黃志平

摘? ?要：深度學(xué)習(xí)是一種批判性的、高質(zhì)量的、理解性的學(xué)習(xí)方式，能有效促進(jìn)學(xué)生思維水平的發(fā)展.在各章節(jié)階段復(fù)習(xí)和初三總復(fù)習(xí)中可充分利用數(shù)學(xué)微專(zhuān)題“準(zhǔn)、細(xì)、深”等特點(diǎn)，設(shè)計(jì)形式多樣的微專(zhuān)題.現(xiàn)以設(shè)計(jì)“2019年福建中考第24題微專(zhuān)題復(fù)習(xí)”為例，談?wù)勅绾卧O(shè)計(jì)微專(zhuān)題，進(jìn)行精準(zhǔn)、簡(jiǎn)約的教學(xué)，促使學(xué)生能把一類(lèi)問(wèn)題想深、想透，形成自己的批判性思維和個(gè)性思維，達(dá)到實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí);微專(zhuān)題;深度學(xué)習(xí)

初中階段深度學(xué)習(xí)的根本目的是促進(jìn)學(xué)生思維水平的發(fā)展，指在老師創(chuàng)設(shè)的自由探索的空間，圍繞某個(gè)學(xué)習(xí)主題展開(kāi)自主探究、合作交流、展示質(zhì)疑等活動(dòng)，是一種主動(dòng)的、批判性的、創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)方式.通過(guò)深度學(xué)習(xí)，學(xué)生能深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，獲取知識(shí)背后蘊(yùn)藏的豐富思維價(jià)值.作為數(shù)學(xué)教師，深度教學(xué)不是指單純把知識(shí)教深、教難，而是指對(duì)教材鉆研深透，能有效引導(dǎo)學(xué)生把主要精力放在知識(shí)重難點(diǎn)上，促進(jìn)學(xué)生理解學(xué)科本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.作為學(xué)生，深度學(xué)習(xí)是種“理解性”學(xué)習(xí)，是一種能真正啟動(dòng)思維，讓自己在學(xué)習(xí)中進(jìn)行深度思考，理解每個(gè)知識(shí)的來(lái)龍去脈的學(xué)習(xí)方式.通過(guò)把自己的學(xué)習(xí)感悟有機(jī)融入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而達(dá)到提高思維能力，提升思維品質(zhì)和發(fā)展高階思維的目標(biāo).

為了促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，在各章節(jié)階段復(fù)習(xí)和初三總復(fù)習(xí)中有必要對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)重新建構(gòu)、重新融合、重新完善，給學(xué)生創(chuàng)造深度學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間，為實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力再提升創(chuàng)造契機(jī).而數(shù)學(xué)微專(zhuān)題復(fù)習(xí)具有“因微而準(zhǔn)、因微而細(xì)、因微而深”等特點(diǎn)，能起到“以小見(jiàn)大”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)理解深刻、感悟透徹.因此，數(shù)學(xué)微專(zhuān)題復(fù)習(xí)是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)生的有效途徑.在初三總復(fù)習(xí)中，各種形式的測(cè)試貫穿于一輪、二輪教學(xué)中.教師如果能設(shè)計(jì)基于試卷講評(píng)拓展的微專(zhuān)題復(fù)習(xí)，不僅能幫助學(xué)生探求錯(cuò)因、查找缺漏、徹底糾錯(cuò)，而且能幫助學(xué)生提高思維水平，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

1? 2019年福建中考第24題微專(zhuān)題復(fù)習(xí)概述

在初三復(fù)習(xí)期間選取了2019年福建中考第24題給學(xué)生做作業(yè)： 如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，AB=AC，AC⊥BD，垂足為E，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且DF=DC，連接AF，CF.

（1）求證：∠BAC=2∠CAD;

（2）若AF=10，BC=4，求tan∠BAD的值.

思路突破：（1）根據(jù)圓周角性質(zhì)和已知條件AC⊥BD得到∠CAD=∠CBD=90°-∠ACB，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，所以∠BAC =180°-2∠ACB=2（90°-∠ACB），即∠BAC=2∠CAD;

（2）易證得∠CFB=∠CBF=∠BAC，由等腰三角形的判定可得BC=CF=4，即可證得AC垂直平分BF，所以AB=AF=10.分別在RtΔAEB和RtΔBEC中，利用勾股定理BE2=AB2-AE2=BC2-CE2求得AE=6，CE=4，BE=8，再利用ΔADE∽ΔBCE可得DE=3，AD=3.接著過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，然后根據(jù)ΔABD面積公式求得DH=，進(jìn)而求得AH=，最后利用銳角三角函數(shù)定義求解tan∠BAD.

