崔博文，田 維

基于復(fù)數(shù)無跡卡爾曼濾波的電力系統(tǒng)頻率和諧波估計(jì)

崔博文，田 維

(集美大學(xué)輪機(jī)工程學(xué)院，福建廈門 361021)

針對(duì)噪聲干擾條件下傳統(tǒng)的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法在電力系統(tǒng)頻率和諧波估計(jì)精度問題，本文提出了基于復(fù)數(shù)無跡卡爾曼濾波的頻率和諧波估計(jì)方法。利用歐拉公式，對(duì)電力系統(tǒng)信號(hào)進(jìn)行適當(dāng)變換，獲得電力系統(tǒng)信號(hào)復(fù)數(shù)狀態(tài)空間模型，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)信號(hào)頻率和諧波估計(jì)。為了驗(yàn)證噪聲干擾條件下本文方法參數(shù)估計(jì)有效性，通過在系統(tǒng)信號(hào)中增加不同信噪比噪聲干擾，分別利用本文方法和通用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。結(jié)果表明，在噪聲干擾條件下，本文方法的估計(jì)精度優(yōu)于通用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法，這表明本文方法更適于強(qiáng)噪聲干擾條件下的系統(tǒng)信號(hào)頻率和諧波估計(jì)。

頻率估計(jì) 諧波估計(jì) 卡爾曼濾波 復(fù)數(shù)無跡卡爾曼濾波 復(fù)數(shù)狀態(tài)變量

0 引言

隨著大量非線性負(fù)載及電力電子變換器的廣泛應(yīng)用，電網(wǎng)電壓或電流的不平衡狀態(tài)也愈加嚴(yán)重，隨之也引起了愈來愈嚴(yán)重的諧波污染和波形畸變[1～5]。由于諧波污染，會(huì)使電網(wǎng)電能質(zhì)量變差、電機(jī)過熱、繼電器和斷路器誤動(dòng)作[6]。諧波分量及負(fù)載的動(dòng)態(tài)變化會(huì)使得電網(wǎng)電壓或電流的幅值和相位發(fā)生變化，進(jìn)而引起電網(wǎng)電能質(zhì)量變差。頻率是表征電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)和電網(wǎng)電能質(zhì)量的最重要參數(shù)之一，也是唯一允許在標(biāo)稱值附近按規(guī)定范圍波動(dòng)的參數(shù)，常用于電力系統(tǒng)監(jiān)控、保護(hù)和控制應(yīng)用中[7]。因此，為確保電網(wǎng)穩(wěn)定工作及電氣負(fù)載正常運(yùn)行，同時(shí)也為了評(píng)估電能質(zhì)量、實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)控制和監(jiān)控，準(zhǔn)確檢測(cè)頻率及諧波就顯得十分必要[8]。

基于快速傅立葉變換（FFT）的方法是最早用于諧波估計(jì)的方法[9～10]。但在使用FFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)需要同步采樣以獲得整周期的信號(hào)，否則會(huì)引起譜泄漏造成諧波估計(jì)精度變差[11]。然而，由于基頻波動(dòng)和諧波干擾，同步采樣也很難實(shí)現(xiàn)。為解決因不同步采樣引起的譜泄漏問題，出現(xiàn)了各種加窗FFT方法[12～16]。盡管加窗FFT在一定程度上可以抑制譜泄漏，但是，當(dāng)某些諧波幅值較小時(shí)，難以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的譜估計(jì)[8]。針對(duì)難以同步采樣及譜泄露問題，很多研究者利用卡爾曼濾波估計(jì)電網(wǎng)頻率及其諧波。Girgis[17]在信號(hào)頻率確定條件下，建立了系統(tǒng)信號(hào)狀態(tài)方程，利用卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)了諧波估計(jì)。Nie[18]建立了信號(hào)DTM模型，給出了狀態(tài)噪聲干擾信號(hào)的協(xié)方差矩陣表達(dá)式，利用線性卡爾曼濾波方法估計(jì)了信號(hào)基波和諧波。然而，在頻率變化或未知時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)方程或觀測(cè)方程表現(xiàn)為非線性特性，現(xiàn)有的線性卡爾曼濾波方法則會(huì)失效。文獻(xiàn)[19～21]針對(duì)非線性狀態(tài)觀測(cè)方程條件，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法對(duì)多諧波信號(hào)進(jìn)行譜估計(jì)。但是，擴(kuò)展卡爾曼濾波在計(jì)算雅可比矩陣時(shí)花費(fèi)過多時(shí)間，且在初始條件選擇不當(dāng)時(shí)，這種非線性特性可能會(huì)導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果變差[22]。

