牛新榮

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解決問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常常面臨著解題，在實(shí)際教學(xué)中長(zhǎng)期形成的整齊劃一的操練、固定套路的模仿，重思路分析、解題過(guò)程書(shū)寫(xiě)、方法的累加堆放，而輕解題后的反思總結(jié)、歸納概括、思想方法的提煉、學(xué)科素養(yǎng)的滲透等，不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題的價(jià)值所在，不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，更不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的自主養(yǎng)成和后天培養(yǎng)?；貧w解題教學(xué)的本質(zhì)要求，發(fā)現(xiàn)解題教學(xué)中迷失的路徑和位置，找回正確的解題原點(diǎn)和方向是當(dāng)務(wù)之急、迫在眉睫的事情。

關(guān)鍵詞：解題本質(zhì)? 回歸原點(diǎn)? 滲透素養(yǎng)

從安徽蚌埠到上海嘉定再到廣西桂林，一路追隨和學(xué)習(xí)了章建躍老師的核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革。審視我親眼觀察到的義務(wù)教育階段下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，發(fā)現(xiàn)有許多教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)脫離了核心素養(yǎng)培養(yǎng)的軌道，如解題教學(xué)環(huán)節(jié)，大家看到最多的課堂現(xiàn)象依然是教師在做“單口相聲”的表演，自我陶醉式的解題過(guò)程分析，所謂規(guī)范統(tǒng)一的解題格式、書(shū)寫(xiě)要求，解題方法（特別是技巧性方法）的堆放疊加;甚至出現(xiàn)以班為單位整齊劃一的大量重復(fù)的習(xí)題訓(xùn)練，仔細(xì)想來(lái)單調(diào)的、整齊劃一的操練只會(huì)培養(yǎng)個(gè)體在特定條件下按照既定程序做出套路式反應(yīng)，練得越多越會(huì)變得自動(dòng)化，進(jìn)而形成無(wú)意識(shí)的解題習(xí)慣性動(dòng)作。但是蘊(yùn)含在其中的理性思考成分很少，數(shù)學(xué)學(xué)科的思維價(jià)值得不到充分體現(xiàn)，而且越是自動(dòng)化，改變和遷移就變得越發(fā)困難，很顯然，上述現(xiàn)象的出現(xiàn)暴露了教者在解題的森林里迷了路。正確認(rèn)識(shí)解題的數(shù)學(xué)本質(zhì)和價(jià)值原點(diǎn)，通過(guò)正確方向的確立和合理方式的運(yùn)用來(lái)提升數(shù)學(xué)解題素養(yǎng)進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)育人之最終目標(biāo)才是核心素養(yǎng)落地的正確選擇。

一、讓生活情境回歸它應(yīng)有的抽象化過(guò)程

日常觀摩教學(xué)中，?？吹浇處熗ㄟ^(guò)創(chuàng)設(shè)情境來(lái)引出問(wèn)題，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，引發(fā)學(xué)生的興趣和解決問(wèn)題的欲望，這一意圖和價(jià)值值得肯定。但是也發(fā)現(xiàn)了一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象，教師引領(lǐng)學(xué)生都進(jìn)入解題過(guò)程了，仍然是情境中的名詞不離口，導(dǎo)致生活中的問(wèn)題不能完全數(shù)學(xué)化，看似數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中有數(shù)學(xué)，實(shí)質(zhì)缺少將生活中的問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一——數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)。例如，一位老師在講線段的基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”時(shí)，先創(chuàng)設(shè)情境出示兩個(gè)地方被障礙物阻擋，問(wèn)題設(shè)置為“如何修路，才能從一個(gè)地方最快到達(dá)另一個(gè)地方？”，假設(shè)速度一定，“最快”表示時(shí)間最少，意味著路程最短，把兩個(gè)地方抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”，上述問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中如何尋找兩個(gè)點(diǎn)之間最短路徑問(wèn)題，這位老師在課堂教學(xué)一開(kāi)始就說(shuō)“如何設(shè)置路線才能確保兩個(gè)地方路線最短”，把連接的線段畫(huà)出后仍然在說(shuō)“兩個(gè)地方線段最短”，看似教學(xué)語(yǔ)言的隨意，實(shí)際上是既沒(méi)有將生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，更沒(méi)有抽象為物理問(wèn)題，失去了數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的機(jī)會(huì)，也失去了學(xué)科間聯(lián)系的時(shí)機(jī)。

