王廣文 徐芷薇 王麗

(南京理工大學(xué)紫金學(xué)院,江蘇南京 210000)

0 緒論

倒立擺系統(tǒng)作為一類經(jīng)典受控對(duì)象,其廣泛應(yīng)用于控制理論的優(yōu)化以及驗(yàn)證試驗(yàn)。目前為止,單級(jí)倒立擺的研究已經(jīng)趨向于成熟,研究深度也較為客觀,二級(jí)倒立擺模型的研究也在不斷發(fā)展過程中[1]。目前,三級(jí)倒立擺模型的穩(wěn)定性研究是控制理論界較流行的研究課題之一。1993年到1995年間很多學(xué)者陸續(xù)發(fā)表了大量對(duì)三級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制仿真結(jié)果與實(shí)物控制結(jié)果,但是其中所使用的控制理論知識(shí)都較為粗略,都只能稱為模糊控制或近似推論,仿真結(jié)果也并沒有那么精確如意[2]。從20世紀(jì)70年代起,由于控制理論的先進(jìn)性以及發(fā)展趨勢(shì)多元化性,像PID控制、LQR控制方法都是當(dāng)時(shí)較為流行且仿真結(jié)果十分明顯的典型控制算法[3-4]。

1 倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立

單級(jí)倒立擺系統(tǒng)由沿導(dǎo)軌左右水平運(yùn)動(dòng)的小車以及采用轉(zhuǎn)軸固定于小車頂部的單級(jí)擺桿組成[5]。擺桿假設(shè)為質(zhì)量均勻的剛體;各摩擦力與相對(duì)速度成正比并忽略運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的空氣摩擦力。模型中字母所表示的參數(shù)如下:

小車質(zhì)量:M;擺桿質(zhì)量:m;小車所受外力:F;小車產(chǎn)生的位移:x;擺桿運(yùn)動(dòng)時(shí)與平衡狀態(tài)所產(chǎn)生的夾角:θ。

單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化成狀態(tài)方程后,方程組解得關(guān)于和的方程組如下:

2 自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)思路主要是采用具有一般性的魯棒自適應(yīng)方法作為本文自適應(yīng)模糊控制的自適應(yīng)率[6],在此基礎(chǔ)上采用了高斯函數(shù)作為模糊控制的隸屬函數(shù)(MF),這樣的自適應(yīng)率更具有一般性,與文獻(xiàn)[6]中的控制區(qū)別在于可以實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)控制,但只能保證局部穩(wěn)定。

高斯函數(shù)對(duì)每一個(gè)輸入都有一組寬度相同中心不同的高斯函數(shù),分布按照對(duì)應(yīng)的輸入的變化范圍大致確定,比如對(duì)于θ角度這個(gè)輸入,它的變化范圍需要控制在一個(gè)很小的范圍內(nèi),它超過某個(gè)值會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)奇異,控制失效,因此θ需要控制在0度附近,這個(gè)奇點(diǎn)是可以通過系統(tǒng)模型算出來的,只需保證θ的中心分布在這個(gè)范圍內(nèi)就可以了。通過調(diào)整MF的權(quán)重,可以將自適應(yīng)模糊部分穩(wěn)定地?cái)M合不確定的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)部分,其中魯棒項(xiàng)保證了權(quán)重值不會(huì)無界漂移,但是代價(jià)就是控制的穩(wěn)定精度會(huì)下降。

圖1為本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)模糊控制器的封裝形式。其中,Reference模塊為參考輸出值模塊,單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的實(shí)際位移參數(shù)和角度參數(shù)都需要與其預(yù)設(shè)參數(shù)值進(jìn)行比對(duì),以完成動(dòng)態(tài)跟蹤與誤差輸出;Controller模塊為自適應(yīng)模糊控制器模塊,在此模塊中可以實(shí)現(xiàn)對(duì)位移參數(shù)和角度參數(shù)的總體穩(wěn)定控制與分別控制;IPS模塊為倒立擺數(shù)學(xué)模型。

圖1 自適應(yīng)模糊控制器封裝圖Fig.1 Package diagram of adaptive fuzzy controller

圖3 角度追蹤誤差Fig.3 Angle tracking error

根據(jù)實(shí)際調(diào)試所使用的單機(jī)倒立擺各項(xiàng)參數(shù)值為M=0.04kg,m=0.085kg,l=0.25m,g=9.81m/s2。

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性研究

若采用第二章中設(shè)計(jì)的自適應(yīng)模糊控制系統(tǒng),且結(jié)合文獻(xiàn)[6]中四個(gè)條件,則有以下兩大假設(shè):

(1)模糊邏輯所控制的輸入?yún)?shù)都是有界的;

(2)跟蹤誤差趨向于0;

證明過程如下。

式中表示連續(xù)監(jiān)督控制器的uS與eTPb表達(dá)相同,在這里假設(shè)g＞0,則有eTPbguS≥0。于是有

根據(jù)所證明的結(jié)果可知uT、uS和uC皆有界,又因?yàn)?所以有下式

對(duì)兩邊式子分別積分得

綜合上述結(jié)論,結(jié)合Barbalat引理(當(dāng)e?L2∩L∞且時(shí),有可得結(jié)論:。得證。

圖4 小車位移波動(dòng)圖Fig.4 Displacement fluctuation diagram of trolley

需要注意的是,本文所采用的自適應(yīng)模糊控制方法達(dá)到的穩(wěn)定是局部穩(wěn)定而并非全局穩(wěn)定,因此,本文的參數(shù)輸入具有范圍限制。

4 MATLAB仿真

本文仿真結(jié)果如圖2-圖5所示。

圖2 擺桿角度波動(dòng)圖Fig.2 The swing angle of the swing rod

圖5 位移追蹤誤差Fig.5 Displacement tracking error

從仿真結(jié)果可以看出,本自適應(yīng)控制器完成了對(duì)單級(jí)倒立擺中擺桿的角度以及位移的穩(wěn)定控制,且結(jié)果符合預(yù)期結(jié)果。擺桿角度從初試角度逐漸趨向于平衡位置,小車位移在給一個(gè)初始力的條件下趨向于靜止。從對(duì)兩個(gè)參數(shù)的誤差值追蹤可以看出,系統(tǒng)一直保持趨向于穩(wěn)定趨勢(shì),并且對(duì)于不穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性控制基本在前五秒內(nèi)就完成。

5 結(jié)論

從以上仿真結(jié)果可以看出,本文所采用的自適應(yīng)模糊控制系統(tǒng)對(duì)單級(jí)倒立擺系統(tǒng)具有較優(yōu)越的魯棒項(xiàng)控制性能。針對(duì)倒立擺系統(tǒng)的兩個(gè)不穩(wěn)定變量位移和角度進(jìn)行模糊控制,并對(duì)其進(jìn)行跟蹤誤差計(jì)算與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償控制,以此提高了系統(tǒng)的控制精度與魯棒性。