亓興軍，孫緒法，趙 越，李洪印，王珊珊

(1. 山東建筑大學(xué) 交通工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101； 2. 山東建筑大學(xué) 山東省高校土木結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)協(xié)同創(chuàng)新中心，山東 濟(jì)南 250101； 3. 齊魯交通發(fā)展集團(tuán)有限公司，山東 濟(jì)南 250101； )

0 引 言

近年來，隨著國家不斷加大對交通基礎(chǔ)設(shè)施領(lǐng)域的投資，橋梁建設(shè)也進(jìn)入到快速發(fā)展時(shí)期。截至2018年末，中國公路橋梁已達(dá)85.15×104座、5 568.59×104m，數(shù)量和總跨徑已躍居世界前列。由于公路橋梁的運(yùn)行壓力不斷增大，加上雨雪侵蝕、日曬凍融等因素的影響，大量運(yùn)營中的橋梁出現(xiàn)病害，嚴(yán)重影響了橋梁的功能與安全[1-2]。據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國公路橋梁中存在病害的橋梁已經(jīng)占到橋梁總數(shù)的10%～20%。因此，對現(xiàn)役橋梁承載能力進(jìn)行快速評估已成為一個(gè)重要的課題。

國內(nèi)外學(xué)者對橋梁承載能力的快速評估進(jìn)行了大量研究。2006年，Catbas等[3-4]提出一種利用柔度矩陣對低階模態(tài)參數(shù)靈敏度高的特性實(shí)現(xiàn)橋梁損傷的快速定位與橋梁承載能力的初步評估。2014年，王寧波等[5-6]提出一種基于實(shí)際影響線的橋梁承載能力快速檢測方法，從車輛通過橋梁時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)中提取影響線，重構(gòu)靜力荷載的橋梁撓度響應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對橋梁承載能力快速檢測。2017年，Tian等[6-9]利用沖擊激勵(lì)獲得橋梁的柔度矩陣，從而預(yù)測橋梁在荷載作用下的變形，實(shí)現(xiàn)對于橋梁安全狀態(tài)的快速評估。

目前，對于橋梁承載能力的檢測主要依靠綜合評定檢算法和荷載試驗(yàn)法[10]。荷載試驗(yàn)法包括靜載試驗(yàn)法和動(dòng)載試驗(yàn)法，其中靜載試驗(yàn)法是評定橋梁承載能力最為直觀也是最為有效的方法。然而，荷載試驗(yàn)法需要加載車輛荷載并測量橋梁變形，耗費(fèi)大量的人力物力；同時(shí)試驗(yàn)過程中需要中斷交通，給交通通行帶來巨大不便。因此，本文提出一種基于環(huán)境激勵(lì)的連續(xù)橋撓度評定方法，利用環(huán)境激勵(lì)激振橋梁，應(yīng)用隨機(jī)子空間法(SSI)識別橋梁頻率與振型等模態(tài)參數(shù)，再通過有限元模型對識別振型進(jìn)行歸一化，進(jìn)而預(yù)測出橋梁的柔度矩陣。利用柔度矩陣計(jì)算橋梁在靜力試驗(yàn)荷力工況下各控制截面的模態(tài)撓度，代替橋梁的實(shí)測靜載撓度，結(jié)合現(xiàn)行規(guī)范評估橋梁的承載能力。該試驗(yàn)方法無需中斷交通或利用交通車流間隙即可進(jìn)行實(shí)際測量工況的加載，以模態(tài)撓度代替靜載撓度，可以方便快捷地評價(jià)橋梁的承載能力。

本文以1座4跨連續(xù)梁橋?yàn)檠芯繉ο?，建立有損橋梁和無損橋梁單梁有限元模型，探討基于環(huán)境激勵(lì)的連續(xù)梁橋承載能力評定方法的可行性和有效性。