二、讓解題后的歸納概括理性回歸

數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，我們一線教師在教學(xué)中形成了重視解題前的分析引導(dǎo)和解題中格式書(shū)寫(xiě)以及解題后的變式訓(xùn)練，但往往忽視了解題后的歸納概括，歸納思路是如何形成的、思想方法是如何運(yùn)用的、解題中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)模型等。比如我在給七年級(jí)上學(xué)期的學(xué)生講了一道幾何題。

題目：將長(zhǎng)為10 cm的一條線段用任意方式分成5小段，以這5小段為邊可以圍成一個(gè)五邊形，問(wèn)其中最長(zhǎng)的一段的取值范圍。

得出答案后，我便設(shè)置了如下問(wèn)題：仔細(xì)思考一下，你能發(fā)現(xiàn)解決這個(gè)問(wèn)題我們運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)模型？

生1表示運(yùn)用了“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)幾何模型，分析如下：把最長(zhǎng)線段的兩個(gè)端點(diǎn)拿出來(lái)，連接兩點(diǎn)成線段，其余四條邊可認(rèn)為是連接兩點(diǎn)的折線，依據(jù)線段的基本事實(shí)即可。

生2表示運(yùn)用了“不等式”這個(gè)代數(shù)模型，分析如下：假設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為x cm，則其余四條邊長(zhǎng)之和為（10-x） cm，依據(jù)上述幾何模型可知x<10-x，解不等式可得最長(zhǎng)邊的上限取值范圍。

生3表示運(yùn)用了“正五邊形”這個(gè)幾何模型，分析如下：借用特殊和一般的關(guān)系，想到了五邊形中的最特殊情形——正五邊形，而周長(zhǎng)為10 cm的正五邊形的邊長(zhǎng)是2 cm，對(duì)于一般的五邊形，其最長(zhǎng)邊長(zhǎng)不會(huì)小于2 cm，從而找到最長(zhǎng)邊的下限取值范圍。此時(shí)，另一學(xué)生補(bǔ)充說(shuō)明：只要是邊長(zhǎng)相等的五邊形即可，不一定就是正五邊形。

生4表示運(yùn)用了“平均數(shù)”這個(gè)數(shù)據(jù)分析模型，分析如下：周長(zhǎng)為10 cm，如果平均分的話，每一條邊長(zhǎng)為2 cm，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)不會(huì)低于平均數(shù)，就像班級(jí)中的數(shù)學(xué)最高分不會(huì)低于我們班級(jí)的數(shù)學(xué)平均分一樣。

上述問(wèn)題的設(shè)置無(wú)疑引發(fā)了學(xué)生的思考，既思考出數(shù)學(xué)思想方法，又思考出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一——數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)解題的價(jià)值得到本質(zhì)體現(xiàn)和原點(diǎn)回歸。

三、讓合情推理回歸合理的地位

小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)一首王安石的詩(shī)，全文如下：

梅 花

墻角數(shù)枝梅，凌寒獨(dú)自開(kāi)。

遙知不是雪，為有暗香來(lái)。

文中“遙知不是雪，為有暗香來(lái)。”不正是數(shù)學(xué)中合情推理的體現(xiàn)嗎？實(shí)際上生活中運(yùn)用合情推理的現(xiàn)象不少于演繹推理，但在日常教學(xué)中初中數(shù)學(xué)老師往往較多地關(guān)注幾何中的演繹推理和代數(shù)中的歸納推理，對(duì)于合情推理關(guān)注很少，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，既是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，又是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)。

下面是我在培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力時(shí)的兩個(gè)例題。

題目1：如果1+2+3+…+n的計(jì)算結(jié)果恰巧是在2011的右邊添上3個(gè)數(shù)字，問(wèn)正整數(shù)n是多少？

解：設(shè)這三個(gè)數(shù)為abc

由題意得：n（n+1）2=2011000+abc

∴n（n+1）=4022000+2abc

因?yàn)?

∴4022000<4022000+2abc<4024000

即：4022000

至此問(wèn)題已演變?yōu)殛P(guān)于n的一元二次不等式，超出七年級(jí)學(xué)生所學(xué)的知識(shí)范圍，如果利用合情推理，把n（n+1）理解為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)之積，把4022000近似為4000000，不難定位n為2000，對(duì)于2000×2000，若一個(gè)因數(shù)增加1，結(jié)果便增加2000，從4000000到4022000，一個(gè)因數(shù)要增加到11，考慮到n（n+1）近似于同步增加的因素，可先考慮增加5或6……這樣便找到正整數(shù)n為2005。

