葛素兒

【摘? ?要】數(shù)學(xué)是一門有結(jié)構(gòu)的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)需要發(fā)揮結(jié)構(gòu)的力量。小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)應(yīng)在立足整體的基礎(chǔ)上推進(jìn)，經(jīng)歷從“單一割裂的點(diǎn)狀思維”向“整體融合的結(jié)構(gòu)化思維”的轉(zhuǎn)變過程，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化、思維結(jié)構(gòu)化和策略結(jié)構(gòu)化。小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)可以基于課時(shí)視角、單元視角和領(lǐng)域視角進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，從“立結(jié)構(gòu)”到“用結(jié)構(gòu)”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷理解與遷移、聯(lián)結(jié)與拓展、實(shí)踐與應(yīng)用的整體建構(gòu)過程。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí);整體建構(gòu)

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教學(xué)依然存在著知識(shí)“碎片化”、教學(xué)“重復(fù)化”、學(xué)習(xí)“無序化”等低效現(xiàn)象，然而基于整體視角的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)可以有效改變這一現(xiàn)狀。所謂結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，是指按照“點(diǎn)→線→面→體”的方式，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識(shí)、思維和策略進(jìn)行整體關(guān)聯(lián)和融通，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“立結(jié)構(gòu)”到“用結(jié)構(gòu)”的建構(gòu)過程，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)力的提升。在教學(xué)中，結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)可以采用以下路徑推進(jìn)（見圖1），下面將從價(jià)值取向、基本路徑和核心要素三個(gè)方面做簡單闡述。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的價(jià)值取向

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)可以改變立足一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的線性學(xué)習(xí)方式，在立足整體的基礎(chǔ)上推進(jìn)，實(shí)現(xiàn)從“單一割裂的點(diǎn)狀思維”向“整體融合的結(jié)構(gòu)化思維”的轉(zhuǎn)變。

（一）實(shí)現(xiàn)從“點(diǎn)狀”到“網(wǎng)狀”的知識(shí)結(jié)構(gòu)化

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，可以充分把握知識(shí)體系內(nèi)各組成要素之間相互聯(lián)系、相互作用的方式，可以使“點(diǎn)狀”的單個(gè)知識(shí)點(diǎn)形成“網(wǎng)狀”的知識(shí)圖，進(jìn)而形成大概念統(tǒng)攝下的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例如，“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”是“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)的第三階段。教學(xué)中可以基于位值原理，讓學(xué)生借助動(dòng)手操作、畫圖表征、語言表達(dá)等方式，體驗(yàn)十進(jìn)位值制思想，整體融合數(shù)數(shù)、數(shù)的組成、大小比較、近似數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)歷將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)成線，再由線連成網(wǎng)的過程，同時(shí)有機(jī)滲透其他位值制計(jì)數(shù)法，溝通不同進(jìn)制計(jì)數(shù)法的聯(lián)系，初步建立“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的位值大概念，從而形成關(guān)于“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的結(jié)構(gòu)化知識(shí)。

（二）實(shí)現(xiàn)從“單點(diǎn)”到“拓展”的思維結(jié)構(gòu)化

根據(jù)可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果（SOLO分類評(píng)價(jià)法），可以將數(shù)學(xué)理解層次進(jìn)行梯狀刻畫，分別是前結(jié)構(gòu)水平、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象水平。小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能夠改變線性的學(xué)習(xí)路徑，基于整體視角推進(jìn)，通過可視化的多元表征助力結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維生成。多元表征是實(shí)際生活情境、操作模式、圖像、口語符號(hào)和文字符號(hào)這五種表征之間的自主轉(zhuǎn)化（見圖2），這是一種從“單點(diǎn)”到“拓展”的結(jié)構(gòu)化思維方式。

通常在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘知識(shí)的核心元素，通過多元表征的思維方式對(duì)概念進(jìn)行系統(tǒng)關(guān)聯(lián)、轉(zhuǎn)換與應(yīng)用，在體現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的同時(shí)實(shí)現(xiàn)思維結(jié)構(gòu)化。

（三）實(shí)現(xiàn)從“理解”到“遷移”的策略結(jié)構(gòu)化

事實(shí)上，結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是一個(gè)在情境問題中發(fā)現(xiàn)元素、在整體關(guān)聯(lián)中理解建構(gòu)、在應(yīng)用創(chuàng)新中結(jié)構(gòu)遷移的整體推進(jìn)過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生在對(duì)知識(shí)核心元素進(jìn)行系統(tǒng)關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，也對(duì)核心方法策略進(jìn)行提煉、歸納與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)從“理解”到“遷移”的策略結(jié)構(gòu)化。策略的形成需要經(jīng)歷“日常滲透—整體感悟—反復(fù)體驗(yàn)”的結(jié)構(gòu)化過程。

