jié)，沒有細致具體的反饋設計方法與控制執(zhí)行手段。本文將立足于實際控制工程中最經(jīng)典的PID控制理念，設計課堂活躍度的主動調(diào)節(jié)方法。

二、PID控制簡介

自Watt發(fā)明蒸汽機以來，人類改造世界的技術手段不斷革新，并將這一類技術方法抽象化為控制理論。在諸多高深的控制理論中，基于跟蹤誤差的比例-積分-微分（Proportionalintegralderivative， PID）控制具有原理清晰、結構簡單、便于實現(xiàn)的特點。由于PID控制的設計便捷性與實際有效性，現(xiàn)今的諸多實際控制領域均采用PID控制結構，2017年調(diào)研結果表示目前過程控制中95%的控制器為PID類型[9]。

經(jīng)過蒸汽機控制等一系列實際問題驅(qū)動與新技術變革，Elmer Sperry于1911年提出PID控制結構，并應用于船舶的航跡與航向控制[10-11]。PID控制的基本思想是利用系統(tǒng)輸出與參考信號的誤差值信號，由其比例值、積分值與微分值的線性組合，形成負反饋的控制輸入信號，進而實現(xiàn)輸出信號跟蹤參考信號的目的。PID控制的基本結構參見圖1。

PID控制具有設計思路直觀、控制器結構簡單、待調(diào)節(jié)參數(shù)少、易于工程實現(xiàn)等優(yōu)勢。同時，近年來PID控制理論基礎進一步完善，證明了PID控制對于未知非線性動態(tài)的強魯棒性[12]，從理論角度解釋了PID控制廣泛的適用性。

三、大學數(shù)學課堂活躍度的兩個縮影

大學數(shù)學課堂活躍度呈現(xiàn)兩極分化現(xiàn)象，具體表現(xiàn)在對專業(yè)理論知識的興趣低迷以及對非教學內(nèi)容話題或引導式內(nèi)容的異?；钴S。

（一）對專業(yè)理論知識的欠活躍現(xiàn)象

大學數(shù)學課程內(nèi)容專業(yè)性強，抽象化程度高。同時，教學內(nèi)容中具有較多的邏輯推演與細致的符號計算。由于大學數(shù)學課程的這類內(nèi)在特點，學生對專業(yè)理論知識的理解速度慢、知識點消化時間長，學生集體容易對專業(yè)理論知識進入沉默狀態(tài)。

下面，以連續(xù)函數(shù)定義與樣例分析為例，說明數(shù)學課堂教學的抽象化程度以及學生欠活躍現(xiàn)象。

老師：下面介紹連續(xù)函數(shù)的基本定義。考慮函數(shù)[f（x）]與[x0∈R]，若對任意給定的[a>0]，都存在[b>0]，使得對任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）

學生：（緩慢消化連續(xù)函數(shù)定義知識點）。

老師：我們用一個連續(xù)函數(shù)的例子來說明該定義。下面證明二次函數(shù)[fx=x2]是逐點連續(xù)的?？紤]任意給定的[a>0]，我們設[b=mina6|x0|，3a3]，進而計算[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2≤2a3

學生：（消化符號計算過程，理解[b]的選取，緩慢理解連續(xù)函數(shù)定義與該例證說明過程）。

上述大學數(shù)學的教學片段反映了數(shù)學專業(yè)知識的抽象性以及學生以持續(xù)思考與吸收講授內(nèi)容為主的課堂狀態(tài)。這導致課堂活躍度低，學生的主動學習積極性下降，注意力極易分散到與教學無關的內(nèi)容上，例如電子游戲。

（二）對非教學內(nèi)容話題或引導式內(nèi)容的過活躍現(xiàn)象

由于數(shù)學課程本身的專業(yè)性與抽象性，導致數(shù)學課堂教學呈現(xiàn)欠活躍現(xiàn)象。同時，在持續(xù)欠活躍狀態(tài)下，若授課講師以實例遷移類比、課程思政升華、跨學科知識點聯(lián)動等方式，進行對教學內(nèi)容的進行非正式教學解釋或引導式教學，此時，學生往往表現(xiàn)出較高的活躍性，內(nèi)在興趣被極大激發(fā)，開啟自主獨立思考，進入團體討論模式。然而，數(shù)學課堂活躍度的突發(fā)式增長，往往造成課堂可控性下降，課堂紀律紊亂，甚至破壞正常教學流程。

下面仍以上一小節(jié)中的連續(xù)函數(shù)定義與樣例分析為例，來說明學生對非教學內(nèi)容話題或引導式內(nèi)容的過活躍現(xiàn)象。

老師：下面介紹連續(xù)函數(shù)的基本定義。首先，同學們看老師手上的這條細繩，整條細繩是連接著的，如果把它平鋪到二維平面上，形成的圖形是連續(xù)變化的。連續(xù)函數(shù)具有一個重要特征，每一段都可以用這條連續(xù)繩子代替。

