向陽雨，賈維敏，張峰干

（火箭軍工程大學(xué)，陜西 西安 710025）

0 引言

陣列天線因?yàn)槠湫纬傻奶炀€波束具有高增益、窄波束、低旁瓣、易電掃等特點(diǎn)，近年來在雷達(dá)、聲納、無線通信等領(lǐng)域廣泛運(yùn)用。所以如何優(yōu)化非均勻陣列天線的方向圖，得到更加理想的指向波束，成為了該領(lǐng)域研究的熱門問題[1]。天線峰值旁瓣電平（Peak Sidelobe Level，PLSS）直接影響了波束指向的準(zhǔn)確程度，于是把最高旁瓣電平作為衡量方向圖好壞的重要指標(biāo)[1?2]。但是隨著大規(guī)模陣列天線的研發(fā)和天線結(jié)構(gòu)的日趨復(fù)雜化，傳統(tǒng)的天線算法已經(jīng)不能滿足優(yōu)化需求，基于生物仿生智能優(yōu)化算法的出現(xiàn)，給解決類似的多元非線性問題提供了新的思路。文獻(xiàn)[3]提出一種迭代遺傳算法優(yōu)化方案，實(shí)現(xiàn)了將非均勻線性陣列的最高旁瓣電平降至低于-20 dB 的優(yōu)化目標(biāo)；文獻(xiàn)[4]中針對不同數(shù)量的陣元和不同主波束方向轉(zhuǎn)向角值，通過粒子群優(yōu)化（PSO）來降低最高旁瓣電平（PSLL），并使主波束指向特定方向，結(jié)果表明該算法在陣列因子響應(yīng)和抑制PSLL 方面都表現(xiàn)出良好的性能；文獻(xiàn)[5]將人工蜂群優(yōu)化算法（Artifi?cial Bee Colony，ABC）和差分進(jìn)化算法（Differential Evo?lution Algorithm，DE）相融合得到新的混合算法ABC?DE，可以作為研究時間調(diào)制陣列綜合問題的有效方法。文獻(xiàn)[6]提出了布谷鳥搜索（Cuckoo Search，CS）算法，該算法模擬了布谷鳥尋巢育雛的行為，這種基于萊維飛行的算法具備較好的全局搜索能力和局部搜索能力，且收斂于全局最優(yōu)[7]。但是因?yàn)殛嚵刑炀€的方向圖優(yōu)化是一個多約束的峰值尋優(yōu)問題，計(jì)算量復(fù)雜程度高且對求解精度有較高要求，而傳統(tǒng)CS 算法僅依賴于萊維飛行進(jìn)行隨機(jī)游走，不能保證它的收斂時間，而且有一定概率因?yàn)榇蟛介L搜索跳出最優(yōu)解范圍。

為了提高算法的優(yōu)化能力和質(zhì)量，本文采用改進(jìn)的混沌布谷鳥搜索（Modified Chaotic Cuckoo Search，MCCS）算法對陣列天線的方向圖進(jìn)行優(yōu)化。該算法采用混沌映射Sinusoidal 作為步長因子，并且針對上一代的最優(yōu)種群、非最優(yōu)種群和單個個體提出不同更新策略，然后在相同孔徑條件及陣元數(shù)目的條件下，將該算法和其他多種進(jìn)化算法分別用于稀布線陣的方向圖優(yōu)化中，證明了該算法的優(yōu)化速度和優(yōu)化能力優(yōu)于其他算法，可以在較短時間內(nèi)得到更低的峰值旁瓣電平。

1 陣列天線方向圖優(yōu)化模型

圖1 是一個不均勻排布的直線陣列模型，陣列孔徑為L。直線陣列由N個不等間距的天線陣元分布組成，di表示第i個陣元與第一個陣元之間的距離，這里i≤N，令其主波的指向?yàn)棣?，根據(jù)方向圖乘積原理可得其方向圖函數(shù)的表達(dá)式為：

圖1 非均勻直線陣列天線陣示意圖

根據(jù)方向圖的最大旁瓣電平的定義可知，方向圖最大旁瓣電平PSLL 的計(jì)算公式可以表示為：

式中：max 表示求最大值函數(shù)；FdB(θ)表示歸一化后的方向圖函數(shù)；S表示方向圖的旁瓣區(qū)間，若方向圖主瓣的零點(diǎn)功率點(diǎn)為2φ0，則S={θ|θmin≤θ≤θ0-φ0∪θ0+φ0≤θ≤θmax}，設(shè)相鄰兩個陣元的距離間隔滿足條件：min{di-di-1}≥dc，1 ≤i≤N，其中：dc為一常數(shù)，表示相鄰陣元之間的最小距離間隔，一般取半倍波長，為保持陣列口徑不變，直線陣兩端必須有陣元，則：