此題主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和等腰三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí);考查了幾何直觀(guān)、運(yùn)算能力與推理能力;考查了函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生的答題錯(cuò)誤率很高.筆者進(jìn)行了思考，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)圓的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的求解掌握不夠扎實(shí)，特設(shè)計(jì)了一節(jié)“三角函數(shù)與圓微專(zhuān)題”復(fù)習(xí)課.本微專(zhuān)題通過(guò)“以退為進(jìn)，以小見(jiàn)大，以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)”巧妙設(shè)置微專(zhuān)題.最大限度降低學(xué)習(xí)難度，深度挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)中可能遇到的問(wèn)題，以問(wèn)代教，讓學(xué)生的認(rèn)知逐步深入，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，達(dá)到發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo).

2? 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一? ?課前練習(xí)，奠定基礎(chǔ)

（1）如圖2，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的☉O的圓心O在格點(diǎn)上，則sin∠BCD=? ? ? ? ? ?.

（2）如圖3，☉A過(guò)點(diǎn)O（0，0），C（，0），D（0，1），點(diǎn)B是x軸下方☉A上的一點(diǎn)，連接BO，BD，則=_________°.

（3）如圖4，以O(shè)為圓心，半徑為m的弧交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，C是[⌒][AB]上一點(diǎn)（不與A，B重合），連接OC，設(shè)∠AOC=α，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）.

A.（msinα，-msinα） B.（mcosα，-mcosα）

C.（mcosα，-msinα） D.（msinα，-mcosα）

（4）如圖5，在☉O中，[⌒][AB=AC][⌒]，若AB=5，BC=4.

①則cos∠ABC=_____.

②點(diǎn)D為[⌒][AB]上一動(dòng)點(diǎn)，則tan∠ADC=_____.

如圖6，平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)分別為☉M與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)，現(xiàn)有直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)M點(diǎn)且與AB垂直于點(diǎn)H，點(diǎn)C為l與y軸的交點(diǎn).若B，C的坐標(biāo)分別為（0，4），（0，-3），求tan∠OAC的值.

設(shè)計(jì)意圖：將考查圓與三角函數(shù)的同類(lèi)題目讓學(xué)生練習(xí).著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生找到熟悉的新知的基礎(chǔ)，觸發(fā)動(dòng)機(jī)，激發(fā)思維.

環(huán)節(jié)二? 知識(shí)回頋，理解本質(zhì)

（1）銳角三角函數(shù)

①概念

如圖7，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c有

∠A的正弦sinA=? ? ? ? ?;∠A的余弦cosA=? ? ? ? ?;

∠A的正切tanA=? ? ? ? ?.

②三角函數(shù)的理解

實(shí)質(zhì)：直角三角形中兩條邊的比反映的是邊與角的關(guān)系;

關(guān)鍵：求某個(gè)角三角函數(shù)值在初中階段通常是把這個(gè)角放到某個(gè)直角三角形中.

（2）求銳角三角函數(shù)值經(jīng)常要進(jìn)行等角轉(zhuǎn)移，所以我們復(fù)習(xí)一下圓中有關(guān)的角相等情形，請(qǐng)?jiān)趫D8中畫(huà)出示意圖.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)知識(shí)回顧和設(shè)置圓中有關(guān)角相等的開(kāi)放性問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)求三角函數(shù)的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵，為之后學(xué)習(xí)在圓中求解三角函數(shù)打下基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)三? 分解難點(diǎn)，深入探究

問(wèn)題1：如圖9，已知四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，AB=AC，且點(diǎn)C為[⌒][BD]的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠FAB=90°且DF=DC，AC和BF相交于點(diǎn)E，連結(jié)AF，CF.求tan∠BAD的值.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1較基礎(chǔ)，大部分學(xué)生都能獨(dú)立求出∠BAD的度數(shù)，同時(shí)學(xué)生也能利用特殊角的三角函數(shù)求出tan∠BAD的值.有力激發(fā)學(xué)生的探究欲望，讓全體學(xué)生都能積極參與到學(xué)習(xí)中來(lái).

問(wèn)題2：如圖10，將問(wèn)題1中的條件“點(diǎn)C為[⌒][BD]的中點(diǎn)”換成“cos∠ADB=，BC=4”，其余條件不變，求BF的長(zhǎng).

問(wèn)題3：如圖11，將問(wèn)題2中的條件“∠FAB=90°”換成“∠FAB=120°”，其余條件不變，求BF的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}2為已知三角函數(shù)求邊長(zhǎng);問(wèn)題3將問(wèn)題2中的條件“∠FAB=90°”換成“∠FAB=120°”，讓學(xué)生通過(guò)解題感悟到雖然∠FAB角度變化但分析問(wèn)題的方法和解題思路不變.

