【摘 要】 “折紙”是數(shù)學課堂教學常見的體驗活動，讓學生參與“折紙”活動，經(jīng)歷操作過程，去體驗數(shù)學對象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，領悟思想方法.學生借助原有的知識經(jīng)驗，通過外在的操作，使得思維在大腦中發(fā)生變化，加深對數(shù)學知識的理解，領悟折紙中所蘊含的數(shù)學本質(zhì)，通過體驗活動培養(yǎng)其數(shù)學抽象、數(shù)學建模和邏輯推理能力等核心素養(yǎng).

【關鍵詞】 折紙;體驗;等腰三角形;等邊三角形

1 研究背景

由于平時教學中關于折紙的體驗活動很少，對于有關折紙的教學，如何探究，起點是什么，要經(jīng)歷什么過程，去往何處，很多學生沒有很好的基本活動經(jīng)驗的積累，很多教師也沒有清晰的研究范式.學生對折紙有所了解，也對這種活動形式比較感興趣，不過，學生對通過折紙活動去體驗數(shù)學了解得還不夠深刻，故筆者以“折等腰三角形”為例，和大家交流折紙體驗活動的實踐與思考.

2 折紙的基本理論

折紙是我國一種傳統(tǒng)的手工藝術，它是培養(yǎng)學生手腦靈活和智力開發(fā)的一種手段，折紙的過程蘊含了大量的數(shù)學知識，從數(shù)學知識的角度思考，折紙?zhí)N含著很多相等的量，這些相等的量是進行計算和推理的隱含條件.

我國數(shù)學認知研究所黃燕蘋所長和李秉彝教授在《折紙與數(shù)學》一書中，介紹了折紙的七個基本理論[1]：

（1）兩點折線——過已知兩點能且只能折一條直線.已知A、B兩點，可以折出一條經(jīng)過A、B的折痕;

（2）兩點對折——兩點可以重合對折且只有一條折痕.已知A、B兩點，可以把點A折到點B上去;

（3）兩線對折——兩條線可以重合對折且只有一條折痕.已知a、b兩條直線，可以把直線a折到直線b上去;

（4）過點對折——過直線上（或外）一點可以將該直線自身重合對折且只有一條折痕.已知點A和直線a，可以沿著一條過點A的折痕，把a折到自身上;

（5）點折到線——已知兩點和一條直線，可以將其中一個點折到已知直線上，同時讓折痕通過另一個已知點.已知A、B兩點和直線a，可以沿著一條過點B的折痕，把點A折到a上;

（6）雙點到線——已知兩點和兩條相交線，可以將其中一點折到一條直線上且同時讓另一點落在另一條直線上.已知A、B兩點和直線a、b兩條相交直線，可以把點A、點B分別折到a、b上;

（7）點線線點——已知兩點和兩條線，可以將其中一點折到一條直線上，同時讓另一條直線通過另一已知點.

3 折等腰三角形的分析

章建躍博士曾說過：“對于一個概念和有關性質(zhì)，要找出其組成要素，以及要素的形狀和位置關系，教學設計時，要在充分理解數(shù)學的基礎上，設計激發(fā)學生思考的問題，要理解學生思維的最近發(fā)展區(qū).”

中國的數(shù)學教育大師傅種孫先生曾說過：“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然——啟發(fā)學生，示以思維之道耳！”.教學應在“何由以知其所以然”上下功夫，這樣才有可能在“如何使學生想得到”上有所突破，從而把數(shù)學基本思想、基本活動經(jīng)驗、發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力等落實到位，這是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的最關鍵所在。

八年級的學生剛學完軸對稱圖形，對線段、角和等腰三角形的軸對稱性已經(jīng)掌握，學生對等腰三角形的知識已經(jīng)理解，知道等腰三角形是一個軸對稱圖形，兩腰相等，兩底角相等，三線合一，教師從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，利用折紙理論，思考如何折中點，如何折相等的邊，如何折相等的角，如何折垂直平分線等等.通過折等腰三角形的活動，引導學生觀察折痕所形成的邊角關系，幫助學生建立折紙操作與數(shù)學內(nèi)容的聯(lián)系，激發(fā)學生思考，培養(yǎng)學生的動手能力、觀察能力、想象能力和創(chuàng)造性思維能力！

4 教學設計構(gòu)思

活動一 同學們，大家能利用桌子上的A4紙，折一折嗎？你能想出幾種折法？

（1）過兩點的線段;（2）垂直平分線（或中點）;（3）角平分線和兩對邊的平行線;

（4）任意銳角三角形的高;（5）折一條線段等于A4紙的寬;（6）折30°角（或折一個直角三角形，使得一直角邊是斜邊的一半）.