這里將di拆成xi+(i-1)dc兩個部分，則可以得到：

通過上述操作將優(yōu)化目標(biāo)由di轉(zhuǎn)化為了xi，將搜索空間從[0,L]減小到[0,L-(N-1)dc]?？梢酝ㄟ^優(yōu)化x的取值優(yōu)化陣元的位置，從而達(dá)到降低直線陣列方向圖峰值旁瓣電平的目的。

2 改進(jìn)的混沌布谷鳥算法

2.1 傳統(tǒng)布谷鳥搜索（CS）算法

布谷鳥搜索算法是通過理想化和簡化布谷鳥的借巢育雛過程，達(dá)到優(yōu)化目的的智能算法。該行為中布谷鳥依靠隨機(jī)游走的萊維飛行，選擇鳥巢產(chǎn)卵替代原來鳥窩里的卵，而原鳥巢的主人也有一定概率發(fā)現(xiàn)并拋棄布谷鳥的卵。根據(jù)文獻(xiàn)[7]，CS 算法主要依照以下三條原則進(jìn)行更新：

1）通過萊維飛行隨機(jī)選擇位置進(jìn)行更新；

2）保留上一次更新后的更優(yōu)解；

3）有Pa的概率拋棄一部分解，并在同樣位置上放置新解，Pa∈(0,1) 。

其位置更新公式如下：

式中：是第t輪迭代中第i個鳥巢的位置；α為步長因子；Pa為發(fā)現(xiàn)概率。在標(biāo)準(zhǔn)的CS 算法中，步長α=L10和Pa=0.25，其中L是待優(yōu)化問題的特征尺度。

因?yàn)镃S 算法本質(zhì)上是一種進(jìn)化算法，在新一輪的迭代中，會優(yōu)先在上一輪的最優(yōu)解附近進(jìn)行搜索，可以看到主要影響CS 算法性能的參數(shù)主要為：步長因子α和發(fā)現(xiàn)概率Pa，步長因子α主要控制最優(yōu)解的搜索范圍，Pa則使算法出現(xiàn)擾動，防止算法陷入局部最優(yōu)解。因此，對α和Pa進(jìn)行調(diào)整是提高優(yōu)化性能主要的兩個方面。

2.2 混沌步長因子

本文將α的值分別用文獻(xiàn)[8]中的12 個不同的混沌映射代替，得到12 組α性能不同的改進(jìn)CS 算法。為選出最適合的混沌映射，用表1 中的10 個測試函數(shù)對使用不同映射CS 算法進(jìn)行了基準(zhǔn)測試，分別將種群規(guī)模、種群數(shù)量和發(fā)現(xiàn)概率設(shè)置為100，50 和0.25，迭代1 000 次后比較測試結(jié)果。

表1 常用測試函數(shù)

測試后得到的結(jié)果如表2 所示，A0表示通過傳統(tǒng)CS算法得到的尋優(yōu)結(jié)果，A1～A12表示使用相應(yīng)混沌映射后得到的尋優(yōu)結(jié)果，其中加粗結(jié)果為單次測試的最優(yōu)值。從測試結(jié)果中可以看出，選擇適當(dāng)?shù)幕煦缬成浜瘮?shù)對于是否能夠進(jìn)一步改進(jìn)CS 算法至關(guān)重要。

與A0即傳統(tǒng)CS 算法相比，大部分具有混沌步長的CS 算法，相較于基本算法加速了算法收斂。從表2 中可以看出，使用A11等混沌映射可以提高CS 算法的搜索精度，加速算法收斂，在多次迭代之后，采用A11后的CS 算法在測試中最多次尋得最優(yōu)解且尋優(yōu)結(jié)果與最優(yōu)值的差異最小，即使用A11（Sinusoidal Map）的CS 算法得到的結(jié)果要優(yōu)于使用其他混沌映射的CS 算法。所以綜合考慮，應(yīng)選擇A11作為最終用于改進(jìn)CS 的映射函數(shù)，即：

