【摘 要】當(dāng)下，不少兒童的數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)出點(diǎn)狀樣態(tài)。數(shù)學(xué)學(xué)科作為一個完整的體系，應(yīng)該培養(yǎng)兒童的系統(tǒng)性思維品質(zhì)。系統(tǒng)性思維的核心是重視系統(tǒng)各要素之間的相互聯(lián)系與作用。實(shí)施關(guān)聯(lián)教學(xué)，可以為兒童提供知識、方法與思想上的結(jié)構(gòu)支撐，讓兒童感受到完整的、動態(tài)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，進(jìn)而促進(jìn)其系統(tǒng)性思維品質(zhì)的提升。

【關(guān)鍵詞】關(guān)聯(lián)教學(xué);點(diǎn)狀樣態(tài);數(shù)學(xué)系統(tǒng)性思維;思維品質(zhì)

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）35-0040-05

【作者簡介】孫欣，淮陰師范學(xué)院第一附屬小學(xué)（江蘇淮安，223001）課程教學(xué)部副主任，高級教師，淮安市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

蘇聯(lián)教育家斯托利亞爾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)說到底是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)?！毙W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)其實(shí)就是教師對數(shù)學(xué)思維的解碼，對兒童內(nèi)心言語符號的解讀。在教學(xué)中，教師應(yīng)注意為兒童播下數(shù)學(xué)思考的種子，培育其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，培植其數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、兒童數(shù)學(xué)思維點(diǎn)狀樣態(tài)檢視

其一，概念認(rèn)知碎片化——局部零散，整體缺位。一些兒童對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知呈現(xiàn)出零散化、細(xì)節(jié)化、局部化的特點(diǎn)，缺少整體考量。如學(xué)習(xí)了除法，他們會認(rèn)為所有題目都能用除法解決。碎片化的認(rèn)知導(dǎo)致兒童不能從整體上把握每個知識點(diǎn)的價(jià)值與應(yīng)用范圍。

其二，數(shù)學(xué)理解片面化——感知表象，本質(zhì)缺失。有些兒童常依據(jù)事物的表象做判斷，而忽視對事物本質(zhì)的把握。如他們會認(rèn)為“13+25+75=25+75+13”只運(yùn)用了加法交換律，這是因?yàn)樗麄冎魂P(guān)注加法結(jié)合律中有括號的表象，而不理解其改變運(yùn)算順序的本質(zhì)。過于追求表面現(xiàn)象會使兒童產(chǎn)生思維惰性，對數(shù)學(xué)的理解不全面、不深入。

其三，思考問題單向度——橫向平行，深度扁平。一些兒童思考問題的角度單一、平行，呈點(diǎn)狀發(fā)散式或單向線性式。如局限于利用通分比較分?jǐn)?shù)的大小，而面對[19]○[110]、[78]○[99100]這類問題，不能從多個角度靈活比較。兒童立體式思考的意識、能力欠缺，導(dǎo)致各模型之間缺少溝通。

其四，語言表達(dá)半邏輯——條理雜亂，邏輯不整。兒童的數(shù)學(xué)思考往往沒有邏輯鏈，對知識的前因后果缺乏真正的理解。如口算“20×3”，常說“2個十乘3得60”，準(zhǔn)確的表述應(yīng)為“2個十乘3得6個十，所以是60”。語言反映思維，兒童對算理與算法間的關(guān)系梳理不清，導(dǎo)致其表達(dá)不清晰、論理不充分，存在著模糊、停頓、斷續(xù)的邏輯傾向。

二、基于關(guān)聯(lián)教學(xué)解碼兒童數(shù)學(xué)系統(tǒng)性思維的培養(yǎng)

（一）關(guān)聯(lián)教學(xué)的內(nèi)涵詮釋

關(guān)聯(lián)指互相貫連，起連接作用且相互聯(lián)系。關(guān)聯(lián)教學(xué)是指教學(xué)具有整體視野，順應(yīng)兒童的認(rèn)知規(guī)律，從關(guān)聯(lián)的視角看待數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)知識之間、教學(xué)要素之間存在的相關(guān)性和聯(lián)系性，從而處理數(shù)學(xué)信息，建構(gòu)新的表征，解決數(shù)學(xué)問題。

