楊坪坪，馮漢升，許繼偉，宋云濤，

1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，安徽合肥230026；2.中國(guó)科學(xué)院等離子體物理研究所，安徽合肥230031；3.中科離子醫(yī)學(xué)技術(shù)裝備有限公司，安徽合肥230088

前言

隨著計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù)（CT）在醫(yī)學(xué)成像、工業(yè)無(wú)損檢測(cè)、地球勘探等領(lǐng)域應(yīng)用愈加廣泛，人們對(duì)CT 成像質(zhì)量要求越來(lái)越高［1‐2］。重建算法［3‐7］一直是CT技術(shù)的核心，其主要分為解析算法和迭代算法，其中解析算法以濾波反投影（Filtered Back Projection,FBP）算法為主，相較迭代算法，解析算法耗時(shí)明顯更少，因此商業(yè)應(yīng)用更加廣泛。就解析算法中的FBP算法而言，其實(shí)現(xiàn)主要分為濾波、反投影重建兩步，其中濾波器的設(shè)計(jì)對(duì)重建圖像質(zhì)量起著關(guān)鍵作用。常見(jiàn)的濾波器有RL 濾波器和SL 濾波器等［8‐11］，但均各有不足。RL濾波器采用矩形窗對(duì)斜坡濾波器進(jìn)行截取，有明顯的Gibbs 現(xiàn)象，表現(xiàn)為嚴(yán)重的振蕩效應(yīng)。SL 濾波器采用sinc 窗函數(shù)對(duì)斜坡濾波器進(jìn)行截取，振蕩現(xiàn)象減弱，但因其低頻段偏離斜坡函數(shù)，因此低頻段重建質(zhì)量不如RL 濾波器。此外文獻(xiàn)［12］指出，通過(guò)加權(quán)因子的選擇，一次指數(shù)濾波器能達(dá)到RL 濾波器、SL 濾波器相似的效果，其性能效果是RL濾波器、SL濾波器的折中。本文通過(guò)對(duì)一次指數(shù)濾波器的研究引入高斯濾波器，并進(jìn)一步設(shè)計(jì)了一種新型濾波器——改進(jìn)高斯濾波器，從濾波器設(shè)計(jì)原理出發(fā)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析驗(yàn)證了該濾波器在有無(wú)噪聲的情況下，都能很好地抑制圖像灰度波動(dòng)，同時(shí)能有效改善重建圖像質(zhì)量，重建性能表現(xiàn)優(yōu)越。

1 原理介紹

1.1 FBP算法

FBP 重建算法可分為二維圖像重建與三維圖像重建，但其濾波器設(shè)計(jì)是通用的。FBP算法中的濾波步驟主要是為了消除反投影圖像中存在的星狀偽影。研究指出星狀偽影可以在反投影重建之前進(jìn)行濾波消除，其濾波實(shí)現(xiàn)較先反投影后濾波更為簡(jiǎn)單，稱(chēng)為FBP 算法［2］。FBP 算法具體實(shí)現(xiàn)步驟（以二維圖像重建為例）為：

（1）對(duì)某一個(gè)角度下的投影數(shù)據(jù)pθ(t)作一維傅里葉變換，記為Pθ(w)：

（2）對(duì)Pθ(w)進(jìn)行一維斜坡濾波器H(w)=|w|濾波，記為P'θ(w)：

（3）對(duì)P'θ(w)進(jìn)行傅里葉逆變換，記為p'θ(t)：

（4）對(duì)濾波后的投影圖像（0°到180°的投影圖像）作反投影累加加權(quán)，得到重建圖像f(x,y)：

1.2 濾波器設(shè)計(jì)

理論上濾波器H(w)=|w|是一個(gè)無(wú)限頻帶的濾波函數(shù)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)［13‐14］。但在實(shí)際成像過(guò)程中，投影數(shù)據(jù)高頻分量比較小，且投影過(guò)程（X射線(xiàn)成像過(guò)程）中有平均作用，相當(dāng)于低通濾波，因此可以采用濾波窗函數(shù)對(duì)斜坡函數(shù)在截止頻率（，其中d為探測(cè)器間距）范圍內(nèi)進(jìn)行加窗［15］，如下：