表2 測試結(jié)果比較

2.3 改進(jìn)的更新策略

對于傳統(tǒng)CS 算法，發(fā)現(xiàn)概率Pa是針對整個種群的，即一旦被發(fā)現(xiàn)整個種群都會被置換為新解，這樣直接對整個種群進(jìn)行更新，群體的個體之間的差異逐步減小，不利于保持種群的多樣性，可能會使算法出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)、過早收斂的情況。對于以上問題提出兩個方面的改進(jìn)措施：第一，針對非最優(yōu)解采取不同的更新策略；第二，在對種群進(jìn)行更新的同時對非最優(yōu)解種群進(jìn)行個體更新。

改進(jìn)后的混沌布谷鳥算法進(jìn)化策略為：

3）比較更新后的種群和初始種群之間的適應(yīng)度值，保留適應(yīng)度值更高的種群后得到Xt+1，通過式（5）得到αt+1。

4）用Xt+1和αt+1重復(fù)步驟1）～步驟3），直至滿足結(jié)束條件。

這樣的改進(jìn)在原算法的基礎(chǔ)上保留部分最優(yōu)解，同時增強(qiáng)了對最優(yōu)解附近可行解的搜索，并通過對個體的更新策略擴(kuò)大了種群多樣性，使種群跳出了固有的更新模式，在保證搜索效率的同時提高了搜索精度。

3 實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果分析

3.1 標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測試

為了驗(yàn)證MCCS 算法性能，將分別用MCCS、CCS[8]以及CS[7]算法對表1 中的10 個測試函數(shù)進(jìn)行獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，種群規(guī)模NP 為50，迭代次數(shù)為10 000 次，每個算法獨(dú)立運(yùn)行20 次，并通過對比這20 次實(shí)驗(yàn)的尋優(yōu)平均值（Mean）、標(biāo)準(zhǔn)差（SD）和搜索成功率（Percentage of Successful Runs，PSR）對比算法搜索能力差異。選取的測試函數(shù)均為單目標(biāo)測試函數(shù)，最優(yōu)值為0，當(dāng)計(jì)算結(jié)果低于10-5為搜索成功。

對表3 中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，每組測試的最優(yōu)值都以下劃線標(biāo)出，除了f3，f7外，MCCS算法的尋優(yōu)平均值都比CS 和CCS 算法更接近測試函數(shù)的最優(yōu)值，并且MCCS 對函數(shù)f1，f2，f6，f9，f10的尋優(yōu)成功率都達(dá)到了100%，說明MCCS 算法較其他兩種算法有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力；除f7外，MCCS算法的標(biāo)準(zhǔn)誤差值遠(yuǎn)小于CS和CCS算法的標(biāo)準(zhǔn)誤差值，說明該算法搜索準(zhǔn)確度高、穩(wěn)定性強(qiáng)。

表3 標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測試結(jié)果對比

函數(shù)f8為典型的多峰值單目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，而MCCS算法對該函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果明顯優(yōu)于其他兩種算法，說明經(jīng)過改進(jìn)后的MCCS 算法更適合解決本文研究的非均勻線陣優(yōu)化問題。經(jīng)過三個方面的比較可以看出，經(jīng)過對CS 算法的有效改進(jìn)，MCCS 在性能上比其他兩種CS算法都有較大提升，可以將該算法應(yīng)用到實(shí)際的優(yōu)化問題中。

3.2 稀布線陣優(yōu)化仿真實(shí)驗(yàn)

為了檢驗(yàn)MCCS 對稀布線陣的優(yōu)化能力，本節(jié)設(shè)計(jì)了4 組實(shí)驗(yàn)，前3 組實(shí)驗(yàn)分別設(shè)置了三種不同尺寸的天線，通過MCCS 與ICS[9]、DELF[10]、HGA[11]、BPSO[12]等算法對各尺寸線陣進(jìn)行優(yōu)化仿真，每一種算法獨(dú)立運(yùn)行50 次，以計(jì)算出的PSLL 的最優(yōu)值和平均值作為衡量指標(biāo)。最后一組實(shí)驗(yàn)則是將MCCS 應(yīng)用到超大規(guī)模線陣中，更進(jìn)一步地驗(yàn)證MCCS 在陣列天線優(yōu)化上的適用性。2L表示天線孔徑大小，Ne 表示陣元數(shù)目，λ為波長。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2～圖5 所示。

實(shí)驗(yàn)1：2L=98.5λ，Ne=152

第一組實(shí)驗(yàn)針對尺寸為98.5λ，陣元數(shù)為152 的陣列進(jìn)行優(yōu)化，由圖2 可以看出，在50 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中MCCS 取得的最優(yōu)結(jié)果是-25.88 dB，均值為-25.32 dB。