（二）數(shù)學(xué)系統(tǒng)性思維的內(nèi)涵詮釋

數(shù)學(xué)系統(tǒng)性思維是指從數(shù)學(xué)系統(tǒng)出發(fā)，根據(jù)部分和部分、整體和部分、結(jié)構(gòu)和功能等要素之間的聯(lián)系與相互作用，更加精確、綜合、深入地認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)。在教學(xué)中培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)系統(tǒng)性思維，有助于他們克服數(shù)學(xué)思維的點(diǎn)狀現(xiàn)象。

（三）基于關(guān)聯(lián)教學(xué)培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)系統(tǒng)性思維的目標(biāo)

其一，讓兒童對數(shù)學(xué)的認(rèn)知從“散點(diǎn)”走向“類型”。依據(jù)教材系統(tǒng)、整體地規(guī)劃教學(xué)行為，在獲取知識和外顯思維的過程中，幫助兒童把散點(diǎn)知識筑成具有生長力量的類結(jié)構(gòu)。其二，讓兒童習(xí)得的數(shù)學(xué)方法從“割裂”走向“聚合”。用聯(lián)系的視角聚合不同問題、不同方法的本質(zhì)，找準(zhǔn)被分割部分的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，求同存異，相互融通，從而實(shí)現(xiàn)思想方法的類遷移。其三，讓兒童對數(shù)學(xué)的感悟從“斷續(xù)”走向“連續(xù)”。關(guān)聯(lián)教學(xué)有助于兒童建構(gòu)清晰、有序的思考路徑，形成解決問題的程序、步驟，推動其思維逐步走向連貫。其四，讓數(shù)學(xué)理解從“局部”走向“全局”。站在單元、內(nèi)容領(lǐng)域或?qū)W段的視角，幫助兒童深刻認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)課程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部及其與其他學(xué)科和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。

三、基于關(guān)聯(lián)教學(xué)提升兒童數(shù)學(xué)系統(tǒng)性思維的策略

（一）知識類關(guān)聯(lián)，為系統(tǒng)性思維提供學(xué)科內(nèi)部結(jié)構(gòu)支撐

1.同域知識串聯(lián)——從紛雜走向有序。

同域知識串聯(lián)是指把點(diǎn)狀的同域知識串成線狀存在。同領(lǐng)域內(nèi)容看似紛雜，但往往具有多重內(nèi)在聯(lián)系，教師要注意縱向溝通，把握知識生長序列，促進(jìn)同域各系統(tǒng)因子協(xié)同發(fā)展，讓兒童的知識體系自然生長。如“多邊形的面積”相關(guān)內(nèi)容如表1所示?？此聘鞑幌嗤墓絽s具有本質(zhì)關(guān)聯(lián)性。若改變順序，以梯形面積計(jì)算公式為“根”，可生長如下：上底縮小為0（b=0），就變成三角形;上下底相等（a=b），就變成平行四邊形（長方形或正方形）。幾種圖形的面積計(jì)算公式均可表示為S=（a+b）×h÷2。（如圖1）教學(xué)要梳理與打通紛亂的知識背后的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生感受其本質(zhì)的統(tǒng)一性。

2.異域知識并聯(lián)——從單向走向多維。

異域知識并聯(lián)是指把不同領(lǐng)域的知識并聯(lián)在一起。異域內(nèi)容看似相互獨(dú)立，但轉(zhuǎn)換視角，將其內(nèi)在特征橫向融通，同樣可在多維關(guān)聯(lián)中促進(jìn)兒童的數(shù)學(xué)理解達(dá)到不一樣的層次與境界。如蘇教版四下《乘法交換律》一課的例題：四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領(lǐng)24根跳繩，四、五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？通過兩種方法得到等式6×24+4×24=（6+4）×24后，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷形成猜想、舉例驗(yàn)證、得出結(jié)論的不完全歸納過程。然后啟發(fā)學(xué)生借助面積計(jì)算方法解釋規(guī)律，在數(shù)域與形域之間建立關(guān)聯(lián)（如圖2）。獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的路徑不止一條，關(guān)聯(lián)異域知識，引導(dǎo)兒童從多元視角看待數(shù)學(xué)體系，有助于他們從多個維度建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，從而領(lǐng)略到數(shù)學(xué)系統(tǒng)的別樣風(fēng)景。

