高宏

（清華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院精密儀器系，北京 100084）

1 引言

人類在自然界和社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中所遇到的各種運(yùn)動(dòng)大體可分為確定性運(yùn)動(dòng)和隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)兩大類。確定性運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的變化過程可用一個(gè)確定性的時(shí)間函數(shù)進(jìn)行描述，如地球圍繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)的數(shù)學(xué)模型可用橢圓軌道方程準(zhǔn)確描述。與確定性運(yùn)動(dòng)相反，隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間不停地做無規(guī)律的變化，無法用確定性的時(shí)間函數(shù)進(jìn)行描述，如液體中懸浮微粒的布朗運(yùn)動(dòng)，電子元件產(chǎn)生的熱噪聲和股票市場中的價(jià)格波動(dòng)等。牛頓力學(xué)以質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象，直接以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為出發(fā)點(diǎn)來研究質(zhì)點(diǎn)的確定性運(yùn)動(dòng)規(guī)律；愛因斯坦雖然對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行了研究，但他以大量布朗粒子作為研究對(duì)象，建立了描述和闡明大量質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)統(tǒng)計(jì)特性的布朗運(yùn)動(dòng)理論，但不能揭示單個(gè)布朗粒子位移隨時(shí)間演變的特征及規(guī)律。因此，現(xiàn)有力學(xué)和物理學(xué)理論中缺少質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)內(nèi)容，無法為自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)提供描述單個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論、方法和工具，導(dǎo)致其它學(xué)科在研究和分析動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)遇到難以克服的困難[1]。

本文基于人們對(duì)“隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的變化（速度）是完全隨機(jī)的”這一經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)認(rèn)識(shí)，提出了“質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)速度等于白噪聲”這一隨機(jī)運(yùn)動(dòng)定律，在此基礎(chǔ)上建立了質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)理論，不僅可描述并揭示單個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象、特征及規(guī)律，而且可為自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)解決實(shí)際問題提供理論、方法和工具。

2 基本概念

定義：設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程樣本函數(shù)n(t)的均值為零，如果其自相關(guān)函數(shù)

式中τ為時(shí)間間隔，N0為正實(shí)常數(shù)，δ(τ)為單位沖擊函數(shù)，則稱n(t)為白噪聲。

式(1)表明，白噪聲n(t)僅在τ=0 時(shí)才有相關(guān)性，在任何兩個(gè)不同時(shí)刻的取值互不相關(guān)。故白噪聲n(t)的時(shí)域波形為一串寬度無限窄、方向和大小變化極快的隨機(jī)脈沖。

根據(jù)維納-辛欽定理，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，可得白噪聲n(t)的功率譜密度

即白噪聲n(t)的功率譜密度在整個(gè)頻率軸上均勻分布。N0的物理意義代表白噪聲信號(hào)在單位電阻上產(chǎn)生的平均功率。

上述白噪聲n(t)的定義是從自相關(guān)函數(shù)的角度給出的，并未規(guī)定白噪聲n(t)在不同時(shí)刻取值的概率分布，因此白噪聲n(t)可以有各種不同的概率分布。如果n(t) 在不同時(shí)刻的函數(shù)值服從（0，σ2）正態(tài)分布，則稱n(t)為高斯白噪聲，此時(shí)N0=σ2。高斯白噪聲在任意兩個(gè)時(shí)刻不僅互不相關(guān)，而且相互獨(dú)立。

白噪聲的功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)為常量，表示其平均功率為無限大，這在實(shí)際中是不存在的。白噪聲與“質(zhì)點(diǎn)”概念一樣，是一種理想化的模型，由于其功率譜密度為“常數(shù)”，自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)“沖擊函數(shù)”，因此在數(shù)學(xué)上具有處理簡單、計(jì)算方便等優(yōu)點(diǎn)。

3 質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)分類

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)位移、速度和加速度的變化情況，可將質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)分為位移隨機(jī)運(yùn)動(dòng)、速度隨機(jī)運(yùn)動(dòng)和加速度隨機(jī)運(yùn)動(dòng)三種情況。

設(shè)x(t)為隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的位移，則位移隨機(jī)運(yùn)動(dòng)可表示為

