張洪光

摘 要：本文研究一類切換線性系統(tǒng)持續(xù)有界擾動(dòng)抑制問題。首先回顧切換系統(tǒng)的一些相關(guān)概念，介紹切換線性系統(tǒng)在有界擾動(dòng)抑制下內(nèi)穩(wěn)的概念，給出了一個(gè)等價(jià)條件，由此得到了一個(gè)使得閉環(huán)系統(tǒng)是內(nèi)穩(wěn)的且能獲得期望性能的線性狀態(tài)反饋控制器存在的充要條件。進(jìn)而研究了不確定切換線性系統(tǒng)的類似問題，采用線性矩陣不等式方法，得到了該切換系統(tǒng)在任意的切換序列下魯棒穩(wěn)定性條件，基于上述結(jié)果，提出了一個(gè)簡單的線性狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法，從而獲得擾動(dòng)抑制的一個(gè)期望性能。

關(guān)鍵詞：線性系統(tǒng);切換系統(tǒng);擾動(dòng)

中圖分類號(hào)：O231 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：1673-260X（2021）06-0011-04

1 引言

切換系統(tǒng)（Switched systems）是一類混雜系統(tǒng)，混雜系統(tǒng)的概念是1986年在美國加州Santa Clara大學(xué)舉行的一次關(guān)于控制科學(xué)今后發(fā)展的專題研討會(huì)上第一次提出，隨之引起了計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)以及國際控制界的高度重視，有關(guān)混雜系統(tǒng)的理論分析才被學(xué)者們系統(tǒng)地研究?；祀s系統(tǒng)的提出能夠更好地解決控制對(duì)象復(fù)雜的控制問題，如大型供電系統(tǒng)、機(jī)器人控制系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)集中制造系統(tǒng)、復(fù)雜工業(yè)生產(chǎn)過程、飛行器空中控制系統(tǒng)等。在切換系統(tǒng)理論研究方面，系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直都是控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題，如何構(gòu)造系統(tǒng)穩(wěn)定的切換序列，即系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題得到廣泛研究。切換線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量在不同子系統(tǒng)之間切換時(shí)可能出現(xiàn)跳變，子系統(tǒng)的穩(wěn)定性不等于整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，每個(gè)子系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，但是整個(gè)系統(tǒng)可以是不穩(wěn)定的;每個(gè)子系統(tǒng)都不穩(wěn)定，在特殊的切換規(guī)則下整個(gè)系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。切換系統(tǒng)既具有連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)性特點(diǎn)，又具有離散性特點(diǎn)[1-3]。

混雜系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式可表示為：

H=（Rn×M，RP×∑，f，？覬） ?（1）

在上式中，H的混雜狀態(tài)空間為Rn×M，輸入空間為RP×∑，f，？覬兩是兩個(gè)作用函數(shù)。連續(xù)變量作用函數(shù)f：Df？哿Rn×M×RP→RP

離散變量作用函數(shù)？覬：D？覬？哿Rn×M×RP×∑→M

其狀態(tài)方程為：

其中x（t）∈Rn為連續(xù)狀態(tài)變量，i（t）∈M為離散狀態(tài)變量，u（t）∈Rp為連續(xù)輸入，？滓（t）∈∑為離散輸入。連續(xù)輸出y（t）=g（x（t），i（t），u（t）），離散輸出Q+（t）= ?？覬（x（t），i（t），u（t），？滓（t）），y（t）∈Rp，Q+（t）∈O。

1.1 切換系統(tǒng)

切換系統(tǒng)是由若干個(gè)子系統(tǒng)和相應(yīng)的切換規(guī)則構(gòu)成的一類特殊的混合動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。當(dāng)混雜系統(tǒng)在切換時(shí)刻切換時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)不發(fā)生跳變，而且滿足右連續(xù)性，這樣的混雜系統(tǒng)就變?yōu)榍袚Q系統(tǒng)。切換系統(tǒng)通過各個(gè)子系統(tǒng)之間的切換行為實(shí)現(xiàn)預(yù)定性能指標(biāo)。

切換系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義可描述為：

其中，x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，y（t）∈Rm為輸出向量，u（t）∈Rp為輸入向量。fi（t）：Rn×Rp→Rn，gi（t）：Rn×Rp→Rm為子系統(tǒng)模型充分光滑的非線性作用函數(shù)i（t）：R+=[0，+∞）→M={1，2，…，m}為系統(tǒng)分段常值的切換信號(hào)，是自然數(shù)集合，它依賴于時(shí)間或狀態(tài)或時(shí)間與狀態(tài)，并認(rèn)為切換序列信號(hào)也是右連續(xù)的。