學生：（被道具輔助式教學行為所吸引，注意力集中）。

老師：我們具體給出連續(xù)函數(shù)的定義?？紤]函數(shù)[f（x）]與[x0∈R]，若對任意給定的[a>0]，都存在[b>0]，使得對任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）

學生：（緩慢消化連續(xù)函數(shù)定義知識點，進入沉默狀態(tài)）。

老師：我們用一個連續(xù)函數(shù)的例子來說明該定義。下面證明二次函數(shù)[fx=x2]是逐點連續(xù)的?？紤]任意給定的[a>0]，我們設[b=mina6|x0|，3a3]，進而計算[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2≤2a3

學生：（單向接受的邏輯推演與符號計算過程，緩慢理解連續(xù)函數(shù)定義與該例子）。

老師：同學們再來看我手中的連續(xù)繩子，請兩位同學上臺，將其擺成二次函數(shù)[fx=x2]的圖像。

學生：（再次被道具輔助式教學方式吸引，躍躍欲試，兩位同學上臺）。

老師：請兩位同學將這條連續(xù)繩子擺成二次函數(shù)的形狀，下面的同學請注意看該連續(xù)繩子的變化。

學生：（非常興奮活躍，課堂活躍度增長;兩位同學順利完成連續(xù)繩子的道具演示環(huán)節(jié)）。

老師：好的，謝謝兩位同學的幫助，請兩位同學歸座。下面，我們繼續(xù)介紹連續(xù)函數(shù)的幾個重要例子以及連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。

學生：（仍然沉浸在剛才的道具演示環(huán)節(jié)，互相竊竊私語，注意力難以集中到課堂專業(yè)理論知識）。

上述的教學情境表現(xiàn)出：在講授專業(yè)理論知識時，非正式教學解釋環(huán)節(jié)（道具輔助教學）具有增加課堂活躍度、吸引學生課堂注意力的正面作用。同時，過度的引導式教學（學生親身上臺實踐）可能引起學生們的注意力分散，導致學生陷入非正式教學解釋或引導式教學環(huán)節(jié)的過度吸引狀態(tài)，私下相互討論與教學內(nèi)容無關的話題。這極大影響課堂教學紀律，導致學生對待講授專業(yè)理論知識的興趣下降，甚至出現(xiàn)無視教師的課程安排，致使課堂教學無法照常進行。

四、課堂活躍度的PID調(diào)節(jié)

應用于工程系統(tǒng)的PID控制有如下幾個特點：被控系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)并且可建模、控制器輸入值具有物理意義、控制參數(shù)可數(shù)值化、系統(tǒng)輸出可實時量測。然而，在課堂活躍度系統(tǒng)中，課堂活躍度變化動態(tài)無法建模、無法采用設備儀器實時測量活躍度、活躍度調(diào)節(jié)手段無法連續(xù)化與數(shù)值化等特點均導致了活躍度調(diào)節(jié)的困難性。本節(jié)將從上述的困難點切入，討論基于PID控制的大學數(shù)學課堂活躍度調(diào)節(jié)方法。

（一）課堂活躍度實時量測

課堂活躍度的實時測量是反饋控制設計的前提條件。盡管目前已有采用視頻分析技術研究問答互動等課堂行為的方法[13]，但仍停留在離線處理階段，無法做到實時監(jiān)測與分析。目前市場上還缺少成熟的課堂活躍度檢測設備，無法實時獲得課堂活躍度的數(shù)值化評估值。實時量測量的缺失對設計活躍度調(diào)節(jié)方法帶來了挑戰(zhàn)。

目前，在授課過程中，課堂活躍度的量測工作由授課教師發(fā)揮主觀能動性，基于眼、耳等人體基本傳感器，利用對話、提問、觀察等方式，最后借助個人經(jīng)驗來判斷目前的課堂活躍程度。

從控制理論角度，這種測量方式是帶有量測噪聲、量測時延的。本文不再進一步探討量測的有效性以及量測濾波等問題。下文將在教師自主量測的基礎上，進一步討論活躍度的PID控制設計。

（二）課堂活躍度誤差以及微分項、積分項分析

跟蹤誤差信號是PID控制的核心概念。同時，針對誤差信號的微分運算與積分運算是PID實現(xiàn)中的兩個重要計算過程。下面就針對課堂活躍度動態(tài)系統(tǒng)，具體討論上述概念。