1 隨機(jī)子空間法

環(huán)境激勵(lì)是目前土木工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)測試中最為常用的激勵(lì)方法，它直接利用地脈動(dòng)、風(fēng)荷載和車輛激勵(lì)等自然條件激勵(lì)結(jié)構(gòu)，具有操作方便的優(yōu)點(diǎn)，但是由于環(huán)境激勵(lì)具有隨機(jī)性強(qiáng)、幅值小、受噪聲影響大等特點(diǎn)，所以無法準(zhǔn)確得到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻響函數(shù)[8]。

隨機(jī)子空間法是一種基于環(huán)境振動(dòng)模態(tài)參數(shù)識別的時(shí)域方法，可以將采集到的橋梁加速度數(shù)據(jù)組成Hankel矩陣，并建立線性的離散空間方程，利用QR分解、奇異值分解(SVD)、最小二乘法等求解結(jié)構(gòu)的離散空間方程，最后利用特征值分解確定結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)[11-14]。隨機(jī)子空間法可以利用統(tǒng)計(jì)學(xué)特性，將環(huán)境激勵(lì)的輸入力與測量噪聲合并假定為白噪聲，因此對于測量噪聲具有較好的魯棒性，故本文選用此方法進(jìn)行環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)識別。

2 模態(tài)位移柔度計(jì)算方法

2.1 模態(tài)位移柔度的定義

柔度反映物體在單位力作用下的位移，其值與剛度互為倒數(shù)，可以表征結(jié)構(gòu)在線彈性狀態(tài)下的變形能力，按照測試方法的不同可分為模態(tài)位移柔度和靜力位移柔度[14]。其中，通過振動(dòng)試驗(yàn)和模態(tài)分析方法得到的柔度稱為模態(tài)位移柔度。通過國內(nèi)外眾多學(xué)者[3-4]驗(yàn)證，當(dāng)有數(shù)量足夠多的模態(tài)階次用于計(jì)算模態(tài)位移柔度時(shí)，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)的靜力位移柔度與模態(tài)位移柔度是相同的。因此，可以利用模態(tài)位移柔度矩陣預(yù)測橋梁在已知荷載作用下的模態(tài)位移，從而代替靜力位移。如今，常用2種方法計(jì)算模態(tài)位移柔度：方法1為基于角頻率和質(zhì)量歸一化振型計(jì)算模態(tài)位移柔度；方法2為基于頻率響應(yīng)函數(shù)擬合提取模態(tài)位移柔度[14]。因環(huán)境激勵(lì)振動(dòng)測試無法準(zhǔn)確構(gòu)建結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)，本文采用方法1計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)位移柔度矩陣。

2.2 振型質(zhì)量歸一化計(jì)算方法

結(jié)構(gòu)振型表示結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)在各階模態(tài)下的模態(tài)位移比值，是結(jié)構(gòu)的固有特性，所以振型中各測點(diǎn)的幅值比值是恒定的[15-17]。因此，在環(huán)境激勵(lì)下實(shí)測的結(jié)構(gòu)振型與質(zhì)量歸一化的結(jié)構(gòu)振型計(jì)算關(guān)系如下

φmi=γiφi

(1)

式中：φmi為第i階質(zhì)量歸一化振型；φi為環(huán)境激勵(lì)下第i階實(shí)測振型，γi為第i階振型縮放系數(shù)。

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量不會隨著時(shí)間推移而變化，所以可以根據(jù)橋梁的竣工圖紙，建立精確的有限元模型，得到橋梁集中質(zhì)量矩陣M。對于質(zhì)量歸一化振型，滿足如下的正交關(guān)系

(2)

(3)

式中：K為剛度矩陣；ωr為固有頻率。

將式(1)代入式(2)與式(3)中，便可得到質(zhì)量歸一化振型縮放系數(shù)γl，即

(4)