切換系統(tǒng)的復(fù)雜性主要是“切換”行為的引入，不是簡單的子系統(tǒng)疊加。切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性與子系統(tǒng)和切換策略密切相關(guān)，系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性研究如何找到共同的Lyapunov函數(shù)，對(duì)任意的切換策略全局穩(wěn)定。切換系統(tǒng)的延遲時(shí)間也是描述切換行為的重要工具。

1.2 切換線性系統(tǒng)

若（3）式所示的子系統(tǒng)模型函數(shù)可表示為如下一組仿射線性方程形式：

則切換系統(tǒng)變?yōu)榍袚Q線性系統(tǒng)。式中下標(biāo)i={1，2，…，m}代表第i個(gè)子線性系統(tǒng)Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×p，Ci∈Rn×n，Di∈Rn×p。若Ai，Bi，Ci，Di是時(shí)變矩陣，則系統(tǒng)（4）為時(shí)變切換線性系統(tǒng)。我們考慮在非時(shí)變情況下，即Ai，Bi，Ci，Di為與和時(shí)間沒有關(guān)系的常系數(shù)矩陣，用∑（Ai，Bi，Ci，Di）表示（4）式所示的切換線性系統(tǒng)。對(duì)于切換線性系統(tǒng)來說，切換信號(hào)以及它的子系統(tǒng)在切換時(shí)刻都保持右連續(xù)性。切換線性系統(tǒng)的切換信號(hào)也是時(shí)間、狀態(tài)或者時(shí)間和狀態(tài)的函數(shù)。切換線性系統(tǒng)切換一般發(fā)生在切換面上，切換面一般寫成如下形式的超曲面：

Hi=（x，t） i=1，2，…，m ?（5）

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量經(jīng)過切換面時(shí)發(fā)生切換。根據(jù)切換面提供的切換信號(hào)發(fā)生方式，可以將切換線性系統(tǒng)分為任意切換線性系統(tǒng)、設(shè)定切換線性系統(tǒng)、周期切換線性系統(tǒng)幾種。

2 切換線性系統(tǒng)持續(xù)有界擾動(dòng)抑制問題

2.1 研究背景和現(xiàn)狀

在實(shí)踐中，動(dòng)力系統(tǒng)的持續(xù)有界擾動(dòng)問題是一個(gè)值得關(guān)注的問題。文獻(xiàn)最先研究了對(duì)線性系統(tǒng)的持續(xù)有界擾動(dòng)抑制問題[4]。在文獻(xiàn)中用信號(hào)范數(shù)來代替信號(hào)的峰值解決了離散時(shí)間系統(tǒng)和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的L1優(yōu)化控制問題[5]。綜合這些控制器需要解決一系列的線性規(guī)劃問題。線性系統(tǒng)的線性規(guī)劃問題最近幾年有普遍研究，不確定線性（脈沖）系統(tǒng)的線性規(guī)劃問題多有討論，然而對(duì)討論切換（不確定）系統(tǒng)中持續(xù)有界擾動(dòng)抑制問題的研究很少。切換系統(tǒng)是一類由多個(gè)子系統(tǒng)和協(xié)調(diào)各個(gè)子系統(tǒng)運(yùn)行的切換規(guī)則組成的混雜動(dòng)力系統(tǒng)。由于在理論和實(shí)踐應(yīng)用中的重要作用使得對(duì)切換系統(tǒng)的研究備受關(guān)注。在文獻(xiàn)中總結(jié)了三個(gè)關(guān)于切換系統(tǒng)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)問題[6]。第一個(gè)是在任意切換序列下的穩(wěn)定性問題，第二個(gè)是在某些有用的切換序列下的穩(wěn)定性問題，最后一個(gè)是可鎮(zhèn)定的切換序列的構(gòu)造問題。對(duì)于第一個(gè)問題，Liberzon給出了在任意切換序列下穩(wěn)定性的一些條件，對(duì)于第二個(gè)問題，主要使用經(jīng)典李雅普諾夫理論的擴(kuò)充的方法——多李雅普諾夫函數(shù)法。最后一個(gè)問題也獲得了許多可用的結(jié)果。但是所有上述研究只限于不含控制輸入的切換系統(tǒng)，并且對(duì)于切換系統(tǒng)的持續(xù)有界干擾抑制鮮有研究。受上面文章的啟發(fā)，將研究關(guān)于不確定切換系統(tǒng)的持續(xù)有界擾動(dòng)抑制問題，不僅考慮切換信號(hào)和參數(shù)不確定性的影響而且考慮控制輸入。在這個(gè)方向得到了一些基本結(jié)論。具體而言，通過李雅普諾夫函數(shù)用正不變集的分析方法研究了受持續(xù)有界擾動(dòng)的不確定切換系統(tǒng)的控制問題。

