王舒鈺 張小玲

【摘要】向量思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想之一，在高中數(shù)學(xué)教科書中，許多定理都運用了向量法進行證明，如正余弦定理.在高考數(shù)學(xué)中，向量法常與其他重要知識，如立體幾何、圓錐曲線、三角函數(shù)、不等式等一起設(shè)計出題.本文主要探究了近三年向量法在立體幾何與圓錐曲線中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】向量法;高考數(shù)學(xué);立體幾何;圓錐曲線

【基金項目】國家自然科學(xué)基金青年基金項目No.11601265; 泉州市高層次人才創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目No.2017Z033.

2017年新課程標準在幾何與代數(shù)這一專題中指出了掌握向量法的必要性，并且在新教材第二冊第六章中系統(tǒng)學(xué)習(xí)了向量，可見向量在整個高中階段學(xué)習(xí)中所占的重要地位.由于向量具有代數(shù)形式和幾何形式的兩種表示方法，這使得它常用來解決空間、平面中的圖形問題.

一、向量法在立體幾何中的應(yīng)用

向量法作為一種用數(shù)形結(jié)合解決問題的方法，主要是借助空間直角坐標系把抽象的空間問題轉(zhuǎn)化為具體的代數(shù)運算來解決問題.向量法在立體幾何中的運用主要體現(xiàn)在三個方面：一是利用向量法求解空間中直線和平面間的位置關(guān)系，如平行、垂直;二是利用向量法求解空間中的距離問題;三是結(jié)合法向量求解空間中的角問題.高考中常以計算直線與平面的夾角、兩平面的夾角為主，例如下列兩道例題.

解析 近五年全國Ⅰ卷對向量法在立體幾何中的運用都在第18題設(shè)問，第一問通?？疾榭臻g中直線與平面或兩平面之間的位置關(guān)系，如平行、垂直，其目的在于檢測學(xué)生對空間位置關(guān)系及其求證條件的掌握.第二問以計算直線與平面、兩平面間夾角的正弦值或余弦值為主.對第二問采用向量法的解題策略體現(xiàn)了程序化的思想，先根據(jù)題目信息建立合理的空間直角坐標系，確定所求兩平面的法向量m，n，兩個法向量所成的角或補角即為所求的二面角，在計算中需要注意兩個法向量的方向.雖然對第一問的證明，通常也可以用建立空間直角坐標系的方法與第二問一同求解，簡化運算步驟，但在實際求解中仍建議學(xué)生對第一問采用幾何的方法，這樣既可以避免因向量坐標運算錯誤導(dǎo)致的失分，也可以在第二問運用向量法求解后，將第一問中涉及的線段或平面用向量表示，進行檢驗，提高準確率.

向量法還能解決綜合法難以解決的問題，如點到平面的距離、空間夾角等，將空間問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，雖對學(xué)生的計算能力有較高要求，但可以幫助學(xué)生克服因空間想象力不足而帶來的畏懼心理，降低空間想象的難度.

二、向量法在圓錐曲線中的應(yīng)用

圓錐曲線作為解析幾何中的重難點，是每年高考的必考題，題目以圓錐曲線為主線，融合向量、方程、函數(shù)等知識，具有很強的綜合性.向量法作為解決幾何問題的代數(shù)方法，在圓錐曲線問題的求解中，能幫助學(xué)生用向量表達式表述平面圖形的位置或線段長度的關(guān)系，明確解題方向，簡化解題思路，例如下列兩道高考題中都涉及了對向量法的應(yīng)用.

三、總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入向量，為問題的解決與簡化提供了有力的工具，同時向量作為推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力之一，學(xué)生對它的掌握能為其后繼的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).基于向量與代數(shù)、幾何之間的緊密聯(lián)系，有關(guān)向量知識的考題在高考中所占分數(shù)比重逐漸增大.結(jié)合向量的坐標表達形式，在立體幾何中可用于證明線線、線面、面面的平行和垂直，以及利用平面的法向量求解夾角問題、距離問題等;在圓錐曲線中，更多利用向量的相等、共線、垂直求解坐標之間的數(shù)量關(guān)系，在這當(dāng)中通常涉及韋達定理的使用.不難看出，在解題時，向量法可以幫助我們多角度分析問題，是一個不錯的思考方向，但是具體的靈活運用，離不開對習(xí)題的探索與總結(jié).

【參考文獻】

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