因此，濾波器設(shè)計(jì)實(shí)際上是窗函數(shù)選取的過(guò)程。判斷窗函數(shù)的優(yōu)劣一般有3個(gè)指標(biāo)：主瓣、近旁瓣、遠(yuǎn)處旁瓣。窗函數(shù)的選擇一般要求主瓣高而窄，空間分辨率越高，最大旁瓣相對(duì)主瓣盡可能幅度小，數(shù)值精度越高，密度分辨率越高，同時(shí)遠(yuǎn)旁瓣幅度與幅值小，曲線(xiàn)過(guò)渡平滑，以防止嚴(yán)重的Gibbs現(xiàn)象［16‐17］。

1.3 一次指數(shù)濾波器

文獻(xiàn)［12］指出，一次指數(shù)濾波器能通過(guò)加權(quán)方式達(dá)到與RL 濾波器、SL 濾波器相似的效果，其形式如式（6）所示。

其中，a為加權(quán)因子，B為截止頻率。通過(guò)選擇不同的加權(quán)因子，一次指數(shù)濾波器能達(dá)到不同的效果。

文獻(xiàn)指出，當(dāng)a取0.64 時(shí)，其效果類(lèi)似于SL 濾波器，其頻域曲線(xiàn)［18］、空域曲線(xiàn)［19］如圖1和圖2所示。

圖1 一次指數(shù)函數(shù)a=0.64，高斯函數(shù)k = 1.8與SL、RL函數(shù)頻域?qū)Ρ菷ig.1 First-order exponential function a=0.64,Gaussian function k=1.8,compared with SL and RL functions in the frequency domain

圖2 一次指數(shù)函數(shù)a=0.64，高斯函數(shù)k = 1.8與SL、RL函數(shù)空域?qū)Ρ菷ig.2 First-order exponential function a=0.64,Gaussian function k=1.8,compared with SL and RL functions in the space domain

從圖1、圖2中可明顯看到，當(dāng)一次指數(shù)濾波器權(quán)值a=0.64 時(shí)，其頻域曲線(xiàn)近似直線(xiàn)，與RL 濾波器更相似，其空域曲線(xiàn)存在明顯的振蕩，頻域曲線(xiàn)截止頻率附近沒(méi)有明顯壓低，因此會(huì)存在明顯的Gibbs 效應(yīng)，并且對(duì)高頻噪聲十分敏感。據(jù)此，引入高斯濾波器，其形式如下：

式中，k為加權(quán)因子。當(dāng)k=1.8 時(shí)，其頻域曲線(xiàn)與空域曲線(xiàn)見(jiàn)圖1、圖2。可以明顯看出，高斯濾波器通過(guò)加權(quán)能更加逼近于SL濾波器，空域曲線(xiàn)光滑，沒(méi)有出現(xiàn)明顯的振蕩現(xiàn)象，頻域曲線(xiàn)截止頻率附近較一次指數(shù)濾波器明顯壓低，能有效抑制Gibbs現(xiàn)象。且當(dāng)k=0時(shí)，高斯濾波器等同于RL 濾波器，因此高斯濾波器實(shí)際應(yīng)用效果是RL、SL 濾波器的折中。為了進(jìn)一步驗(yàn)證高斯濾波器相比一次指數(shù)濾波器的優(yōu)良性，后文將會(huì)采用仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證。

2 改進(jìn)高斯濾波器

為了進(jìn)一步改進(jìn)高斯濾波器，本文設(shè)計(jì)了新型濾波器——改進(jìn)高斯濾波器，其形式如下：

式中，a1、a2為加權(quán)因子?？梢钥闯?，當(dāng)a1= 0時(shí)，改進(jìn)高斯濾波器退化為高斯濾波器。其中a1加權(quán)因子的引入是為了實(shí)現(xiàn)對(duì)高斯濾波器截止頻率附近的進(jìn)一步壓低以減小Gibbs 效應(yīng)以及噪聲影響，其加權(quán)因子對(duì)比頻域曲線(xiàn)見(jiàn)圖3。