例如，線段圖策略的運(yùn)用過程是由問題“文字表征”向“圖形表征”再到“符號(hào)表征”的轉(zhuǎn)換過程，如在教學(xué)“求比一個(gè)數(shù)多幾或少幾”時(shí)，教師可以扶著學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物圖到符號(hào)圖再到線段圖的“立結(jié)構(gòu)”過程。在教學(xué)“求一個(gè)數(shù)的幾倍是幾”時(shí)，教師可以放手讓學(xué)生經(jīng)歷“用結(jié)構(gòu)”的自主遷移過程，在對(duì)實(shí)物圖、符號(hào)圖和線段圖不同抽象層次的思維圖式進(jìn)行求同與求異的思辨過程中，讓線段圖表征策略結(jié)構(gòu)化。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)的基本路徑

整體建構(gòu)，意味著無論在學(xué)習(xí)的哪個(gè)環(huán)節(jié)，都需要教師以結(jié)構(gòu)化的思維去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)。教學(xué)中，教師需要把一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)、思維點(diǎn)放在單元結(jié)構(gòu)、領(lǐng)域系統(tǒng)中進(jìn)行整體把握，凸顯知識(shí)的本質(zhì)要素，挖掘知識(shí)間的關(guān)聯(lián)要素，關(guān)注策略性知識(shí)的學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生的理解與遷移。

（一）基于課時(shí)視角，凸顯本質(zhì)元素

課時(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本單位，是知識(shí)的基本元素，學(xué)習(xí)是基于一個(gè)又一個(gè)的課時(shí)進(jìn)行日積月累的過程?；谡n時(shí)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，教師需要將知識(shí)點(diǎn)放置于單元整體之中，用整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法來理解知識(shí)點(diǎn)，把握知識(shí)的本質(zhì)要素，凸顯意義建構(gòu)，為知識(shí)關(guān)聯(lián)建立認(rèn)知通道。這些本質(zhì)要素正如一顆顆具備可持續(xù)生長力的知識(shí)種子，在整個(gè)知識(shí)大廈建立過程中起著奠基的作用。

例如，“長方形、正方形面積的計(jì)算”這一內(nèi)容涉及的概念有這樣三組：面積和周長、面積單位和長度單位、面積計(jì)算公式和周長計(jì)算公式。這兩種圖形的三組概念，與實(shí)際情境結(jié)合，本身就比較復(fù)雜。皮亞杰把用這種長度乘寬度求面積的能力劃分為智慧水平或“運(yùn)算”水平，這種發(fā)展水平要到十一二歲才能出現(xiàn)。因此，要讓三年級(jí)的學(xué)生真正理解面積公式并非易事。教學(xué)中，教師可以運(yùn)用方格圖載體，突出面積測量本質(zhì)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷用面積單位度量長、正方形面積的過程，避免過早地進(jìn)入形式化計(jì)算階段，借助“選方格→擺方格→算方格→說方格”等活動(dòng)體現(xiàn)具象到抽象的過程，充分體悟最原始、最簡單的度量面積的方法“面積=每行單位面積的個(gè)數(shù)×行數(shù)”，建立面積測量和計(jì)算的基本模型，為后面學(xué)習(xí)平面圖形的面積計(jì)算作鋪墊。

（二）基于單元視角，挖掘關(guān)聯(lián)元素

所謂“單元”，是指“有組織、有意義的一組知識(shí)的集合”。通常我們所說的學(xué)習(xí)單元，是指教材中所編排的學(xué)習(xí)章節(jié)，如“周長”“面積”等板塊。這些單元之間的壁壘是可以打通的，從“小單元”結(jié)構(gòu)走向“大單元”結(jié)構(gòu)。關(guān)聯(lián)指的是用整體關(guān)聯(lián)的思維開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，包括數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、線、面、體不斷累積的縱向關(guān)聯(lián)和不同領(lǐng)域知識(shí)、思維和策略相互融通的橫向關(guān)聯(lián)。

例如，“圓”單元的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)可以分成三個(gè)部分（見表1），一是“圓”的個(gè)體知識(shí)，包括圓的特征、周長和面積;二是“圓”的組合知識(shí)，包括圓與圓的組合、圓與方的組合;三是圓的應(yīng)用，包括圓與生活、圓與扇形、圓的文化，等等。

