蔣良金

[摘? 要] 文章對一道平行四邊形面積問題進(jìn)行多種思路探究，得到多種解法和一個(gè)這類問題的一般性結(jié)論與一個(gè)這類問題的求解公式.

[關(guān)鍵詞] 面積;多解;結(jié)論;公式

起因和解法1

一位學(xué)生向筆者請教一道課外習(xí)題：

如圖1所示，在？荀ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上.

（1）若AB=10，AB與CD間的距離為8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面積.

（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面積分別為5、3、4，求△DEF的面積.

學(xué)生會做第（1）小題，要請教的是第（2）小題怎么解. 筆者看了一下第（1）小題，了解其解題思路和命題者的意圖，于是畫出圖2.

過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，交DC延長線于點(diǎn)N. 設(shè)AE=a，BE=b，F(xiàn)M=x，F(xiàn)N=y，則有 a（x+y）=5， （a+b）y=4， bx=3，化為a（x+y）=10，? ①（a+b）y=8，? ?②bx=6.? ? ? ? ③

由①+③=②×2得：a（x+y）+bx=2（a+b）y，所以ax+bx-ay-2by=0，該式不能解決問題.

由③×2+②=①×2得：2bx+ay+by=2ax+2ay，所以（b-a）（2x+y）=0. 因?yàn)?x+y≠0，所以b-a=0，所以a=b. 那么由②得by=4，所以bx+by=6+4=10，即b（x+y）=10，那么S？荀ABCD=a（x+y）+b（x+y）=20，所以S△DEF=20-5-3-4=8.

在上述的解題過程中，為什么由①+③=②×2得的結(jié)果不能解決問題，而由③×2+②=①×2得的結(jié)果能解決問題？這種解法怎么會有偶然性？這引起學(xué)生的疑惑和筆者的思考，促使筆者對此題進(jìn)行深入探究，得到下列解法和一般性結(jié)論.

解法2

利用同高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊的比，兩相似三角形高的比等于邊長比，平行四邊形對角線把其面積平分等知識求解，得到解法如下：

解 如圖3，連結(jié)BD，設(shè)S△BDE=a，則S△BDF=a+1，設(shè)AD=m，AE=n，則由同高的兩個(gè)三角形面積比等于底邊的比得BE= ，再由兩相似三角形高的比等于邊長的比得BF= ，所以CF=m- ，所以 = ，化簡得 = ，（a+1）（a-3）=12，解得a1=5，a2=-3（不合題意，舍去）. 所以S？荀ABCD=2（5+a）=20，S△DEF=20-5-3-4=8.

一般性結(jié)論1（解法3）

筆者順著第（1）小題的解題思路，試著把一些量用字母表示并進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)果喜出望外，于是得到具有一般性的解法：

解 如圖2，過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，交DC延長線于點(diǎn)N. 設(shè)BE=a，AE=k1a，F(xiàn)M=h，F(xiàn)N=k2h. 則S△DEF=（1+k1）a（1+k2）h- k1（1+k2）ah- ah- （1+k1）a·k2h=（1+k1+k2+k1k2- k1- k1k2- - k2- k1k2）ah= （1+k1+k2）ah.

因?yàn)?k1（1+k2）ah=5， ah=3， k2（1+k1）ah=4，化為k1（1+k2）= ，k2（1+k1）= ，解得k1=1，k2= .

所以S△DEF=31+1+ =8.

有了這個(gè)解平行四邊形中此類面積問題的一般性公式，使此類問題不再是難題. 例如，若△ADE、△BEF、△CDF的面積分別為6、3、4，則有k1（1+k2）=2，k2（1+k1）= ，解得k1= ，k2= .那么S△DEF=31+ + = .

解法4

筆者再利用平行線間同底等高的三角形面積相等，同高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊比，得到解法如下：

解 如圖4，連結(jié)AC，AF，CE，AF與CE交于點(diǎn)G. 設(shè)S△EFG=x，S△CFG=y. 由等積變換知S△ACE=S△ADE=5，S△ACF=S△DCF=4，所以S△ACG=4-y，S△AEG=5-（4-y）=y+1. 由同高的兩三角形面積比等于底邊的比，得 = = ，所以 = . 設(shè)x+y=t，則（t+3）（t+1）=15，（t-2）（t+6）=0，因?yàn)閠+6≠0，所以t-2=0，t=2. 所以S△ABC=2+3+5=10，S？荀ABCD=20，所以S△DEF=20-5-3-4=8.

在解法1、解法2和解法4中，都有明地或隱地得到E是AB的中點(diǎn). 本題的難點(diǎn)是如何說明E是AB的中點(diǎn). 能證明E是AB中點(diǎn)，其余就會迎刃而解，這也解答了解法1時(shí)的疑慮.

一般性結(jié)論2（解法5）

在找到解法4后，受一般性結(jié)論1的啟發(fā)，再試著把解法4中的一些量用字母表示并進(jìn)行推導(dǎo)，又得到喜人的結(jié)果，出現(xiàn)了更一般的解法：

解 如圖4，設(shè)S△ADE=a，S△BEF=b，S△CDF=c，S△EFC=t，則S△AEF=t+a-c，S△BCE=t+b. 因?yàn)?= ，所以 = ，則（t+b）（t+a-c）=ab.

整理得t2+（a+b-c）t-bc=0，因?yàn)閠為正數(shù)，所以t= . 因此得到解此類問題的公式S△DEF=2（a+t+b）-a-b-c= . 把已知代入即得S△DEF= =8.

當(dāng)a=6，b=3，c=4時(shí)，S△DEF= = . 這驗(yàn)證了兩種一般性解法是互通的.

對一些問題進(jìn)行深入探究，可能會一無所獲，也可能有意想不到的收獲. 本例從解題疑惑引發(fā)筆者進(jìn)行多種思路的探究，可謂收獲頗豐，更值一提的是推導(dǎo)出了解此類問題的公式S△DEF= （公式中的a，c可以互換）.