式中n(t)為式(1)定義的白噪聲。

速度隨機(jī)運(yùn)動(dòng)可表示為

式中v(t)為隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度。

加速度隨機(jī)運(yùn)動(dòng)可表示為

式中a(t)為隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)加速度。

4 質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)定律

觀察自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)中遇到的各種動(dòng)態(tài)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，如布朗粒子位移[2]、光纖陀螺隨機(jī)游走誤差[3]和股票市場價(jià)格[4]，各種參量在下一時(shí)刻的方向和大小變化是完全隨機(jī)的，均不能在結(jié)果出現(xiàn)之前預(yù)測其確切結(jié)果，即隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的速度沒有確定性的規(guī)律，而且任何兩個(gè)不同時(shí)刻的速度互不相關(guān)。因此，本文研究對(duì)象為式(4)定義的速度隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。

基于人們對(duì)“隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的變化（速度）是完全隨機(jī)的”這一經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)，以及愛因斯坦“布朗粒子在不同時(shí)間間隔中的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立”假設(shè)[5]和實(shí)際布朗粒子瞬時(shí)速度的測量結(jié)果[6]，提出“質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度等于白噪聲”這一隨機(jī)運(yùn)動(dòng)定律（基本公理），用數(shù)學(xué)公式表示為

式中x(t)為隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的位移，v(t)為隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，n(t)為式（1）定義的白噪聲。

表面上看，隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度v(t)似乎是毫無規(guī)律可言，但是通過觀察所有時(shí)刻的瞬時(shí)速度v(t)，就會(huì)呈現(xiàn)出某種固有的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，如瞬時(shí)速度v(t)的均值為零，而且會(huì)呈現(xiàn)出某種概率分布，如布朗粒子的瞬時(shí)速度v(t)服從正態(tài)分布。

5 質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)

隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)只研究質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)運(yùn)動(dòng)過程中的位置與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系，不追究質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)發(fā)生的原因，因而不涉及質(zhì)點(diǎn)的受力。

5.1 隨機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

設(shè)x(0)=0，由式(6)可直接寫出質(zhì)點(diǎn)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

式中的白噪聲n(t)定義在[-∞，+∞]上，由于僅在區(qū)間[0，t]對(duì)其進(jìn)行積分，從信號(hào)分析的角度看對(duì)n(t)進(jìn)行了非線性處理，因此質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為非線性時(shí)變數(shù)學(xué)模型。

基于式(7)的模型，不僅可研究質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的特征及規(guī)律，而且還能預(yù)測質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)未來的發(fā)展趨勢和變化結(jié)果。

5.2 瞬時(shí)速度和平均速度

式(6)的速度v(t)為質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，在數(shù)學(xué)上它是位移x(t)的一階導(dǎo)數(shù)。瞬時(shí)速度v(t)的波形與白噪聲n(t)的波形相同，為一串均值為零、寬度無限窄、方向和大小變化極快的隨機(jī)脈沖。質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)在[0，t]區(qū)間的平均速度為

白噪聲的功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)為常量，表示白噪聲信號(hào)中包含有所有頻率的諧波分量。在[0，t]區(qū)間被整周期截?cái)嗟闹C波分量的算數(shù)平均值（直流分量）為零；在[0，t]區(qū)間不能被整周期截?cái)嗟闹C波分量會(huì)因頻譜泄露效應(yīng)而產(chǎn)生直流分量，特別是周期遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于t的諧波分量，其波形在[0，t]區(qū)間就相當(dāng)于直流分量。

根據(jù)概率論大數(shù)定律[7]，算數(shù)平均值反映了白噪聲中的確定性成分，當(dāng)t充分大時(shí)，收斂于一個(gè)接近白噪聲均值的常數(shù)。

式中N0為白噪聲n(t)的平均功率。

5.3 位移公式

由式(8)，可得質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的位移公式

由式(10)可以看出，質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)位移x(t)的運(yùn)動(dòng)特性完全取決于其平均速度的特性。當(dāng)t較小時(shí)，x(t)波動(dòng)劇烈，表現(xiàn)出很強(qiáng)的隨機(jī)性；當(dāng)t逐漸變大時(shí)，x(t)的波動(dòng)幅度逐漸變??；當(dāng)t充分大時(shí)，x(t)的運(yùn)動(dòng)軌跡趨于一條斜率為的直線，x(t)就成為牛頓質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)描述的勻速直線運(yùn)動(dòng)。