設計意圖 通過折簡單的基本圖形，積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗，讓學生體驗折紙的基本理論.對于（1）折過兩點的線段，對應著折紙的基本理論（1）：過已知兩點能且只能折一條直線.對于（2）折垂直平分線，對應著折紙的基本理論（2）：將已知兩點重合對折，折痕是兩點連線的垂直平分線，其交點為兩點連線的中點.對于（3）折角平分線，對應著折紙的基本理論（3）：將兩線重合對折，當兩線相交時，折痕是兩線交角的平分線;當兩線平行時，折痕與之平行，且三條平行線之間的距離相等.對于（4）折任意三角形的高，對應著折紙的基本理論（4）：過直線上（或外）一點將該直線自身重合對折，所得折痕與該直線垂直;對于（5）折一條線段等于A4紙的寬，也對應著折紙的基本理論（3）.對于（6）折30°角，對應著折紙的基本理論（5）：已知兩點和一條直線，可以將其中一個點折到已知直線上，同時讓折痕通過另一個已知點;對于折紙的基本理論（6）和（7）在折等腰三角形中，沒有具體涉及，故在此對學生不做要求.

通過對折基本圖形的操作活動，讓學生體驗到，數(shù)學圖形都是由一些簡單的基本圖形得到的，折紙的基本理論為折等腰三角形奠定了基礎，也為學生提供了折等腰三角形的基本活動經(jīng)驗.

活動二 如果用A4紙折一個等腰三角形，你打算怎么折？說說你這樣折的依據(jù).

設計意圖 如果沒有活動一做鋪墊，學生沒有折紙的基本活動經(jīng)驗，讓學生直接體驗活動二，如圖1，學生的直觀感知就是把A4紙的寬AB進行折疊，使點B落在AD上的點E處，然后把點B和點E對折，就能得到一個等腰直角三角形ABE.

相比之下，如果學生通過活動一得到折紙的基本理論和折基本圖形的基本活動經(jīng)驗，讓學生思考折等腰三角形的方法，學生自然會想到：（1）折兩邊相等;（2）折兩角相等;（3）折垂直平分線;（4）折角平分線等等.學生在大腦中的思考，也可能僅限于折邊相等，或者折角相等，或者折垂直平分線等等，有了折紙的基本活動經(jīng)驗，在這種初始的思維認知下，學生的思維會發(fā)生變化，這種變化促使學生思考所積累的折紙經(jīng)驗，以及等腰三角形的性質(zhì)和判定，從而把原有的知識經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的思維：怎樣操作才能折出等腰三角形，學生會想出一些折疊的方法.

方法1：如圖2，把AB進行折疊，使得點B落在B′處，然后把點B和點B′進行折疊，根據(jù)兩邊相等，得到等腰△ABB′.

方法2：如圖3，把A4紙沿著點A和點C進行折疊，得到折痕AC，接著，沿點B和點D進行折疊，得到折痕BD，由于AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB.得到△ABC≌△DCB，所以∠DBC=∠ACB，根據(jù)等角對等邊，得到等腰△OBC.同理，也得到等腰三角形OBA，等腰三角形OAD和等腰三角形OCD.

方法3：如圖4，把A4紙的邊AB折疊，使AB和DC重合，得到折痕EF，則EF為BC的垂直平分線，沿著點E和點B進行折疊，得到折痕EB，再沿著點E和點C進行折疊，得到折痕EC，根據(jù)線段垂直平分線上的任意一點到線段兩端的距離相等，得到等腰三角形EBC.

方法4：如圖5，把△CBD沿著對角線BD進行翻折，使點C落在C′處，因為翻折，∠DBC=∠DBC′，又因為AD∥BC，所以∠DBC=∠BDA.所以，∠BDA=∠DBC′，根據(jù)等角對等邊，得到等腰三角形EBD.

方法5：如圖6，把點C進行對折，使點C和點A重合，折痕為EF，因為翻折，∠EFC=∠EFA，又因為AD∥BC，所以∠AEF=∠EFC.所以∠AEF=∠EFA，根據(jù)等角對等邊，得到等腰△AEF.

活動三 如果用A4紙折一個等邊三角形，你又打算怎么折？

設計意圖 這個體驗活動的設計體現(xiàn)知識生長的過程，是在前兩個體驗活動基礎上設計的一次提升，也是學生深入思考折等腰三角形的一個體驗，學生自然會想到三邊相等，但是，如何折才能實現(xiàn)三邊相等呢？很多學生會覺得操作起來很困難，原因是因為這些學生沒有把等腰三角形和等邊三角形之間的關系進行類比，沒有把折等腰三角形的基本活動經(jīng)驗運用到折等邊三角形的過程中去，此時，學生大腦中的思維是具有知識的局限性和片面性的.