環(huán)節(jié)四? 數(shù)學(xué)運(yùn)用，鏈接中考

問(wèn)題4：如圖12，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，AB=AC，AC⊥BD，垂足為E，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且DF=DC，連結(jié)AF，CF.若AF=10，BC=4，求tan∠BAD的值.（2019年福建中考第24題有刪減）

問(wèn)題5：如圖13，將問(wèn)題4中的條件“若AF=10，BC=4”刪去，其余條件不變，請(qǐng)判斷直線(xiàn)CF是否與☉O相切？若相切，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}4為2019年福建中考第24題第（2）步，可看作把問(wèn)題2中的條件“∠FAB=90°”轉(zhuǎn)變成“AC⊥BD”然后利用已知條件求∠BAD的正切值.問(wèn)題5通過(guò)深度挖掘本試題隱藏的結(jié)論設(shè)置開(kāi)放性問(wèn)題，讓學(xué)生先判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系再進(jìn)行證明，有效發(fā)展學(xué)生思維能力.通過(guò)讓學(xué)生觀(guān)察、操作、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度思考，發(fā)展高階思維.

環(huán)節(jié)五? 拓展應(yīng)用，升華思維

拓展提高1：如圖14，將問(wèn)題4中的條件“若AF=10，BC=4”換成“∠CAB=30°， AF=10，點(diǎn)M是AB上動(dòng)點(diǎn)”，其余條件不變.求CM+AM的最小值.

拓展提高2：如圖15，將拓展提高1中的條件“∠CAB=30°”換成“∠CAB=15°”，其余條件不變.求CM+AM的最小值.

拓展提高3：如圖16，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，AB= AC，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠FAB=90°且DF=DC，AC和BF相交于點(diǎn)E，連結(jié)AF. 若cos∠ADB=，BC=4.現(xiàn)將線(xiàn)段BC繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BC'，旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α<∠ABC），連結(jié)FC'，AC'.求FC+AC'的最小值.

設(shè)計(jì)意圖：拓展提高1 是改變2019中考24題條件，讓學(xué)生在探究“線(xiàn)段CM+AM”最小值問(wèn)題過(guò)程中，不斷提升解形如“線(xiàn)段a+kb（其中0

環(huán)節(jié)六? 自我評(píng)價(jià)，反思內(nèi)化

分享復(fù)習(xí)的樂(lè)趣，通過(guò)今天的復(fù)習(xí)，你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？掌握了哪些方法？積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生分別從知識(shí)、方法和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思、總結(jié)，從而把所學(xué)的感悟和體驗(yàn)內(nèi)化為自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，逐漸形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.

3? 教學(xué)思考

在各階段教學(xué)中，可設(shè)置微專(zhuān)題復(fù)習(xí)來(lái)改變復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的“知識(shí)簡(jiǎn)單回顧”“重復(fù)強(qiáng)化訓(xùn)練”和“專(zhuān)題復(fù)習(xí)入口大”等效率低下的復(fù)習(xí)狀況.在微專(zhuān)題復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生真正深入到問(wèn)題的探究中，在掌握和熟練運(yùn)用知識(shí)的同時(shí)，深刻理解學(xué)科本質(zhì)，提升解決問(wèn)題的能力，是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的的一條有效途徑.

3.1? 微專(zhuān)題復(fù)習(xí)要聚焦核心知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生深度感悟

微專(zhuān)題復(fù)習(xí)具有“目標(biāo)準(zhǔn)、小見(jiàn)大、專(zhuān)見(jiàn)強(qiáng)”等特點(diǎn)，能讓教師從教學(xué)的核心知識(shí)和知識(shí)系統(tǒng)考慮設(shè)置微專(zhuān)題.只有聚焦數(shù)學(xué)核心知識(shí)，準(zhǔn)確把握學(xué)科教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)，教學(xué)中才能緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)開(kāi)展精準(zhǔn)的教學(xué).只有有效突破教學(xué)重難點(diǎn)，揚(yáng)長(zhǎng)避短，才能提高學(xué)生思維能力，發(fā)展高階思維，從而讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)有深度的學(xué)習(xí).在平時(shí)教學(xué)中教師要關(guān)注每個(gè)年級(jí)、每個(gè)章節(jié)和每節(jié)課的主體內(nèi)容和學(xué)科本質(zhì).在初三總復(fù)習(xí)時(shí)，可針對(duì)性突破重點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)、疑點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和混淆點(diǎn)開(kāi)展微專(zhuān)題復(fù)習(xí).其中重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)可從數(shù)學(xué)模型、重要方法和典型題型方面進(jìn)行建構(gòu);疑點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和混淆點(diǎn)可從即時(shí)困惑和常見(jiàn)錯(cuò)誤等方面建構(gòu).通過(guò)微專(zhuān)題復(fù)習(xí)，能讓學(xué)生對(duì)核心知識(shí)進(jìn)行思路探索，優(yōu)化解題方案，修正解題過(guò)程.通過(guò)教師的引領(lǐng)，學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行提煉、反思、提出獨(dú)創(chuàng)性的見(jiàn)解，進(jìn)行高質(zhì)量學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的內(nèi)化和感悟.