從表1可以看出，“圓”單元的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)基于設(shè)計(jì)型、實(shí)驗(yàn)型、調(diào)查型和綜合型任務(wù)展開，不同的任務(wù)對(duì)應(yīng)不同的知識(shí)要點(diǎn)和思維指向。在這個(gè)過程中，教師應(yīng)充分挖掘各個(gè)知識(shí)點(diǎn)背后的關(guān)聯(lián)元素進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生形成“圓”單元交錯(cuò)聯(lián)系的立體式知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（三）基于整體視角，注重體系建構(gòu)

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的通盤考慮，旨在融通知識(shí)點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系，將知識(shí)點(diǎn)串成知識(shí)鏈，將知識(shí)鏈織成知識(shí)網(wǎng)，使知識(shí)呈現(xiàn)出整體的“結(jié)構(gòu)態(tài)”，也使思想、方法與策略呈現(xiàn)出立體的“結(jié)構(gòu)態(tài)”。這些結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的遷移力，可以遷移到有關(guān)聯(lián)性的其他學(xué)習(xí)中去。例如在小學(xué)“量與計(jì)量”知識(shí)領(lǐng)域中，無論是同一體系還是不同體系的計(jì)量單位，都有一定的關(guān)聯(lián)。

在“長度單位”的教學(xué)中，教師要把握度量的本質(zhì)進(jìn)行整體教學(xué)，抓住“經(jīng)驗(yàn)觸動(dòng)”“活動(dòng)體驗(yàn)”和“類比遷移”這三個(gè)教學(xué)要素，讓學(xué)生經(jīng)歷“認(rèn)識(shí)度量、建立度量標(biāo)準(zhǔn)、認(rèn)識(shí)度量單位、掌握度量方法、測量與計(jì)算”的“立結(jié)構(gòu)”過程。在后續(xù)度量類知識(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生將度量學(xué)習(xí)的知識(shí)與方法結(jié)構(gòu)進(jìn)行自覺遷移與應(yīng)用，充分發(fā)揮結(jié)構(gòu)的生長力量，構(gòu)筑起度量學(xué)習(xí)的完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)的核心要素

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)嘗試打破課時(shí)結(jié)構(gòu)與單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體推進(jìn)，讓學(xué)生經(jīng)歷從碎片化到結(jié)構(gòu)化的“理解與建構(gòu)、聯(lián)結(jié)與拓展、遷移與應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程。

（一）理解與建構(gòu)，助結(jié)構(gòu)形成

《追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)》一書中提到，“理解”是多維和復(fù)雜的，可以從六個(gè)側(cè)面來認(rèn)識(shí)它，即解釋、闡明、應(yīng)用、洞察、神入和自知，這六個(gè)側(cè)面為“理解”提供了多元化的指標(biāo)。在教學(xué)中，教師要結(jié)合這六個(gè)側(cè)面幫助學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，建構(gòu)完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【案例1】“認(rèn)識(shí)幾分之一”教學(xué)環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)一：認(rèn)識(shí)與理解[12]。

（1）結(jié)合生活情境“丁丁媽媽把一個(gè)月餅平均分成2份，丁丁和弟弟每人吃1份;可可媽媽把4個(gè)月餅平均分成2份，可可和妹妹每人吃1份”，讓學(xué)生畫圖表征兩次分月餅的結(jié)果，嘗試用“一半”“[12]”表示兩次分月餅的共性。

（2）結(jié)合兩次分月餅的實(shí)物圖，初步理解“[12]”的含義。

（3）利用集合圈，深化理解“[12]”的含義。

環(huán)節(jié)二：認(rèn)識(shí)與理解[14]。

（1）學(xué)生動(dòng)手操作表示1個(gè)正方形的[14]和8個(gè)正方形的[14]，反饋提取共性。

（2）嘗試表征[1□]。

（3）讀寫分?jǐn)?shù)，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)各部分名稱及意義。

環(huán)節(jié)三：認(rèn)識(shí)“[1□]”，深化分?jǐn)?shù)意義的理解。

（1）學(xué)生獨(dú)立創(chuàng)造[1□]，在反饋中解釋作品。

（2）歸納小結(jié)，內(nèi)化分?jǐn)?shù)的意義。

“量”“率”對(duì)應(yīng)是分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。本節(jié)課將兩者整合，結(jié)合多元表征的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、畫圖說明、語言表達(dá)、生活實(shí)例與分?jǐn)?shù)符號(hào)之間來回溝通與轉(zhuǎn)化的過程。在這個(gè)過程中，我們可以看到一個(gè)清晰的理解過程，如解釋、闡明與應(yīng)用。經(jīng)歷這樣的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)過程，學(xué)生能建立起“行為”“圖示”“符號(hào)”之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，逐步理解分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，初步建立量率對(duì)應(yīng)思想，建構(gòu)起關(guān)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，如分?jǐn)?shù)意義的不同維度理解，分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的方法策略等 。