在課堂活躍度動態(tài)系統(tǒng)中，定義活躍度誤差信號為[E（t）?Y（t）-R（t）]，其中[t]為當前時刻，[Y（t）]為教師自主量測的課堂活躍度，[R（t）]為課堂活躍度的最佳值。由于不同教學主題的課堂最佳活躍度不同，甚至同一節(jié)課的不同環(huán)節(jié)也會有不同的最佳活躍度，因此[R（t）]為一個隨課程主題、課程內(nèi)容和課程進度變化的時變值。與課堂活躍度的測量值類似，目前僅能依靠教師自主判斷當前課堂的最佳活躍度，無法采用設備儀器自動測算其具體數(shù)值。

基于活躍度誤差信號的定義，可得其微分值[E（t）]與積分值[0tE（s）ds]。由于目前無法采用設備量化課堂活躍度動態(tài)系統(tǒng)中的活躍度誤差，因此其微分值與積分值也無法具體量化。但是從微分與積分的數(shù)學內(nèi)涵出發(fā)，可定性地分析活躍度誤差微分信號與積分信號的意義：

1）活躍度誤差微分信號表示當前活躍度誤差的變化情況，這個值與活躍度誤差的具體取值無關。微分值可預測下一步的課堂活躍度變化走勢。例如：學生群體由于非正式教學話題處于活躍狀態(tài)，但是其活躍度隨時間下降，活躍度誤差的微分值為負數(shù)，并且課堂活躍度曲線的走勢為逐漸降低。

2）活躍度誤差積分信號表示活躍度誤差隨時間的累積值，表現(xiàn)了已過去時間中的課堂活躍度。例如：在前幾次課堂教學中或本次教學的前幾部分中，某班級學生群體體現(xiàn)出活躍度低下，注意力渙散的情況，那么活躍度誤差積分信號為多次負值誤差信號的累積。

根據(jù)活躍度誤差微分值與積分值的基本意義討論，教師可自主結合課程內(nèi)容、課堂環(huán)境等因素，推斷目前的微分值與積分值信號大小。

（三）課堂活躍度的PID控制量

基于上述的課堂活躍度誤差信號及其微分值與積分值，根據(jù)PID控制的基本原理可設計課堂活躍度調(diào)控輸入[Ut=-kpEt-kdEt-ki0tE（s）ds]，其中[Ut]表示當前時刻教師需要主動制造的課堂活躍度要素大小，正數(shù)[kp]，[kd]和[ki]分別為比例、微分、積分反饋增益系數(shù)。注意到，當[Ut<0]時，表示教師應當減少目前課堂中的活躍度要素，從而降低當前課堂的活躍度;當[Ut>0]時，表示教師應當增加目前課堂中的活躍度要素，增加當前課堂的活躍度。課堂活躍度的PID調(diào)節(jié)利用了當前課堂活躍度信息（[Et]）、未來課堂活躍度預測信息（[Et]）和過去課堂活躍度信息（[0tE（s）ds]）。比例、微分、積分反饋增益系數(shù)表示教師對三種信號的組合加權與綜合評估過程。

所設計的PID調(diào)節(jié)控制量是連續(xù)取值的，然而目前難以量化控制值與實際教學方式的關聯(lián)，并且在課堂教學中實現(xiàn)連續(xù)地控制是十分困難的。因此，該理論方法在當下的實踐中，僅能靠切換教學手段與方式，在離散意義下實現(xiàn)PID控制調(diào)節(jié)。下一小節(jié)將討論三類能夠改變課堂活躍度的具體方法。

（四）課堂活躍度PID調(diào)節(jié)的具體方法

針對不同學科的教學內(nèi)容與不同專業(yè)背景的學生群體，增加或減少課堂活躍度的教學手段與方法會有差異。在不同學科的教學過程中，同一個教學方式甚至會引發(fā)截然相反的課堂活躍度變化。下面，針對大學數(shù)學課堂教學，討論調(diào)節(jié)課堂活躍度的三類方法：保持型、增長型和衰弱型。

1）保持型：保持當前課堂活躍度的方法類型，包括但不限于舉例說明、輔助畫圖說明、推論說明。

2）增長型：增加當前課堂活躍度的方法類型，包括但不限于道具輔助教學、實事聯(lián)動教學、跨學科聯(lián)動教學、主動問答。

3）衰弱型：減少當前課堂活躍度的方法類型，包括但不限于長篇的邏輯推演、艱深專業(yè)知識點講解、紀律整肅、敘事式說理。

結合上一小節(jié)所述的課堂活躍度PID調(diào)節(jié)控制量，教師在授課過程中可根據(jù)本節(jié)中討論的具體方法來調(diào)節(jié)課堂活躍度。

綜上，課堂活躍度的PID調(diào)節(jié)方法結構如圖2所示。利用教師自主觀測的當前活躍度信息以及目前的最佳活躍度參考值，計算活躍度誤差信號;進一步，然后根據(jù)以往的誤差信息，獲得其微分值與積分值，從而綜合分析當前、過去與未來的誤差信號信息，得到PID控制量;最終利用三類主動調(diào)節(jié)手段，實現(xiàn)活躍度系統(tǒng)的PID控制輸入。