圖2 仿真實(shí)驗(yàn)1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)2：2L=90.5λ，Ne=132

第二組實(shí)驗(yàn)針對尺寸為90.5λ，陣元數(shù)為132 的陣列進(jìn)行優(yōu)化，由圖3 可以看出，在50 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中MCCS 取得的最優(yōu)結(jié)果是-25.52 dB，均值為-25.03 dB。

圖3 仿真實(shí)驗(yàn)2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)3：2L=73λ，Ne=78

第三組實(shí)驗(yàn)針對尺寸為73λ，陣元數(shù)為78 的陣列進(jìn)行優(yōu)化，由圖4 可以看出，在50 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中MCCS 取得的最優(yōu)結(jié)果是-23.37 dB，均值為-20.12 dB。

從各組實(shí)驗(yàn)的收斂曲線上（圖2c）、圖3c）、圖4c））明顯可以看到，MCCS 算法比其他算法以更快的速度收斂到最優(yōu)解附近，同時還能更進(jìn)一步精細(xì)搜索最優(yōu)解。

圖4 仿真實(shí)驗(yàn)3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過表4 中五種算法在三組實(shí)驗(yàn)的優(yōu)化結(jié)果來看，在實(shí)驗(yàn)1、2 中，陣元稀布率為77.4%和72.9%，對于這樣陣元排布較為緊湊的稀布線陣，MCCS 的優(yōu)化效果較其他幾種算法提高的較為顯著，最優(yōu)值和均值都降低1 dB以上；在實(shí)驗(yàn)3中，陣元稀布率為53.4%，而在排布較為稀疏的稀布線陣中，MCCS 雖然在最優(yōu)值上達(dá)到了-23.37 dB，遠(yuǎn)低于其他算法，但是在均值上較其他算法提高的并不明顯，這可能是因?yàn)樵谳^為稀疏的線陣中，因?yàn)殛囋膳挪嫉目臻g較大，即算法需要搜索的范圍變大，100次的迭代并沒有使算法完全收斂，但是50次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中依舊有較好的數(shù)據(jù)，說明MCCS 的全局搜索能力也是優(yōu)于其他算法的。

表4 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果 dB

實(shí)驗(yàn)4：2L=999.5λ，Ne=1 540

實(shí)驗(yàn)4 模擬了針對超大規(guī)模陣線的優(yōu)化，該陣列尺寸為999.5λ，陣元數(shù)為1 540，分別采用MCCS 和DELF算法對該大規(guī)模線陣進(jìn)行優(yōu)化，DELF 是一種運(yùn)算速度快且優(yōu)化效率高的算法，適用于類似大規(guī)模陣列天線等需要較大計(jì)算量的優(yōu)化問題。

通過圖5 可看出，雖然MCCS 獨(dú)立運(yùn)行一次的時間略高于DELF 算法，但是從優(yōu)化結(jié)果上來看，使用MCCS算法得到的PSLL 比使用DELF 算法的PSLL 降低4～6 dB，大幅降低了超大規(guī)模線陣的峰值旁瓣電平，說明在優(yōu)化超大規(guī)模陣的問題上，MCCS 有效降低了峰值旁瓣電平，可以在陣列天線優(yōu)化問題上得到廣泛的應(yīng)用。

圖5 仿真實(shí)驗(yàn)4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)語

針對傳統(tǒng)智能算法在解決陣列天線方向圖優(yōu)化問題上易陷入局部最優(yōu)和搜索精度不高的問題，本文通過改進(jìn)CS 算法提高了非均勻線陣的優(yōu)化效率。使用混沌映射Sinusoidal 代替固定步長因子α，利用混沌算子的無序和遍歷性提高算法的搜索精度；采用了新的更新策略，使種群跳出了固有的更新模式，保證算法的搜索效率。通過標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測試證明了改進(jìn)后的算法在性能上有了較大提升，更適用于解決陣列天線優(yōu)化問題。在稀布線陣方向圖仿真實(shí)驗(yàn)中，該算法在抑制峰值旁瓣電平上優(yōu)勢明顯，確實(shí)提高了優(yōu)化效率，并且較其他算法具備更強(qiáng)的穩(wěn)定性，在超大規(guī)模的線陣優(yōu)化問題中，優(yōu)化效果顯著，可以更進(jìn)一步應(yīng)用到大規(guī)模線陣中去。