無跡卡爾曼濾波（UKF)由于不需要對(duì)非線性狀態(tài)方程和觀測(cè)方程在估計(jì)點(diǎn)處進(jìn)行線性化逼近，也無需費(fèi)時(shí)的微分運(yùn)算，可以獲得更準(zhǔn)確的增益和協(xié)方差矩陣，因此估計(jì)精度也更高[19]。本文在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)變換，建立了電網(wǎng)信號(hào)復(fù)數(shù)狀態(tài)空間模型，利用復(fù)數(shù)UKF在復(fù)數(shù)域?qū)崿F(xiàn)了頻率和諧波的估計(jì)。

1 系統(tǒng)信號(hào)模型

在三相電力系統(tǒng)中，任一相電流或電壓在時(shí)間t可表示為：

展開式(2)，則有，

由此可見，電流或電壓信號(hào)是由多組同頻率共軛復(fù)數(shù)組成。在實(shí)際應(yīng)用中，為了提高計(jì)算效率并節(jié)省存儲(chǔ)空間，可針對(duì)性的選取某些感興趣的部分諧波進(jìn)行估計(jì)，而不需要估計(jì)的其它次數(shù)的諧波可作為噪聲處理。因而式(3)可進(jìn)一步表示為：

式中：為電流信號(hào)需要估計(jì)的最高諧波次數(shù)；（k）為待估計(jì)基波、諧波外的其它階次諧波和噪聲干擾，可表示為，

定義狀態(tài)變量，

因此，定義狀態(tài)變量，

則有如下狀態(tài)方程，

根據(jù)式(4)，可得系統(tǒng)觀測(cè)方程為：

式中：

2 復(fù)數(shù)無跡卡爾曼濾波器

2.1 無跡變換

無跡變換是一種對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行近似高斯分布的非線性變換。其核心思想是根據(jù)需要預(yù)測(cè)的狀態(tài)變量的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性，先計(jì)算得到一組采樣點(diǎn)（也稱sigma點(diǎn)），然后對(duì)該組點(diǎn)集進(jìn)行非線性變換，通過計(jì)算這些非線性變換后采樣點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)特性，獲得變換后點(diǎn)的均值和協(xié)方差估計(jì)[20]。這種方式避免了對(duì)非線性模型的直接線性化，且保留了高斯分布的高階項(xiàng)信息，從而提高了模型高斯分布的傳遞精度。

該新點(diǎn)集的均值和協(xié)方差矩陣由下式求得：

2.2 狀態(tài)預(yù)測(cè)

利用式(10)構(gòu)造Sigma點(diǎn)集后，通過式（11）對(duì)其進(jìn)行非線性變換，得到新采樣點(diǎn)集

利用下式計(jì)算對(duì)狀態(tài)變量均值及協(xié)方差進(jìn)行預(yù)測(cè)，

2.3 狀態(tài)更新

利用式（17）對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行非線性變換，得到觀測(cè)值更新，進(jìn)一步利用式（18）獲得觀測(cè)值平均值。