筆者曾經(jīng)讓兩個語文老師用A4紙折等邊三角形，這兩個老師缺乏對等邊三角形的數(shù)學知識的思考和對折紙活動的體驗，她們的困惑就是怎么折才能得到60°，如果在等腰三角形的基礎上，再出現(xiàn)一個60°，就可以得到等邊三角形.其實，這也是學生經(jīng)常出現(xiàn)的困惑，如果有了折30°角的體驗或者有了折一個直角三角形，使得一直角邊是斜邊的一半，也可以得到等邊三角形.顯然這兩位語文老師對折30°角的體驗還不足.然后，筆者告知折紙的基本方法：如何折垂直平分線，如何折角平分線，如何折30°角后，這兩個語文老師很快就知道該如何折了.可見她們的頭腦中對折基本圖形已經(jīng)有了很熟悉的了解.從不會到會，其實就在于教師是否了解學生的最近發(fā)展區(qū)，如果問題高于最近發(fā)展區(qū)，學生是想不到的，這就不容易折出來，如果問題低于最近發(fā)展區(qū)，學生的思維就得不到發(fā)展，所以，教學尤其是體驗教學，一定要基于學生的認知基礎，一定要熟悉學生的最近發(fā)展區(qū)，這樣去實施教學才更加有效.

在折紙的體驗過程中，問題又出現(xiàn)了，一個老師先將寬對折，得到折痕，然后發(fā)現(xiàn)折30°角時，把長翻折時，卻超出了邊界，（如圖7）在這種情況下，這位老師很靈活的轉(zhuǎn)化思路，先將邊AD和BC重合對折（理論3），折痕為EF，將點B折到EF上，且讓折痕過點A（理論5），點B對應的點為點O，折痕為AG，過O、B兩點折疊（理論1），則△ABO為等邊三角形，解決了折等邊三角形時，超出邊界的問題（如圖8）.

活動四 如果用A4紙，想折一個最大的等邊三角形，你打算怎么折？

設計意圖 這個體驗活動的設計，會讓學生聯(lián)想到活動三所折的等邊三角形不是面積最大的，因為圖8所折的等邊三角形的邊長為AB，如果把△ABO繞點B或點A旋轉(zhuǎn)，會發(fā)現(xiàn)這個等邊三角形的邊長在逐漸變大，當把△ABO中的邊BO旋轉(zhuǎn)到BC上或者把邊AO旋轉(zhuǎn)到AD上時，才是最大的，如圖9，只需將GO折疊，折痕GH交AD于點H，△AHG才是最大的等邊三角形！

活動五 如果將A4紙，改成一張正方形紙，想折一個最大的等邊三角形，怎么折？

設計意圖 這個體驗活動的設計，會讓學生聯(lián)想到如果直接按照活動三來折疊，并不是最大的，因為如果將這個等邊三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)，這個等邊三角形的邊長在逐漸變大，由于正方形和等邊三角形都具有軸對稱性，如圖10，只需要將等邊三角形OBC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)15°或者繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°，才能得到最大的等邊三角形BMN.如圖11，將正方形ABCD的兩組對邊分別重合對折（理論3），折痕分別為EF和GH，將點C折到GH上且讓折痕過點B（理論5），點C的對應點為R，折痕為BM，將點A折到EF上且讓折痕過點B（理論5），點A的對應點為S，折痕為BN，過點M、N兩點折疊（理論1），折痕為MN，則△BMN為正方形ABCD內(nèi)面積最大的等邊三角形.

活動六 基于以上的基本活動經(jīng)驗，你有什么體驗？你還能折什么數(shù)學圖形，折折看.

5 體驗活動的思考

5.1 理解數(shù)學

物理和化學都是實驗性的學科，學生也希望通過數(shù)學操作活動，得到真正經(jīng)歷和體驗.數(shù)學是一門思維性的科學，思維的形成離不開體驗，借助一種實物工具，通過觀察，動手，動腦相結(jié)合的方式去體驗，引發(fā)學生思考，促進學生對知識的理解和掌握，這才是真正的數(shù)學教學.

本節(jié)課在形式上注重以“做”為支架，引領學生經(jīng)歷過程，并且觀察思考，手腦并用，充分體驗，啟思明理，借助學具幫助學生直觀形象的理解知識，整個教學過程基本上都是學生在操作，通過操作來體驗并感受原理，真正推動了數(shù)學課堂學習方式和教學方法的變革.

