歐陽(yáng)柏平, 肖勝中

(1.廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300;2.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510507)

最近幾十年來，有關(guān)拋物方程和拋物系統(tǒng)解的爆破問題受到學(xué)者們廣泛關(guān)注。 爆破問題的研究主要涉及解的全局存在、爆破時(shí)間的上界和下界、爆破率等，依賴于方程和系統(tǒng)的線性或非線性、空間維數(shù)、初始數(shù)據(jù)以及邊界條件。文獻(xiàn)[1-4]考慮了三維空間上齊次邊界條件(Dirichlet條件和Neumann條件)和Robin邊界條件下解的全局存在和爆破問題。文獻(xiàn)[5-14]研究了高維空間上非線性邊界條件下解的全局存在和爆破問題。文獻(xiàn)[15-17]考慮了時(shí)變或空變系數(shù)的局部和非局部拋物方程和拋物系統(tǒng)解的爆破。文獻(xiàn)[18-22]研究了其他偏微分方程解的爆破。從某種意義上，非局部的偏微分方程比局部的偏微分方程更有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，因而探討非局部的拋物方程和拋物系統(tǒng)解的爆破有更強(qiáng)的理論價(jià)值和實(shí)際意義。然而，對(duì)于非局部的數(shù)學(xué)模型的研究目前存在不少困難，因?yàn)榫植康臄?shù)學(xué)模型的理論和方法不適用于非局部的情況。關(guān)于爆破發(fā)生時(shí)解的爆破時(shí)間界的估計(jì),研究上界的方法較多，而下界較少。

文獻(xiàn)[4]研究了依賴于時(shí)間的拋物系統(tǒng)解的爆破問題：

在齊次Dirichlet邊界條件下，作者得到了三維空間上解的全局存在的條件。同時(shí)，在某些約束條件下，得到了三維空間上解的爆破時(shí)間的上界和下界估計(jì)。

文獻(xiàn)[6]研究了非線性邊界條件下多孔介質(zhì)拋物系統(tǒng)解的爆破問題：

在非線性邊界條件下，作者得到了Rn(n≥2)上解的爆破條件，以及爆破發(fā)生時(shí)解的爆破時(shí)間的上界和下界估計(jì)。

文獻(xiàn)[7]研究了如下拋物系統(tǒng)爆破問題：

在對(duì)初始數(shù)據(jù)一定的約束條件下,作者得到了高維空間上解的爆破條件以及爆破發(fā)生時(shí)解的爆破時(shí)間的上界和下界估計(jì)。

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文研究非線性邊界條件下具有時(shí)變系數(shù)和吸收項(xiàng)的多孔介質(zhì)拋物系統(tǒng)解的全局存在性和爆破問題：

(1)

本文主要研究問題(1)解的全局存在性條件和爆破發(fā)生時(shí)解的爆破時(shí)間的下界估計(jì)。其難點(diǎn)是如何處理高維空間、非局部項(xiàng)、吸收項(xiàng)，以及非線性邊界條件對(duì)解的爆破影響。目前,尚未發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)研究關(guān)于問題(1)的解的全局存在性和爆破問題。

1 全局存在性

本文推導(dǎo)需要用到下面兩個(gè)引理。

引理1[14]設(shè)Ω是Rn(n≥3)上的有界凸區(qū)域，則對(duì)于u∈C1(Ω),n>0, 有如下不等式：

(2)

引理2[23]Sobolev不等式

(3)

(4)

其中C=C(n,Ω)，是一個(gè)與n和Ω有關(guān)的Sobolev嵌入常數(shù)。

首先，定義如下輔助函數(shù)：

(5)

定理1假設(shè)u(x,t),v(x,t)是問題(1)在有界凸區(qū)域Ω的經(jīng)典的非負(fù)解,且滿足如下條件：

0≤gi(ξ)≤biξsi,ξ>0,bi>0,si、l、m、q、s>1,

(6)

則問題(1)的解所滿足的泛函式(5)在任何有限時(shí)間都是有界的，即問題(1)的解為全局存在的。

證明運(yùn)用散度定理，對(duì)式(5)求導(dǎo)數(shù)，得

(7)

其中L=min{l1,l2}。

對(duì)式(7)右邊第二項(xiàng)，由散度定理和式(2)，有

(8)

對(duì)于式(8)右邊第二項(xiàng)，由H?lder 不等式和Young不等式，得

(9)

式中ε1為正數(shù)。

于是，由式(8)和式(9)，得

(10)

