楊偉達(dá)

(廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510800)

縱觀近幾年高考題，筆者發(fā)現(xiàn)定比分點(diǎn)在現(xiàn)成的人教版教材不作要求，但它卻是平面向量的一部分(人教版必修4第99頁(yè)例8)，在數(shù)學(xué)教材的思考、探索之中，在歷年的高考中都能夠捕捉到它的影子．

一、向量形式

定比分點(diǎn)作為向量分解的補(bǔ)充，以三角形形式在高考中累累呈現(xiàn)，常常考查基向量系數(shù)或比值，對(duì)提高學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)具有重要意義．

特別地，當(dāng)點(diǎn)P為線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)λ=1有

又因?yàn)锽、C、D三點(diǎn)共線，所以

因?yàn)椤鰽BC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°

二、坐標(biāo)形式

定比分點(diǎn)以線段的形式出現(xiàn)，常常轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，結(jié)合方程思想求出；另一種方式根據(jù)向量的分解，依托三角形法則分解未知向量，化為基本量，用坐標(biāo)法即可解決.這些在解析幾何或空間立體幾何中時(shí)常呈現(xiàn)，在高考中是一種習(xí)以為常的題型.

設(shè)P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1,y1)，(x2,y2)

分析本題考查了橢圓與直線的綜合問(wèn)題．題目給出分點(diǎn)坐標(biāo)和比值，采用坐標(biāo)法代入，列方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于一元二次函數(shù)即可將問(wèn)題解決．

解設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

即x1=-2x2，y1=3-2y2．

所以當(dāng)m=5時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，最大值為2．

(1)求證：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

分析本題考查了立體幾何的線面垂直、二面角、線面關(guān)系．關(guān)鍵是分點(diǎn)F和分點(diǎn)G．第二、三問(wèn)涉及定比分點(diǎn)，題目已知端點(diǎn)坐標(biāo)和比值，用三角形法則或坐標(biāo)法即可求得.

三、坐標(biāo)形式拓展

例4(2015浙江)如圖6，設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C，其中點(diǎn)A,B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是( ).

分析本題考查拋物線與直線相交的綜合問(wèn)題.利用等高不同底原理把面積比轉(zhuǎn)化為線段之比，再利用相似比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比，結(jié)合拋物線的定義問(wèn)題即可解決．

當(dāng)然，定比分點(diǎn)的代數(shù)形式還與函數(shù)、數(shù)列、不等式等有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，筆者在此沒(méi)有展開，不一一列舉.