圖3 a2=1.8時(shí)，a1取0、0.2、0.3時(shí)改進(jìn)高斯濾波器頻域?qū)Ρ葓DFig.3 Comparison of the frequency domain of the improved Gaussian filter when a1=0,0.2 and 0.3,with a2=1.8

更進(jìn)一步，本文做了針對(duì)不同加權(quán)因子的剖線(xiàn)灰度曲線(xiàn)對(duì)比圖，其參數(shù)與后文的重建參數(shù)一致?；叶惹€(xiàn)表征了圖像的粗糙程度，曲線(xiàn)波動(dòng)越大，圖像越粗糙。從圖4中可以看出，當(dāng)a1 給定時(shí)，a2 越大圖像越平滑，能更好地還原原始模型。

圖4 a1= 0.5,a2取2.3、4.0時(shí)的灰度曲線(xiàn)對(duì)比Fig.4 Comparison of grayscale curve when a2=2.3 and 4.0,with a1=0.5

為了進(jìn)一步驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果評(píng)價(jià)圖像質(zhì)量，引入常用的醫(yī)學(xué)圖像判據(jù)，其形式如下：

（1）歸一化均方距離d：

式中，tx,y、rx,y分別表示模型原圖和重建圖對(duì)應(yīng)點(diǎn)的像素密度，t'表示模型原圖密度的平均值，圖像像素N×N個(gè)。歸一化均方距離表征了少數(shù)點(diǎn)的大誤差情況。

（2）歸一化平均絕對(duì)距離r：

歸一化平均絕對(duì)距離表征了多數(shù)點(diǎn)的小誤差情況。

從表1可以看出，a2 越大圖像越平滑，但相應(yīng)的重建誤差將會(huì)增大，其中歸一化均方距離誤差明顯升高。因此實(shí)際重建過(guò)程中，需要根據(jù)需求靈活選擇加權(quán)因子。

表1 a1= 0.5,a2取2.3、4.0時(shí)改進(jìn)高斯濾波器的重建誤差對(duì)比Tab.1 Comparison of reconstruction error of the improved Gaussian filter when a2 = 2.3 and 4.0,with a1=0.5

3 改進(jìn)高斯濾波器仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比

為了測(cè)試改進(jìn)高斯濾波器實(shí)際應(yīng)用效果，對(duì)濾波器在無(wú)噪聲情況與加噪聲情況下的重建過(guò)程進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。其中重建模型采用二維Shepp‐Logan圖像［20］，重建模式選用二維平行束重建，投影角度取0°到179°，步長(zhǎng)為1，重建圖像大小為512×512，探測(cè)器采樣點(diǎn)數(shù)512，重建像素間隔與探測(cè)器采樣間隔均取1 mm。分別取無(wú)噪聲與有噪聲情況下的重建結(jié)果圖，灰度曲線(xiàn)圖與重建誤差表（分別為歸一化均方距離誤差表與歸一化平均絕對(duì)距離誤差表）進(jìn)行對(duì)比，其中灰度曲線(xiàn)圖采用像素位置256處的重建圖像橫向剖線(xiàn)，一次指數(shù)濾波器權(quán)值取0.64，高斯濾波器權(quán)值取1.8，改進(jìn)高斯濾波器權(quán)值a1=0.5，a2=2.3。