3.2? 微專(zhuān)題復(fù)習(xí)要關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程，幫助學(xué)生深度參與

微專(zhuān)題復(fù)習(xí)具有“切口小、主題強(qiáng)、角度新”等特點(diǎn)，能為學(xué)生學(xué)習(xí)提供很好的學(xué)習(xí)資源.在進(jìn)行微專(zhuān)題設(shè)計(jì)時(shí)要關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中親身經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過(guò)程“情境—問(wèn)題—假設(shè)—推理—驗(yàn)證—運(yùn)用—反思”，讓學(xué)生在深度參與中實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的雙提高.在本案例中能設(shè)置低起點(diǎn)、緩梯度的試題，為全體學(xué)生創(chuàng)設(shè)獨(dú)立思考、自主探索、合作交流和展示講解等活動(dòng)，讓學(xué)生都能深度參與到學(xué)習(xí)中來(lái).在課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生不斷積累解決各種問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在解決問(wèn)題中不斷體驗(yàn)到成功的愉悅，在提升思維品質(zhì)的同時(shí)也鍛煉了自己的意志.讓學(xué)生在微專(zhuān)題的學(xué)習(xí)過(guò)程中形成自己獨(dú)特的必備品格與關(guān)鍵能力，有效提升核心素養(yǎng).

3.3? 微專(zhuān)題復(fù)習(xí)要設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生深度思考

微專(zhuān)題復(fù)習(xí)具有“深刻性、系統(tǒng)性、拓展性”等特點(diǎn)，能為學(xué)生提供探究問(wèn)題的空間.一方面，深度學(xué)習(xí)是學(xué)生的自我求知欲望強(qiáng)烈，對(duì)所學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行準(zhǔn)確的、深刻的學(xué)習(xí)，是提升學(xué)生思維水平的重要途徑.另一方面，深度學(xué)習(xí)能有效促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度思考，進(jìn)行批判性學(xué)習(xí)，通過(guò)微專(zhuān)題復(fù)習(xí)將學(xué)習(xí)體會(huì)、感悟和經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為自己的思維體驗(yàn)，有效提高學(xué)生思維能力，達(dá)到發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo).基于微專(zhuān)題的作用，教師要深入挖掘教學(xué)素材，圍繞主題設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，力求入木三分.在本案例中，選擇省內(nèi)中考試題，進(jìn)行多維解析，設(shè)計(jì)易錯(cuò)點(diǎn)、難點(diǎn)微專(zhuān)題，引導(dǎo)學(xué)生深度思考.在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)要考慮“退”的原則，退到問(wèn)題的最原始狀態(tài)設(shè)計(jì)探究性問(wèn)題進(jìn)行變式教學(xué)，然后逐步拓展延伸到原題、問(wèn)題的核心.這樣可以把一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)串“珠”成“鏈”，讓學(xué)生在各個(gè)問(wèn)題的不斷探索中獲得學(xué)習(xí)能力，在知識(shí)的拓展中不斷提升思維能力，達(dá)到發(fā)展學(xué)生高階思維的目標(biāo).

深度學(xué)習(xí)是一種主體性、深刻性、高質(zhì)量的學(xué)習(xí)，是一種直指學(xué)科本質(zhì)、理解性和批判性的學(xué)習(xí).而微專(zhuān)題復(fù)習(xí)話(huà)題集中、針對(duì)性強(qiáng)，具有“微”和“專(zhuān)”等特點(diǎn)，適用于各個(gè)階段的復(fù)習(xí).教師可根據(jù)各階段的教學(xué)目標(biāo)，精心設(shè)置微專(zhuān)題復(fù)習(xí).通過(guò)創(chuàng)設(shè)靈動(dòng)的課堂，喚醒學(xué)生的求知欲望，讓他們經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)過(guò)程，達(dá)到“會(huì)一題，得一法，懂一片”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)理解深刻、感悟透徹，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).