5.4 瞬時(shí)加速度

由式(6)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)定律，質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)加速度為

即隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)加速度a(t)為白噪聲n(t)的一階導(dǎo)數(shù)。

由于白噪聲信號(hào)n(t)的波形為一串寬度無限窄、方向和大小變化極快的隨機(jī)脈沖，因此n(t) 的一階導(dǎo)數(shù)（無窮大）在數(shù)學(xué)上并不存在，但這不妨礙我們探討a(t)的性質(zhì)。

對(duì)白噪聲n(t)在t時(shí)刻的正脈沖求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)間從左邊趨于t時(shí)，它是一個(gè)強(qiáng)度為無限大的正脈沖；當(dāng)時(shí)間從右邊趨于t時(shí)，它是一個(gè)強(qiáng)度為無限大的負(fù)脈沖。因此，質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)加速度a(t)波形是一串均值為零、寬度無限窄、幅值無限大、方向變化極快的隨機(jī)脈沖。

5.5 位移自相關(guān)函數(shù)

由式(7)的質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可推導(dǎo)出其位移自相關(guān)函數(shù)

式中τ為時(shí)間間隔。

式(12)表明，質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的位移x(t) 在很寬的范圍內(nèi)具有相關(guān)性，表明x(t)具有可預(yù)測性。事實(shí)上，根據(jù)式(10)的位移公式，我們根據(jù)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)過去的平均速度vˉˉ(ˉt)ˉˉ，就能對(duì)未來的位移進(jìn)行預(yù)測。

5.6 位移、速度和加速度的功率譜密度

隨機(jī)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象雖然在時(shí)域無法用確定性的數(shù)學(xué)解析式來描述，但是在頻域卻可用確定性的數(shù)學(xué)解析式表示。例如白噪聲n(t)的功率譜密度Sn(ω)在頻域就可用式(2)的確定性解析表達(dá)式描述，因此，質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度v(t)的功率譜密度為

式中N0為白噪聲n(t)的平均功率。

從信號(hào)與系統(tǒng)的角度看，質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的位移x(t)和瞬時(shí)加速度a(t)，可看成是白噪聲n(t)分別激勵(lì)積分系統(tǒng)和微分系統(tǒng)時(shí)產(chǎn)生的輸出[8]，因此位移x(t)和瞬時(shí)加速度a(t)的功率譜密度分別為

可以看出，質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)位移x(t)的功率譜密度Sx(ω)與ω2成反比，x(t)為能量集中在低頻段的紅噪聲，表明x(t)具有很大的慣性，在一定時(shí)間和條件下會(huì)保持原來的運(yùn)動(dòng)趨勢和狀態(tài)；質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)加速度a(t)的功率譜密度Sa(ω)與ω2成正比，表明a(t)為能量集中在高頻段的紫噪聲。

隨機(jī)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移x(t)的功率譜密度Sx(ω)與ω2成反比，表明x(t)具有1/f分形特征和標(biāo)度變換下的結(jié)構(gòu)不變性（自相似性）。

6 大量隨機(jī)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)特性

由式(7)的質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可寫出描述大量質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)變量模型

式中X(t)為隨機(jī)變量，亦即大量樣本軌道x(t)的集合；N(t)為式(1)定義的白噪聲隨機(jī)過程隨機(jī)變量。

白噪聲為各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，N(t)的統(tǒng)計(jì)平均與n(t)的時(shí)間平均在概率意義上相等，因此，可計(jì)算出X(t)的數(shù)學(xué)期望和方差

對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)，N(t)為服從（0，σ2）正態(tài)分布的高斯白噪聲隨機(jī)過程，則X(t) 服從（0，σ2t）正態(tài)分布，與愛因斯坦布朗運(yùn)動(dòng)理論完全一致。

7 質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)

牛頓運(yùn)動(dòng)定律是質(zhì)點(diǎn)做機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)遵從的基本定律，本節(jié)應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析和解決單個(gè)布朗粒子的動(dòng)力學(xué)問題。