自協(xié)方差和互協(xié)方差矩陣分別為，

濾波更新步驟包括更新卡爾曼增益、狀態(tài)變量估計(jì)值和狀態(tài)變量協(xié)方差估計(jì)值，分別如下：

3 仿真分析

為驗(yàn)證復(fù)數(shù)無跡卡爾曼濾波器算法的有效性，本文以如下包含基波、四次、九次諧波的非線性信號(hào)為例，

圖1、2分別為利用本文方法對(duì)頻率、基波和諧波電流有效值的估計(jì)。圖3、4分別為利用復(fù)數(shù)EKF方法對(duì)頻率、基波和諧波電流有效值的估計(jì)。表1為本文方法與復(fù)數(shù)EKF估計(jì)結(jié)果對(duì)比，表2為本文方法與復(fù)數(shù)EKF估計(jì)均方誤差（MSE）對(duì)比。從仿真結(jié)果來看，本文方法在收斂真值方面要快于復(fù)數(shù)EKF方法，估計(jì)精度也明顯優(yōu)于復(fù)數(shù)EKF估計(jì)結(jié)果。為了進(jìn)一步研究本文估計(jì)方法在噪聲干擾條件下估計(jì)結(jié)果的有效性，在信號(hào)中分別添加信噪比為30 dB、10 db噪聲信號(hào)干擾，圖5、6分別為兩種噪聲干擾情況下，利用本文方法和復(fù)數(shù)EKF方法的四次諧波估計(jì)結(jié)果。從估計(jì)結(jié)果來看，隨著信噪比的降低，相對(duì)于復(fù)數(shù)擴(kuò)展卡爾曼濾波方法，本文方法估計(jì)更穩(wěn)定，精度更高，收斂也更快。因此，在信號(hào)存在噪聲干擾的情況下，本文方法的參數(shù)估計(jì)性能更優(yōu)。

圖1 復(fù)數(shù)UKF頻率估計(jì)值

圖2 復(fù)數(shù)UKF基波及諧波估計(jì)

圖3 復(fù)數(shù)EKF頻率估計(jì)值

圖4 復(fù)數(shù)EKF基波及諧波估計(jì)值

圖5 SNR30db下的四次諧波估計(jì)

圖6 SNR10db下的四次諧波估計(jì)

表1 估計(jì)結(jié)果

表2 估計(jì)均方誤差

4 結(jié)論

針對(duì)擴(kuò)展卡爾曼濾波在電力系統(tǒng)頻率及諧波估計(jì)中存在的不足，本文提出了基于復(fù)數(shù)無跡卡爾曼濾波的電力系統(tǒng)信號(hào)諧波和頻率估計(jì)方法。利用歐拉公式，對(duì)電力系統(tǒng)信號(hào)進(jìn)行變換，獲得了系統(tǒng)復(fù)數(shù)信號(hào)狀態(tài)空間模型，利用本文所提研究方法實(shí)現(xiàn)了頻率和諧波估計(jì)。仿真算例證明了本文方法的有效性。為了驗(yàn)證本文方法在噪聲干擾條件下參數(shù)估計(jì)的有效性，通過在系統(tǒng)信號(hào)中增加不同信噪比噪聲干擾，利用本文方法和復(fù)數(shù)EKF進(jìn)行頻率和諧波估計(jì)，本文方法在噪聲干擾影響下的估計(jì)精度優(yōu)于復(fù)數(shù)EKF方法，這表明本文方法更適于在強(qiáng)噪聲干擾環(huán)境下的系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)。

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Complex Unscented Kalman Filter based Frequency and Harmonic Estimation for Power System

Cui Bowen, Tian Wei

(School of Marine Engineering, Jimei University, Xiamen 361021, Fujian, China)

TM935.2

A

1003-4862（2021）07-0005-06

2021-03-03

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(51779102)

崔博文(1966-)，博士，教授。研究方向：電力系統(tǒng)諧波估計(jì)與狀態(tài)監(jiān)控。E-mail: bwcui@jmu.edu.cn