同理，重復(fù)式(8)—(10)類似的推導(dǎo)，對(duì)于式(7)右邊第五項(xiàng)，可得

(11)

對(duì)于式(7) 右邊第三項(xiàng)，由H?lder 不等式和Young不等式，有

(12)

同樣地，對(duì)于式(7) 右邊第六項(xiàng)，由H?lder不等式和Young不等式，有

(13)

聯(lián)立式(7)、式(10)—(13)，有

(14)

選取合適的ε1、ε2，使得r3≤0,λ3≤0，于是，式(14)化為

(15)

由H?lder 不等式和Young不等式，得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中ε3,ε4,ε5,ε6,ε7,ε8為正數(shù)。

聯(lián)立式(15)—(23)，有

(24)

其中：

選取合適的ε3,ε4,ε5,ε6,ε7,ε8，使得2-r5>0,2-λ5>0。

由H?lder不等式,可知

由此，可推出

(25)

(26)

聯(lián)立式(24)—(26)，得

φ′(t)≤(-L+r4+λ4)φ(t)-

(27)

令

由式(27)，可得

φ′(t)≤(-L+r4+λ4)φ(t)-CK1φ(t)1+K2

=φ(t)[-L+r4+λ4-CK1φ(t)K2]

(28)

式中C為正常數(shù)。

定理1得證。

2 爆破時(shí)間的下界

假設(shè)下面條件滿足

ki(t)>0,t≥0

(29)

構(gòu)造如下輔助函數(shù)：

(30)

定理2假設(shè)u(x,t),v(x,t)是問題(1)、式(29)在有界凸區(qū)域Ω的經(jīng)典的非負(fù)解，則式(30)中定義的能量滿足微分不等式

φ′(t)≤K6φ(t)+2K7(t)φ(t)ξ1+2K8(t)φ(t)ξ2

由此可得爆破時(shí)間t*的下界為

t*≥Θ-1(S)

式中：K6,K7(t),K8(t),ξ1,ξ2,Θ,S均在后面定義；Θ-1為Θ的反函數(shù)。

證明對(duì)式(30)求導(dǎo)數(shù)，并利用條件式(29)，得

(31)

其中a=max{a1,a2}。

對(duì)式(31)右邊第二項(xiàng)，應(yīng)用散度定理和式(2)，有

(32)

對(duì)式(32) 右邊第二項(xiàng)，利用H?lder 不等式和Young不等式，得

(33)

式中ε1為正數(shù)。

于是，結(jié)合式(32)和式(33)，得到

(34)

其中：

同理，可以推出

(35)

其中：

ε2為正數(shù)。

下面處理式(31)右邊第三項(xiàng)。利用H?lder不等式和Young不等式，有

(36)

同樣地，對(duì)式(31)右邊第六項(xiàng)，由H?lder不等式和Young不等式，可推出

(37)

將式(34)—(37)代入式(31)，得到

(38)

再由H?lder不等式和Young不等式，可得

(39)

(40)

(41)

(42)

其中:

ε3,ε4,ε5,ε6為正數(shù)。

聯(lián)立式(38)—(42)，可推出

(43)

選擇恰當(dāng)?shù)摩?,ε4,ε5,ε6，使得x11ε5(x10ε3r1+r2)-σ≤0,y11ε6(y10ε4λ1+λ2)-σ≤0。

則由式(43)推出

(44)

利用H?lder 不等式和式(3)，有

(45)

其中：

ε7,ε8為正數(shù)。

(46)

同樣，可得

(47)

其中：

ε10為正數(shù)。

類似于式(45)的推導(dǎo)，利用H?lder 不等式和式(4)得

(48)

其中：

ε12為正數(shù)。

同理可得

(49)

其中:

ε14為正數(shù)。

將式(46)—(49)代入式(44)，得

φ′(t)≤(δa+K1+K2+K3)φ(t)+

(50)

取恰當(dāng)?shù)摩?,ε2,ε8,ε10,ε12,ε14，使得K4≤0,K5≤0。 則由式(50)可推出

φ′(t)≤K6φ(t)+2K7(t)φ(t)ξ1+2K8(t)φ(t)ξ2

(51)

其中：

K6=δa+K1+K2+K3

設(shè)

其中K(t)=1+K7(t)+K8(t)。

對(duì)式(51)從0到t*積分，有

(52)

因?yàn)棣蝘>1(i=1,2)，所以式(52)右邊積分存在。易知，Θ(t*)是單調(diào)遞增函數(shù)，于是有

t*≥Θ-1(S)

(53)

其中Θ-1是Θ的反函數(shù)，從而完成了定理2的證明。