5.2 理解教學

教學主要是為學生搭建適合學生的“腳手架”，教師可通過不同的教學方式進行教學，目的是讓學生對知識真正理解，做到靈活運用.學生比較容易接受具體、直觀、形象的事物，初中數(shù)學教學要引領學生逐漸過渡到一般、抽象的數(shù)學.教學的理念是讓學生通過“做”數(shù)學，享受完整的數(shù)學學習過程，讓學生不僅知道知識從哪里來，還要知道知識要往哪里去.教學主張是手腦協(xié)同，啟思明理.同時，教學要給學生帶來學習方式的創(chuàng)新，為學生的數(shù)學學習提供資源.

本節(jié)課，筆者設計的“折等腰三角形”體驗活動，一層一層，逐級上升，思維層次不斷加深，邏輯思維能力逐漸上升.培養(yǎng)了學生的動手操作能力，讓學生全身心參與課堂，真正做到經(jīng)歷每一個過程，充分體驗并理解折等腰三角形的每一個細節(jié).

5.3 理解學生

上課的學生是初二的學生，他們具有一定的推理能力，課堂上為學生創(chuàng)設動手操作的環(huán)節(jié)，學生只有通過體驗，去感悟，去發(fā)現(xiàn)，去歸納，去總結(jié)，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，才能真正去理解知識，這樣的課堂才是學生喜歡的課堂，我們的課堂要始終做到以生為本，處處為學生著想，做到真正理解學生.

本節(jié)課，改變以往的傳統(tǒng)授課模式，把主動權教給學生，讓學生一步步思考，當學生遇到困難，筆者一步一步引領學生去思考.當然所有的啟發(fā)性問題，由學生通過操作體驗，再由學生來分析問題并解決問題.

5.4 感悟經(jīng)歷

初為父母時，筆者曾經(jīng)給1歲多女兒講，桌子上的水太熱，不能摸，她好像不理解，有一次她的手被熱水燙了，從這次經(jīng)歷中，她體驗到，并深刻地理解，熱的東西不能摸，會燙手.

初為教師時，筆者也曾因為一節(jié)課，不斷的試講，不斷的總結(jié);也曾因為一節(jié)課上的不好，而多方面去尋找原因，也曾去聽一些名師的課，尋找教學的方法，獲取教學的真諦;也曾因為學生不理解而悶悶不樂.筆者經(jīng)歷了將近10年的教學磨練，體驗了每節(jié)課的收獲與困惑，也逐漸明白了，教師要從學生的角度出發(fā)去思考，找準學生思維的最近發(fā)展區(qū)，從生活中去尋找教學素材，深挖教材，精心設計每節(jié)課的活動，讓學生經(jīng)歷知識的獲取過程，體驗獲取知識的“酸甜苦辣”.

回顧這節(jié)課，在教師循序漸進的引導下，學生從操作層面的直觀經(jīng)驗到理性層面的邏輯思考，讓操作與數(shù)學思維有機融為一體，使抽象的數(shù)學知識具體化，復雜的問題簡單化，表象的問題深刻化，學生在操作過程中不僅知其然，更知其所以然[2].

通過教學活動的設計，學生在操作的過程中，數(shù)學思維也在逐漸深入，在一系列操作體驗活動下，學生領悟到其中的道理，培養(yǎng)了學生的動手能力、空間想象和邏輯思維能力，激發(fā)了學生對學習數(shù)學的興趣，促進學生真正理解和掌握知識，數(shù)學素養(yǎng)也得到了提升.

一節(jié)好的教學活動設計，需要教師設法為學生搭建促使學生參與課堂的平臺，讓學生主動去動手操作，去思考，去發(fā)現(xiàn)，去經(jīng)歷探索過程，只有經(jīng)歷了，體驗了，對知識的理解才更透徹.經(jīng)歷探索過程，在操作中去體驗，激發(fā)學生探究的興趣，培養(yǎng)學生思考的熱情，有利于學生調(diào)動多種感官，促進有效學習，有利于學生潛能的開發(fā)，有利于學生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，有利于學生思維的生長，有利于知識、能力和方法有機地融合，有利于教師對課程資源進行深度挖掘，有利于教師水平的有效提升.同時也促進了學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，促進了教師教學方法的轉(zhuǎn)變，促進數(shù)學教學進一步發(fā)展.

參考文獻

[1]黃燕蘋，李秉彝.折紙與數(shù)學[M].北京：科學出版社，2018.

[2]黃玉華.畫其圖變其形明其理探其用[J].中學數(shù)學雜志，2019（4）：19—23.

作者簡介 萬濤，中學高級教師，南京市鼓樓區(qū)數(shù)學學科帶頭人.