3.1 無(wú)噪聲情況下不同濾波器重建結(jié)果與相應(yīng)的灰度曲線(xiàn)圖

通過(guò)圖5與表2可以發(fā)現(xiàn)，一次指數(shù)濾波器重建效果與RL 濾波器相似，灰度曲線(xiàn)波動(dòng)很大，圖像粗糙，重建誤差也很大。高斯濾波器重建效果與SL 濾波器相似。改進(jìn)高斯濾波器灰度曲線(xiàn)相比其他濾波器明顯更平滑，其重建誤差明顯減小，歸一化均方距離與SL 濾波器差距不大，其歸一化平均絕對(duì)距離卻比SL濾波器小許多。因此，在無(wú)噪聲情況下，改進(jìn)高斯濾波器重建結(jié)果明顯優(yōu)于其他濾波器。

表2 不同濾波器重建誤差表Tab.2 Reconstruction errors of different filters

圖5 無(wú)噪聲情況下不同濾波器重建結(jié)果與相應(yīng)的灰度曲線(xiàn)圖Fig.5 Reconstruction results of different filters in the case of noise-free and the corresponding grayscale curves

3.2 有噪聲情況下不同濾波器重建結(jié)果與相應(yīng)的灰度曲線(xiàn)圖

從圖6可以看出，在有噪聲情況下，一次指數(shù)濾波器重建灰度曲線(xiàn)圖略?xún)?yōu)于RL濾波器，且明顯劣于SL濾波器、高斯濾波器與改進(jìn)高斯濾波器，因此重建圖像非常粗糙。高斯濾波器重建灰度曲線(xiàn)較SL濾波器更平滑。改進(jìn)高斯濾波器重建灰度曲線(xiàn)較其他濾波器波動(dòng)明顯更小，更加趨近于原始圖像。

圖6 有噪聲情況下不同濾波器重建結(jié)果與相應(yīng)的灰度曲線(xiàn)圖Fig.6 Reconstruction results of different filters in case of noises and the corresponding grayscale curves

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)高斯濾波器的抗噪性能，采用抗噪性能明顯優(yōu)于RL 濾波器的SL 濾波器進(jìn)行對(duì)比，做了3 組噪聲對(duì)比實(shí)驗(yàn)，加噪噪聲采用平均值為0、方差為1 的不同強(qiáng)度高斯噪聲進(jìn)行對(duì)比，產(chǎn)生噪聲命令如下：

其中，k為參數(shù)，I為原始圖像，noise為噪聲圖像，randn能根據(jù)圖像大小產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布序列。因此可以通過(guò)選取不同k值達(dá)到模擬不同噪聲強(qiáng)度的目的。

從表3、表4可以看出，改進(jìn)高斯濾波器在不同噪聲強(qiáng)度下保持重建歸一化均方距離誤差相差不大的情況下，其歸一化平均絕對(duì)距離誤差明顯更小，因此擁有比SL濾波器更優(yōu)的抗噪性能。

表3 SL濾波器、改進(jìn)高斯濾波器在不同噪聲強(qiáng)度下的重建歸一化均方距離Tab.3 Reconstruction normalized mean square distances of SL filter and improved Gaussian filter under different noise intensities

表4 SL濾波器、改進(jìn)高斯濾波器在不同噪聲強(qiáng)度下的重建歸一化平均絕對(duì)距離Tab.4 Reconstruction normalized average absolute distances of SL filter and improved Gaussian filter under different noise intensities

4 結(jié)論

本文從已有對(duì)指數(shù)濾波器的研究出發(fā)，分析了一次指數(shù)濾波器的不足，引入高斯濾波器，并進(jìn)一步改進(jìn)提出一種新型濾波器。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比分別驗(yàn)證了該濾波器較RL 濾波器、SL 濾波器、一次指數(shù)濾波器、高斯濾波器的優(yōu)良特性，它有效抑制了重建時(shí)的灰度波動(dòng)，重建圖像更加平滑，且在有無(wú)噪聲的情況下，均能保持更佳的重建圖像質(zhì)量，重建誤差明顯更小。此外，在改進(jìn)高斯濾波器加權(quán)因子選擇a1=0.5、a2=2.3 時(shí)，該濾波器能在有效保持圖像平滑的同時(shí)減小重建誤差。