五、案例分析

下面，以第3節(jié)中討論的連續(xù)函數(shù)定義與樣例分析的教學過程為例，說明課堂活躍度PID調(diào)節(jié)的具體實施過程。

初始課堂活躍度在最佳值附近，老師開始授課。

老師：連續(xù)函數(shù)，顧名思義，表示函數(shù)值隨著自變量變化不會產(chǎn)生跳躍性或者間斷性的改變。（概念性簡介——保持型）

學生：（吸收連續(xù)函數(shù)的概念性介紹）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度保持在參考最佳值附近;經(jīng)過綜合評估，可順利進行下一步教學內(nèi)容。

老師：我們給出連續(xù)函數(shù)的具體定義：考慮函數(shù)[f（x）]與[x0∈R]，若對任意給定的[a>0]，都存在[b>0]，使得對任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）

學生：（緩慢消化連續(xù)函數(shù)定義知識點，部分學生興趣度下降）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度開始下降;經(jīng)過綜合評估，采用增強型方法提升課堂活躍度。

老師：我們用一個連續(xù)函數(shù)的例子來說明該定義。最簡單的二次函數(shù)[fx=x2]是連續(xù)函數(shù)，這是符合直觀感受的。那么如何從定義出發(fā)來證明這個二次函數(shù)是連續(xù)的？（主動問答——增強型）

學生：（開始把注意力轉(zhuǎn)向思考該問題;課堂活躍度開始回升）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度開始回升。雖然活躍度誤差為負值，但其微分值為正值，經(jīng)過綜合評估，可進行下一步教學內(nèi)容，采用思路介紹的方法，逐步引入。

老師：從連續(xù)函數(shù)的定義中可以看出[b]的存在性是一個關鍵問題。由于函數(shù)形式已知，我們嘗試用計算的辦法來給出[b]的具體取值。（思路介紹——保持型;將衰弱型的邏輯推演過程轉(zhuǎn)化為多個保持型過程，利于課堂活躍度的調(diào)節(jié)）

學生：（理解選取[b]的意義，開始思考如何計算[b]）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度保持在最佳參考值附近;經(jīng)過綜合評估，采用拆分法分解冗長的邏輯推演過程，利于學生逐步理解知識內(nèi)容。

老師：首先我們計算當[x∈[x0-b， x0+b]]時，[fx-f（x0）]的上界。結合三角不等式，可得[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2。]（邏輯推演——衰弱型;由于將冗長的推演過程拆分，減少了課堂活躍度的衰減程度）

學生：（理解該不等式的推理過程）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度開始下降。此時，活躍度誤差及其微分、積分值均為負值，經(jīng)過綜合評估，需要進一步具體分解邏輯推演過程，防止課堂活躍度過低。

老師：我們想要不等式的右端小于[a]，一個簡單的想法就是不等式右端的每一項都小于等于[a3]。因此，我們得到一種的[b]選取方法[b=mina6|x0|，3a3]。（邏輯推演——衰退型）

學生：（理解接受[b]值的由來，并且明白[b]值選取的基本要求）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度進一步下降。此時，課堂活躍度有過低的風險，經(jīng)過綜合評估，采用主動問答方法，進一步確認課堂活躍度，并激發(fā)課堂互動。

老師：基于上面的討論，考慮任意給定的[a>0]，我們設[b=mina6|x0|，3a3]，此時是不是有[fx-f（x0）≤2a3

學生：對（消化了整體推演與計算邏輯，主動回答教師提問;課堂活躍度回升）。

在上述課堂教學過程，要求教師實時自主評估當前課堂活躍度與最佳參考值之間的差距，通過保持型、增長型和衰弱型三類調(diào)節(jié)方法，實現(xiàn)課堂活躍度的實時調(diào)節(jié)，同時完成既定的教學任務與目標。

六、結語

本文從工程控制中的經(jīng)典方法PID控制出發(fā)，討論了大學數(shù)學課堂活躍度PID調(diào)節(jié)。通過具體地分析課堂活躍度誤差信號及其微分值與積分值，建立活躍度PID調(diào)節(jié)控制規(guī)律。進一步，簡述了三類調(diào)節(jié)課堂活躍度的方法，并且以連續(xù)函數(shù)教學為例，分析活躍度的PID調(diào)節(jié)方法。

由于目前科學測量與標定課堂活躍度的手段欠缺，本文僅從基本概念、方法論的角度給出了課堂活躍度PID調(diào)節(jié)的設計與實施過程。下一步的研究工作將聚焦到課堂活躍度動態(tài)系統(tǒng)的量化分析以及控制器的數(shù)值性處理。

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[責任編輯：林志恒]