2.3 模態(tài)位移柔度矩陣計(jì)算方法

由結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論可知，H(ω)為外部激勵(lì)角頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣，在力學(xué)概念上等同于單位脈沖動(dòng)荷載作用下各測量點(diǎn)的動(dòng)位移[9]。在實(shí)際工程中橋梁的結(jié)構(gòu)阻尼較小，可設(shè)為比例阻尼。根據(jù)一般阻尼的復(fù)模態(tài)理論，取所有測點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，可以得到基于實(shí)模態(tài)理論的位移頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)模態(tài)分解公式[18]。當(dāng)ω→0時(shí)，H(ω)表示單位荷載作用下結(jié)構(gòu)某一點(diǎn)的位移，則H(ω)|ω→0表示的物理意義為結(jié)構(gòu)的位移柔度矩陣，具體計(jì)算公式如下

(5)

式中：Mi為結(jié)構(gòu)第i階模態(tài)質(zhì)量；ω為外部激勵(lì)角頻率；ωi，ξi分別為第i階角頻率和模態(tài)阻尼比。

當(dāng)采用質(zhì)量歸一化振型時(shí)，式(5)可以簡化為

(6)

式中：Hd為結(jié)構(gòu)模態(tài)位移柔度矩陣。

由結(jié)構(gòu)的位移柔度矩陣Hd和靜荷載向量f可計(jì)算得結(jié)構(gòu)的模態(tài)撓度D，具體公式為

D=Hd·f

(7)

由式(6)可知，模態(tài)位移柔度矩陣可通過結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)參數(shù)計(jì)算疊加得到，并且與結(jié)構(gòu)角頻率的平方成反比。如果有足夠多的模態(tài)階次用于計(jì)算模態(tài)位移柔度矩陣，則可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)的模態(tài)位移柔度矩陣與靜力位移柔度矩陣是一致的。由于結(jié)構(gòu)的高階振型難以識別，需要利用多階模態(tài)進(jìn)行截?cái)嗵幚怼ｋS著模態(tài)階數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)的固有角頻率明顯升高，結(jié)構(gòu)高階角頻率對應(yīng)的模態(tài)對柔度矩陣的影響會明顯減小。因此，一般利用頻率較低的幾階模態(tài)參數(shù)得到的模態(tài)位移柔度矩陣會快速收斂于結(jié)構(gòu)的靜力位移柔度矩陣，通過計(jì)算便能得到滿足工程精度要求的模態(tài)位移。

3 橋梁有限元模型建立

采用ANSYS有限元軟件中的Beam4單元建立跨度為20 m+25 m+25 m+20 m的4跨連續(xù)梁橋初始有限元模型(圖1)。支座約束為5個(gè)豎向約束、5個(gè)順橋向轉(zhuǎn)動(dòng)約束及1個(gè)縱向約束，截面尺寸見圖2，主梁材料選用C50混凝土。為模擬真實(shí)的橋梁損傷，將橋梁的各跨跨中位置(即5～15 m，30～35 mm，55～60 m，75～85 m)彈性模量折減30%，建立橋梁損傷有限元模型，并提取橋梁有限元模型中的質(zhì)量矩陣。本文在橋梁損傷模型中進(jìn)行數(shù)值模擬。

為模擬橋梁環(huán)境激勵(lì)，在橋梁的有限元結(jié)構(gòu)中31個(gè)節(jié)點(diǎn)處加載時(shí)長為30 s、均值為0、方差為1.0的豎向白噪聲激勵(lì)，白噪聲激勵(lì)如圖3所示。

4 模態(tài)位移柔度矩陣計(jì)算

4.1 橋梁荷載試驗(yàn)設(shè)計(jì)