3.類群知識網(wǎng)聯(lián)——從一些走向一類。

關(guān)聯(lián)教學(xué)常常實(shí)現(xiàn)從點(diǎn)狀到線性再到網(wǎng)狀的升華。觀照兒童的認(rèn)知維度，對知識進(jìn)行類同關(guān)系比較，把一些知識聯(lián)結(jié)成一類知識，有助于學(xué)生充分挖掘數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)群的育人價(jià)值。教學(xué)蘇教版五下《異分母分?jǐn)?shù)加減法》一課，教師常局限于引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合理解算理算法，而忽略溝通不同類型的數(shù)加減運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系。其實(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生先整體感悟分?jǐn)?shù)加減法的類型（同分母、異分母——包括能否化成有限小數(shù)的），再按類研究，類比遷移，最后溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算的本質(zhì)，突出相同計(jì)數(shù)單位可直接相加減的算理。把各分支納入整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成一類知識關(guān)聯(lián)，有利于兒童完善分類的思維品質(zhì)。

（二）方法類關(guān)聯(lián)，為系統(tǒng)性思維提供認(rèn)知能力結(jié)構(gòu)支撐

1.回顧反思，提供研究步驟的程序支撐。

習(xí)得方法比獲得知識更有價(jià)值。教師要注意引導(dǎo)兒童既經(jīng)歷觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理、歸納等數(shù)學(xué)化過程，也適時回顧反思，提煉總結(jié)，提升研究能力。如教學(xué)蘇教版五下《2和5的倍數(shù)的特征》一課，若學(xué)生的學(xué)習(xí)僅僅停留在記憶特征層面，就遮蔽了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。教師可先引導(dǎo)學(xué)生探究2的倍數(shù)的特征，在百數(shù)表上圈出2的倍數(shù)，經(jīng)歷形成猜想、舉例驗(yàn)證、得出結(jié)論的不完全歸納過程。然后追問：剛才是怎樣研究的？從而總結(jié)出“小范圍形成猜想—大范圍舉例驗(yàn)證—得出結(jié)論”這一研究步驟，學(xué)生依據(jù)此方法可獨(dú)立探究5的倍數(shù)的特征。面對新問題，兒童會無意識地對已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行聯(lián)結(jié)加工。引導(dǎo)兒童對學(xué)習(xí)過程與方法進(jìn)行回顧、總結(jié)、提煉，有助于他們建構(gòu)穩(wěn)固的思考模型。

2.主動遷移，提供思維路徑的拓展支撐。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，兒童如能循著合適的思考路徑進(jìn)行探究，將會達(dá)到事半功倍的效果。教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)教與學(xué)的結(jié)構(gòu)流程，可促進(jìn)兒童整體認(rèn)知和深度學(xué)習(xí)。如教學(xué)蘇教版三上《整十、整百數(shù)乘一位數(shù)口算》一課，教師引導(dǎo)學(xué)生借助表象操作理解“2個十乘3等于6個十”，啟發(fā)他們思考：以前學(xué)習(xí)2個一乘3得6個一，今天學(xué)習(xí)2個十乘3得6個十，繼續(xù)往下想，你會想到什么？突出計(jì)算原理的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生在想象推理中提煉出一類算式的共同算法，實(shí)現(xiàn)主動遷移。教師教學(xué)時立足方法系統(tǒng)，把教與用有機(jī)融合，為兒童提供思維路徑，推動他們的認(rèn)識從特殊提升到一般層面，將有助于實(shí)現(xiàn)“不教之教”的愿景。

3.求同存異，提供思考方向的變化支撐。

兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有生長性，不僅體現(xiàn)在知識累加上，更體現(xiàn)在思維經(jīng)驗(yàn)的豐富、思維方式的優(yōu)化、思維能力的發(fā)展、思維品質(zhì)的形成上。教師注意引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)聯(lián)中尋找想法共通處，將有助于他們明確思考方向。如教學(xué)蘇教版六上《表面涂色的正方體》，課始，教師出示將每條棱100等分的表面涂色的正方體，激發(fā)學(xué)生想象：若沿等分線全部切開，得到的每個小正方體的涂色情況是怎樣的？學(xué)生覺得困難。教師進(jìn)而追問：可以怎么來研究？學(xué)生想到從棱2等分、3等分、4等分……開始研究。教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考：這些想法有什么共同之處？（減少份數(shù)，便于研究）進(jìn)而揭示：天下大事，必做于易，“從簡單想起”是數(shù)學(xué)研究常用的思維方式。教師要注意把兒童不完善的經(jīng)驗(yàn)與體驗(yàn)升華為科學(xué)的思維方式，為其后續(xù)研究復(fù)雜的問題提供思考方向，進(jìn)而形成自覺、主動的研究心態(tài)，建構(gòu)新的思維模式。