首先介紹了在任意切換序列下有界擾動(dòng)抑制切換線性系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)的概念，用線性矩陣不等式給出了一個(gè)等價(jià)條件。然后將這個(gè)結(jié)果擴(kuò)充到基于狀態(tài)反饋的切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性問題上，從而獲得一個(gè)簡單的方法去設(shè)計(jì)控制器鎮(zhèn)定系統(tǒng)并獲得期望的性能。提出了一個(gè)使系統(tǒng)穩(wěn)定并達(dá)到期望的干擾衰減水平的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)的簡單方法。本文還研究了參數(shù)不確定性的切換系統(tǒng)的類似問題，并給出了一些充分必要條件。最后用兩個(gè)數(shù)值例子驗(yàn)證結(jié)果的正確性。

2.2 符號(hào)說明及引理

R表示實(shí)數(shù)集，Rn表示實(shí)n維實(shí)向量全體組成的空間，Rm×n是所有m行n列實(shí)矩陣集，BRp={w（·）∈RP：||w||2≤1}表示Rp空間中的閉單位球，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，I表示具有相應(yīng)維數(shù)的單位矩陣。

為了分析持續(xù)有界擾動(dòng)抑制性，考慮系統(tǒng)∑：

其中x（·）：R→Rn，W（·）：R→RP和z（·）：R→Rp分別表示狀態(tài)、外部擾動(dòng)、可調(diào)輸出向量。矩陣A，B，C，D是具有恰當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，假設(shè)W：={w：R→BRP是可容許擾動(dòng)集，W是可測的，L∞范數(shù)定義為 ||w||∞=：supt=||w（t）||2，集合？贅是不可逃逸集[7]，如果對(duì)于未來所有的時(shí)間t>0，系統(tǒng)0∈？贅，x（0）∈？贅，||w||∞≤1，則有x（t）∈？贅。即如果從初始狀態(tài)的軌跡狀態(tài)在該集合中，則在未來任何一段包括原點(diǎn)時(shí)間，它仍保留在該集合中。

證明 由定理1及引理顯然成立。

4 結(jié)論

本文回顧了切換系統(tǒng)、線性系統(tǒng)的相關(guān)概念，討論了一類不確定切換系統(tǒng)的持續(xù)有界干擾抑制問題。給出了一個(gè)等價(jià)條件，即不確定切換系統(tǒng)在任意切換下是內(nèi)穩(wěn)定的且具有強(qiáng)的擾動(dòng)抑制期望性能，當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)子系統(tǒng)是內(nèi)穩(wěn)定的且具有強(qiáng)的擾動(dòng)抑制期望性能。用線性矩陣不等式保證了不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和強(qiáng)的期望性能。

參考文獻(xiàn)：

〔1〕闕志宏.線性系統(tǒng)理論[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1995.

〔2〕于長官.現(xiàn)代控制理論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2005.

〔3〕鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論（第二版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014.

〔4〕M.Vidyasagar，“Optimal rejection of persistent bounded disturbances，” IEEE Trans. Automat. Contr. 31（06）： 527–535， 1986.

〔5〕M. A. Dahleh and J. B. Pearson， “l(fā)1-optimal feedback controllers for MIMO discrete-time ?systems，”， IEEE Trans. Automat. Contr.， 32（02）： 314–332， 1987.9

〔6〕A.S. Liberzon， and A.S. Morse， “Basic problems in stability and design of switched systems，” IEEE Contr. Syst. Mag.， vol. 19， no. 5， pp. 59–70， 1999.

〔7〕J. Abedor， K. Nagpal， and K. Poolla， “A linear matrix inequality approach to peak-to-peak gainminimization” ，Int. J. Robust and Nonlinear Control， vol. 6， pp. 899–927， 1996.

〔8〕S. Boyd， L. E. Ghaoui， E. Feron， and V. Balakrishnan， Linear matrix inequalities in system and control theory ， SIAM， Philadelphia， PA 1994.

〔9〕I. R. Petersen， “A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems，” Systems & Control Letters， vol. 8， pp. 351–357， 1987.

〔10〕F.Hao，T.Chu， L. Huang and L.Wang，“Non-fragile controllers of peak gain minimization for uncertain systems via LMI approach” Dynamic of Continuous， Discrete and Impulsive Systems， vol. 10， no.5，pp.681-693，2003.