（二）聯(lián)結(jié)與拓展，助結(jié)構(gòu)完善

所謂聯(lián)結(jié)，是指學(xué)生在概念的各種表征中建立聯(lián)系。全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NCTM）在2000年頒布的《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中提出5項(xiàng)數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力就是其中之一。數(shù)學(xué)知識(shí)體系中點(diǎn)、線、面、體本身是相互聯(lián)結(jié)的，通過溝通、轉(zhuǎn)換與融合，將有聯(lián)系的知識(shí)聯(lián)結(jié)起來是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種核心能力。

【案例2】基于面積模型的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”拓展

（1）借助核心問題“欣欣農(nóng)場蔬菜種植區(qū)的長和寬是1、2、6、8四個(gè)數(shù)字組成的兩個(gè)兩位數(shù)且乘積最小，請(qǐng)幫忙找到種植區(qū)的長和寬”來驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生基于運(yùn)算意義，將最小的數(shù)字1和2放在十位，得到兩種可能16×28 和18×26。

（2）借助核心問題“16×28 和18×26的乘積誰大誰小，不通過豎式計(jì)算，你能否在格子圖中表示出來”引發(fā)圖式思辨，讓學(xué)生先在格子圖中表示出兩個(gè)長方形的相同部分“16×26”，再在格子圖中比較不同部分“16×2”和“2×26”，接著引導(dǎo)學(xué)生將格子圖的表征與算式的分解一一對(duì)應(yīng)，讓算理與算法融合，并初步得到結(jié)論“兩數(shù)的和若相等，它們的差越小，積就越大”。

（3）借助核心問題“方案1：長71米、寬34米，方案2：長78米、寬31米，哪種方案面積大”來驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)圖與式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，經(jīng)歷方法策略結(jié)構(gòu)從“立”到“破”再“立”的過程。

這個(gè)思維進(jìn)階的過程有效地打通了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”與“面積”之間的壁壘，借助運(yùn)算意義與面積模型建立新的聯(lián)結(jié)，從一般化的結(jié)構(gòu)建立到變式問題的解決，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)一步完善。

（三）實(shí)踐與應(yīng)用，助結(jié)構(gòu)遷移

實(shí)踐與應(yīng)用，是從“學(xué)結(jié)構(gòu)”到“用結(jié)構(gòu)”的遷移過程，學(xué)習(xí)者將學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移到新的情境中，類比學(xué)習(xí)新知、解決新的問題，通?？梢越柚?xiàng)目式的方式結(jié)構(gòu)化推進(jìn)。例如“玩轉(zhuǎn)圓柱”項(xiàng)目學(xué)習(xí)，以“卷、切、削、比”四個(gè)項(xiàng)目活動(dòng)為抓手，從“課”到“類”，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“用結(jié)構(gòu)”的過程。

基于整體視角的“玩轉(zhuǎn)圓柱”項(xiàng)目，借助結(jié)構(gòu)性材料進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)，在更高層面上實(shí)現(xiàn)理解與遷移，提升學(xué)生融會(huì)貫通的綜合素養(yǎng)。

總之，數(shù)學(xué)是一門有結(jié)構(gòu)的學(xué)科，“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的（布魯納）”。數(shù)學(xué)教學(xué)需要發(fā)揮結(jié)構(gòu)的力量，借助結(jié)構(gòu)化思維設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生經(jīng)歷有結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，促進(jìn)知識(shí)、思想和策略的整體建構(gòu)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張丹，于國文.“觀念統(tǒng)領(lǐng)”的單元教學(xué)：促進(jìn)學(xué)生的理解與遷移[J].課程·教材·教法，2020（5）：112-118.

[2]席愛勇，吳玉國.基于結(jié)構(gòu)化視角的單元整體設(shè)計(jì)路徑[J].基礎(chǔ)教育課程，2019（5）：35-39.

[3]孫謙，吳玉國.小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)：整體意義關(guān)聯(lián)的教學(xué)理解與設(shè)計(jì)[J].江蘇教育研究，2020（9）：53-57.

[4]威金斯，麥克泰格.追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)[M].閆寒冰，宋雪蓮，等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2017：92-117.

[5]朱俊華，劉晉揚(yáng).大觀念視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)[J].基礎(chǔ)教育課程，2020（7）：38-43.（浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心? ?311400）