（三）思想類關(guān)聯(lián)，為系統(tǒng)性思維提供動態(tài)結(jié)構(gòu)支撐

1.鼓勵質(zhì)疑問難，讓兒童心中有問題。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是獲取知識、形成技能和建構(gòu)思想方法的思維活動。教師教學(xué)時應(yīng)注意以問題為紐帶，鼓勵兒童質(zhì)疑問難、發(fā)表想法，促進(jìn)他們在思考、感悟、內(nèi)化過程中形成思想關(guān)聯(lián)。如教學(xué)蘇教版四下《解決問題的策略》一課，教學(xué)長方形的長增加引起面積變化的情況之后，教師啟發(fā)學(xué)生思考：由長增加會帶來面積變化，你能聯(lián)想到什么？（長減少、寬增加、寬減少等情況亦能帶來面積變化）在學(xué)生畫圖解決每種情況后，教師引導(dǎo)學(xué)生整體觀察并比較相同點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)：只有長變化時，寬沒有變，都是先求寬;只有寬變化時，長沒有變，都是先求長。使學(xué)生在變中找不變，體悟“以不變應(yīng)萬變”的思想。教師教學(xué)時應(yīng)注意避免“一問到底”，而應(yīng)鼓勵兒童提出問題，讓兒童心里有想法，并在比較、思辨中激活兒童的自我再生潛質(zhì)。

2.積極聯(lián)想想象，讓兒童腦中有意識。

數(shù)學(xué)知識體系的明線和數(shù)學(xué)思想體系的暗線貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全過程。教師要注意引導(dǎo)兒童充分展開聯(lián)想，感受到看不見的暗線，觸摸到數(shù)學(xué)系統(tǒng)的靈魂。蘇教版五下“解決問題的策略”單元的一道習(xí)題如圖3所示。學(xué)生可以生搬硬套梯形的面積計(jì)算公式列出算式——（15+6）×10÷2，卻難以闡述這道題與梯形面積計(jì)算公式的直接關(guān)系。教師可以適時啟發(fā)學(xué)生思考：梯形的面積計(jì)算公式是怎么推導(dǎo)出來的？讓學(xué)生想象“復(fù)制”一個完全相同的鉛筆架（如圖4），其中的奧秘便漸漸浮現(xiàn)出來了。如此，到六年級下學(xué)期求如下圖5所示的圖形的體積時，學(xué)生腦中儲存的轉(zhuǎn)化思想便可以幫助他們通過聯(lián)想復(fù)制成如下圖6所示的圖形來解決問題。教學(xué)不僅要關(guān)注問題解決，還要注意滲透、提煉數(shù)學(xué)思想。如此，兒童的思維鏈才不會斷裂，聯(lián)想和想象才能與數(shù)學(xué)思想無縫對接，從而引領(lǐng)兒童的系統(tǒng)性思維連續(xù)生長。

3.善于變式變通，讓學(xué)習(xí)更高效。

學(xué)習(xí)方式不同，則學(xué)習(xí)效果不同。教學(xué)時，教師善于變通，注重靈活關(guān)聯(lián)與綜合應(yīng)用，能讓兒童形成新的思維方式，從學(xué)會走向會學(xué)。蘇教版四上“解決問題的策略”單元的一道習(xí)題如圖7所示，教師教學(xué)時可以引導(dǎo)學(xué)生觀察，使他們發(fā)現(xiàn)：題（1）中箱數(shù)和裝箱時間在變，商始終不變;題（2）中每箱個數(shù)和箱數(shù)在變，積始終不變。提煉出兩題的本質(zhì)都是先求不變量，體現(xiàn)了滲透函數(shù)思想的教學(xué)考量。教師在教學(xué)中注意啟發(fā)兒童進(jìn)行變式學(xué)習(xí)，引導(dǎo)他們變通關(guān)聯(lián)，有助于他們提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量。

數(shù)學(xué)是兒童生命成長的載體。教師眼里應(yīng)該有完整的數(shù)學(xué)、動態(tài)的數(shù)學(xué)?；陉P(guān)聯(lián)的視角，把整體化、結(jié)構(gòu)化、序列化、網(wǎng)絡(luò)化的數(shù)學(xué)清晰、有序地呈現(xiàn)給兒童，將有助于他們學(xué)習(xí)的數(shù)量從單一走向多元，學(xué)習(xí)的質(zhì)量從扁平走向豐滿，從而順利完成知識、方法、思想的體悟與建構(gòu)過程，發(fā)展系統(tǒng)性思維品質(zhì)，從根本上完善其數(shù)學(xué)人生。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]李白露.基于核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考力[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（9）：8-9.