按照《公路橋梁荷載試驗(yàn)規(guī)程》中關(guān)于橋梁靜載試驗(yàn)加載工況的要求，采用2輛30 t的3軸加載車對4跨連續(xù)梁橋第2跨進(jìn)行中載工況的加載，加載車輛如圖4所示。利用橋梁跨中彎矩的影響線確定加載試驗(yàn)中最不利荷載的加載位置，如圖5所示。此時(shí)靜載試驗(yàn)荷載效率ηq=0.95，滿足《公路橋梁荷載試驗(yàn)規(guī)程》要求。為減小計(jì)算模態(tài)撓度時(shí)因荷載等效分配及附加彎矩帶來的誤差，在進(jìn)行荷載試驗(yàn)的第2跨跨中(即29～36 m處)按照1 m等間距布置加速度傳感器，其余位置按照5 m等間距布置，共布置25個(gè)加速度傳感器。

4.2 橋梁模態(tài)參數(shù)識別

基于模態(tài)位移柔度矩陣識別的靜載試驗(yàn)應(yīng)用于橋梁承載能力評估時(shí)，由于位移柔度矩陣的快速收斂性，只需要利用低階豎向振型對應(yīng)的模態(tài)參數(shù)便可以計(jì)算得到較為精確的位移柔度矩陣[18]。因此，我們只需應(yīng)用橋梁前5階模態(tài)參數(shù)，便能得到較高精度的位移柔度矩陣。利用基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)子空間法識別橋梁在環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)，采用穩(wěn)定圖法來消除計(jì)算過程中的不確定性因素，剔除虛假模態(tài)。穩(wěn)定圖的判斷準(zhǔn)則為：頻率相對誤差小于5%，模態(tài)保證準(zhǔn)則(MAC)值大于0.98。所分析的頻率范圍為0～25 Hz，計(jì)算階次n從10取到80(考慮共軛特征值的存在，實(shí)際計(jì)算以2，4，6，…，80共40個(gè)階次計(jì)算)。橋梁模型在白噪聲激勵(lì)下頻率如圖6、表1所示。橋梁振型識別結(jié)果如圖7所示，各階振型MAC值如圖8、表2所示。

表1 橋梁模型頻率Tab.1 Frequency of Bridge Model

利用環(huán)境激勵(lì)下橋梁有限元模型各測點(diǎn)數(shù)據(jù)識別得到基本模態(tài)參數(shù)，并利用超單元法從損傷橋梁的有限元模型中提取模型的質(zhì)量矩陣。將質(zhì)量矩陣代入式(1)，(4)計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量歸一化系數(shù)γi和質(zhì)量歸一化振型φmi。前5階振型質(zhì)量歸一化系數(shù)分別為：1.680 2，1.231 3，1.482 6，0.538 7，8.727 4?？梢钥闯?，每一階振型的質(zhì)量歸一化系數(shù)都不一樣，其數(shù)值的大小與振型的幅值及有限元模 型單元的劃分都有關(guān)系。利用式(6)計(jì)算得到的位移柔度矩陣是25行25列的方陣，為直觀地觀測該矩陣，畫出如圖8所示的柔變矩陣三維圖。由于25個(gè)傳感器測點(diǎn)沿4跨連續(xù)梁的順橋向布置，并且在第2跨跨中位置加密布置測點(diǎn)，所以位移柔度矩陣的三維曲面圖中有4個(gè)明顯的峰值。最大峰值點(diǎn)對應(yīng)橋梁結(jié)構(gòu)的位置為各梁跨中處，與該連續(xù)梁橋的變形物理意義相一致。