題目2：如何說(shuō)明“直徑是最長(zhǎng)的弦”？

生1：過(guò)圓上一點(diǎn)作一條直徑和一條非直徑的弦，連接圓心和非直徑弦的另一端點(diǎn)，利用三角形三邊關(guān)系證明。

生2：過(guò)圓上一點(diǎn)作一條直徑和一條非直徑的弦，過(guò)圓心向非直徑的弦作垂線段，利用斜邊大于直角邊，2倍斜邊等于直徑，2倍直角邊等于非直徑弦長(zhǎng)。

從發(fā)展學(xué)生合情推理能力的角度，可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)弦長(zhǎng)和弦心距的關(guān)系，得出弦心距為0時(shí)弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，或者從圓的對(duì)稱性和反證法來(lái)得出直徑是最長(zhǎng)的弦的結(jié)論。

教師教學(xué)中有意識(shí)設(shè)置類似的問(wèn)題，合理引導(dǎo)，讓合情推理回歸合理的地位，發(fā)展學(xué)生合情推理的能力便會(huì)自然形成。

四、讓解題回歸到思維品質(zhì)的培養(yǎng)和塑造

有這樣一道經(jīng)典問(wèn)題：兩個(gè)居民小區(qū)，中間一條道路連接，現(xiàn)在在路邊建一個(gè)超市，你建議建在哪里？

生1：把兩個(gè)小區(qū)抽象為兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)小區(qū)之間連接的道路抽象為一條線段，超市應(yīng)建在線段中點(diǎn)所在的位置。（這位學(xué)生既學(xué)會(huì)運(yùn)用線段中點(diǎn)這個(gè)幾何模型，又考慮到了公平原則。）

生2：我同意生1同學(xué)的建模思想和公平原則的運(yùn)用，但是為了更好地體現(xiàn)公平原則，我認(rèn)為應(yīng)考慮兩個(gè)小區(qū)的實(shí)際居民人數(shù)，依據(jù)人數(shù)的比例確立超市的位置，這樣既公平又人性化。（這位同學(xué)受權(quán)數(shù)對(duì)平均數(shù)的影響，并有一定的創(chuàng)新思維和應(yīng)用意識(shí)。）

生3：我認(rèn)為以上兩個(gè)同學(xué)的說(shuō)法有其合理性的一面，但還有其要優(yōu)化的一面，還應(yīng)設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷表，調(diào)查兩個(gè)小區(qū)居民到超市的情況，收集數(shù)據(jù)并加以整理，依據(jù)數(shù)據(jù)信息進(jìn)行權(quán)數(shù)比對(duì)來(lái)確定超市所在的位置。（這位同學(xué)把數(shù)據(jù)分析的觀念與幾何知識(shí)靈活結(jié)合，用于分析和解決實(shí)際問(wèn)題。）

老師在評(píng)價(jià)上述學(xué)生的回答時(shí)，不應(yīng)以客觀唯一的答案標(biāo)準(zhǔn)去衡量，而應(yīng)站在學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)和塑造的角度去考慮，真正讓解題回歸到素養(yǎng)的滲透這一正確軌道上來(lái)。

五、讓解題回歸到理解概念、鞏固知識(shí)、發(fā)展能力的價(jià)值要求上來(lái)

有人說(shuō)：“數(shù)學(xué)真正是玩概念而不是玩技巧”，我認(rèn)為所謂玩概念，就是在理解概念中學(xué)會(huì)把握事物的本質(zhì)特征，在鞏固概念中培養(yǎng)思維品質(zhì)，在靈活運(yùn)用概念中培養(yǎng)能力、發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。玩概念不是死摳字眼，也不是形式訓(xùn)練和機(jī)械模仿。

杜威在《民主主義與教育》中講道：“形式訓(xùn)練……理論似乎抄了近路，它把某些能力視為指導(dǎo)工作直接而自覺(jué)的目標(biāo)，而不只視為成長(zhǎng)的結(jié)果?！痹诟鞯?zé)嶙h核心素養(yǎng)的背景下，不妨讓我們靜下心來(lái)冷靜思考數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)何在、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)價(jià)值何在。是否關(guān)注潮流，彰顯你的心理年齡;如何應(yīng)對(duì)思潮，彰顯你的教學(xué)定力?；貧w解題教學(xué)的本質(zhì)要求，發(fā)現(xiàn)解題教學(xué)中迷失的路徑和位置，找回正確的解題原點(diǎn)和方向是當(dāng)務(wù)之急、迫在眉睫的事情。本人僅僅是拋磚引玉，引發(fā)數(shù)學(xué)同人審視思考而已。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（04）.

[2]李祥立.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究[M].北京：中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社，2016.

[3]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.