1827 年，英國植物學(xué)家布朗使用顯微鏡觀察懸浮在液體中的花粉微粒時(shí)，發(fā)現(xiàn)微?？偸遣煌５卦谧鰺o規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。后來人們發(fā)現(xiàn)，這是一種廣泛存在于自然界、工程技術(shù)和人類社會(huì)中的動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象，如空氣中的煙霧擴(kuò)散、光纖陀螺中的隨機(jī)游走和股票市場中的價(jià)格波動(dòng)等，人們將這種無規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)統(tǒng)稱為布朗運(yùn)動(dòng)。

布朗粒子的直徑約為10-4～10-3mm，從宏觀尺度看體積非常小，因此布朗粒子周圍的液體分子通過碰撞作用于其上的力足以使其發(fā)生運(yùn)動(dòng)。布朗粒子周圍的液體分子作用力可分為兩部分：一部分是液體分子對(duì)布朗粒子的平均作用力，它表現(xiàn)為宏觀的粘滯阻力；另一部分是引起布朗粒子不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)碰撞力。布朗粒子每秒鐘受周圍液體分子碰撞的次數(shù)約為1019，故隨機(jī)碰撞力是一種方向和大小變化極快的力。

考察一個(gè)質(zhì)量為m的布朗粒子運(yùn)動(dòng)在水平面x方向上的投影，此時(shí)重力和浮力都不出現(xiàn)，則布朗粒子在某一時(shí)刻的動(dòng)力學(xué)特征可用牛頓動(dòng)力學(xué)方程加以描述

式中f(t)為布朗粒子在液體中運(yùn)動(dòng)受到的粘滯阻力，F(xiàn)(t) 為周圍液體分子對(duì)布朗粒子高頻碰撞產(chǎn)生的隨機(jī)作用力。

式(19)就是著名的“朗之萬方程”，可進(jìn)一步改寫為

式中γ為阻尼系數(shù)。

朗之萬將隨機(jī)作用力F(t)看成是零均值的正態(tài)白噪聲[5]，并認(rèn)為在介質(zhì)過阻尼的情況下，式（20）左邊的慣性項(xiàng)作用可以忽略，推導(dǎo)出了簡化的朗之萬方程

即布朗粒子的運(yùn)動(dòng)速度為白噪聲，與“質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)速度等于白噪聲”的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)定律一致。

朗之萬對(duì)式(20)的求解結(jié)果雖然證明了“質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)速度等于白噪聲”，但結(jié)論與F(t)是零均值正態(tài)白噪聲的前提假設(shè)相矛盾。

從上節(jié)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)已知，如果質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)速度等于白噪聲，則質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)加速度的波形為一串寬度無限窄、幅值無限大、方向變化極快的隨機(jī)脈沖，因此，式(20)左邊的慣性項(xiàng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于右邊的粘滯阻力項(xiàng)，粘滯阻力項(xiàng)可忽略不記，因此正確的簡化朗之萬方程為

即布朗粒子受到的隨機(jī)碰撞力F(t)是在高頻段功率譜密度無限大的紫噪聲，而不是功率譜密度在整個(gè)頻域均勻分布的白噪聲。

8 結(jié)論

本文基于人們對(duì)“隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的變化（速度）是完全隨機(jī)的”這一經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)認(rèn)識(shí)，提出了“質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度等于白噪聲”這一隨機(jī)運(yùn)動(dòng)定律，通過數(shù)學(xué)演繹推理方法建立了質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)理論，揭示出了質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性與確定性、微觀與宏觀、時(shí)域與頻域之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過質(zhì)點(diǎn)平均速度和位移公式在質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)與牛頓質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)之間建立了橋梁，證明了在時(shí)域和微觀尺度上表現(xiàn)出不確定性、不可重復(fù)和不可預(yù)測的質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在頻域和宏觀尺度上具有總體的確定性和穩(wěn)定性，同時(shí)也驗(yàn)證了一個(gè)哲學(xué)命題：隨機(jī)性和確定性是對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，隨機(jī)性是確定性的表現(xiàn)形式，確定性存在于隨機(jī)性之中。