表2 橋梁豎向振型MAC值Tab.2 MAC Values of Vertical Vibration Modes of Bridge

5 橋梁模態(tài)撓度計(jì)算

在計(jì)算模態(tài)撓度時(shí)，按照虛功相等的原則，利用形函數(shù)將車輪集中力分配到柔度矩陣節(jié)點(diǎn)上，將車輪力等效為節(jié)點(diǎn)荷載，然后利用等效節(jié)點(diǎn)荷載與柔度矩陣計(jì)算預(yù)測橋梁的模態(tài)撓度[19-21]。按照《公路橋梁荷載試驗(yàn)規(guī)程》要求，中載將進(jìn)行兩級加載。一級加載下連續(xù)梁各測點(diǎn)撓度如圖9所示，各跨控制截面撓度值如表3所示；二級加載下連續(xù)梁各測點(diǎn)撓度如圖10所示，各跨控制截面撓度值如表4所示。在實(shí)際荷載試驗(yàn)工程中，需要計(jì)算橋梁的實(shí)測撓度校驗(yàn)系數(shù)η，而模態(tài)位移柔度表征結(jié)構(gòu)在線彈性狀態(tài)下的變形能力，所以可以準(zhǔn)確計(jì)算橋梁的校驗(yàn)系數(shù)η，各控制截面的橋梁撓度校驗(yàn)系數(shù)如表5所示，各控制截面的撓度校驗(yàn)系數(shù)均大于1。

表3 一級加載控制截面撓度Tab.3 Control Section Deflection of the First Loading

表4 二級加載控制截面撓度Tab.4 Control Section Deflection of the Second Loading

表5 二級加載控制截面校驗(yàn)系數(shù)驗(yàn)算Tab.5 Checking for Control Section Verification Coefficient of the Second Loading

從圖9、圖10與表3、表4可以看出，對于該4跨連續(xù)梁橋，在中載的荷載工況下，利用環(huán)境激勵(lì)下的前5階模態(tài)參數(shù)計(jì)算得到的損傷橋梁模態(tài)撓度數(shù)值與有限元分析的理論撓度數(shù)值吻合較好。在一級與二級加載下，損傷橋梁各測點(diǎn)實(shí)測識別模態(tài)撓度與理論撓度相對誤差均小于6%，控制截面的撓度最大相對誤差為5.9%，基本上滿足工程精度的要求。建立橋梁的有損模型模擬橋梁因結(jié)構(gòu)損傷帶來的承載力降低情況，通過驗(yàn)算荷載試驗(yàn)校驗(yàn)系數(shù)準(zhǔn)確判斷承載力的折減情況。從表5的荷載試驗(yàn)校驗(yàn)系數(shù)可以看出，該損傷橋梁的承載能力不滿足設(shè)計(jì)要求。因此，基于環(huán)境激勵(lì)和柔度矩陣識別的虛擬荷載試驗(yàn)法可以得到較為準(zhǔn)確的實(shí)測撓度值，從而結(jié)合橋梁規(guī)范對橋梁承載能力進(jìn)行評估。

6 結(jié) 語

(1)基于環(huán)境激勵(lì)和柔度矩陣識別可以得到較為準(zhǔn)確的橋梁撓度值，連續(xù)梁橋各測點(diǎn)模態(tài)撓度與相應(yīng)的理論撓度相對誤差均小于6%，可以結(jié)合《公路橋梁荷載試驗(yàn)規(guī)程》對橋梁承載狀態(tài)進(jìn)行評估。

(2)通過柔度矩陣計(jì)算的橋梁模態(tài)撓度與有限元計(jì)算結(jié)果相比，仍然存在著誤差。主要原因在于計(jì)算柔度矩陣時(shí)加速度采集的測點(diǎn)數(shù)目不足，導(dǎo)致柔度矩陣計(jì)算的維數(shù)不夠；或者是節(jié)點(diǎn)荷載分配不夠精確，在計(jì)算橋梁模態(tài)撓度時(shí)會存在誤差。因此在實(shí)際工程應(yīng)用中，在滿足荷載試驗(yàn)規(guī)程要求的加載前提下，需要多布置加速度傳感器進(jìn)行測量。

(3)在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于結(jié)構(gòu)的質(zhì)量不會發(fā)生較大的變化，可以根據(jù)竣工圖紙建立較為精確的橋梁初始有限元模型獲得橋梁的質(zhì)量矩陣，然后只需利用環(huán)境激勵(lì)或交通激勵(lì)，便可方便快捷地測量出橋梁結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)荷載下的相關(guān)撓度，并結(jié)合橋梁荷載試驗(yàn)規(guī)范判斷橋梁的承載能力。