付 饒,李靜宇,熊奉奎

(1.綿陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機電工程系，四川 綿陽 621000； 2.沈陽農(nóng)業(yè)大學(xué),遼寧 沈陽 110000；3.陜西科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，陜西 西安 710016 )

0 引 言

近年來，齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)和振動分析，已經(jīng)成為一個熱門研究方向，人們對此進行了較為廣泛研究。齒輪傳動系統(tǒng)是一種自激系統(tǒng)，其中固有因素和外部因素共同激發(fā)了傳動系統(tǒng)的振動，再加上具有自激機制的周期性接觸損失，便會導(dǎo)致包含周期性振動和混沌響應(yīng)的高度非線性響應(yīng)的出現(xiàn)[1]。通常認為，通過改善齒輪的制造誤差、接觸齒對的數(shù)量及接觸位置，以改變嚙合剛度在嚙合循環(huán)中的變化是優(yōu)化傳動系統(tǒng)響應(yīng)和振動特性的最佳手段[2]。

基于FEA引入的計算模型，Parker等[3]，首先利用有限元分析來獲得預(yù)先計算的齒輪嚙合剛度，再通過引入一種半分析方法進行分析，使計算效率得到了顯著提高。此種半分析方法使用近場解析方案替代了FEA的遠場方案，使模型準確再現(xiàn)了Kahraman和Blankenship[4]的實驗結(jié)果，但計算精度相對降低。隨后Byrtus和Zeman[5]在此基礎(chǔ)上提出了包含軸承和軸承座的齒輪箱分析模型，并通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化和降低自由度，得到了計算效率更高的模型。Fernandez Del Rincon等[6]，在此基礎(chǔ)上結(jié)合用于計算彎曲和根部順應(yīng)性的有限元模型和用于計算嚙合剛度的接觸點近場解析公式，首次將角接觸納入，一定程度上增加了模型分析的準確度?；谟嬎愠杀究紤]，使用預(yù)先計算的嚙合剛度替換時變嚙合剛度可被接受，但事實證明載荷變化對嚙合剛度的影響較大，故均存在計算精度不足的問題。

基于以上研究的不足，最近人們研究了齒廓形狀優(yōu)化對時變嚙合剛度和響應(yīng)特性的影響。Wei等[7]，分別從理論和實驗的角度研究了齒輪傳動系統(tǒng)的輔助部件對二者的影響，提出了結(jié)合齒輪傳動系統(tǒng)所有部件動態(tài)作用的數(shù)值分析模型，該模型的分析結(jié)果在額定工況下振動的幅度和頻率分布與實驗結(jié)果吻合。Diez-Ibarbia等[8]，研究了齒廓帶齒頂卸載口的齒輪的動態(tài)響應(yīng)特性，其中重點研究了負載分配和摩擦系數(shù)的影響。Yu等[9]，分析了齒頂修正對嚙合剛度的影響，并指出了在輕載或空載條件下齒輪驅(qū)動側(cè)和外側(cè)間嚙合剛度的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

盡管相關(guān)研究已經(jīng)取得了很大的進展，但仍有許多問題尚待解決。其中，很重要的是如混沌運動等非線性接觸和傳動系統(tǒng)振動及動態(tài)響應(yīng)之間因果關(guān)系的模糊。盡管在理論上有許多模型都可以預(yù)測這種現(xiàn)象，但實際上，人們在建模的理論上并沒有達成共識，從而尚未在計算成本和計算精度之間取得平衡。更重要的是迄今為止，大多數(shù)研究人員都忽略了齒輪動態(tài)響應(yīng)的潛在重要組成部分，即單齒的本征振動和非線性接觸。即使FEA有所考慮，也常因建模計算成本高忽略它們[10]。

為了解決這些問題，文中開發(fā)了一種結(jié)合了齒間非線性接觸及齒本征振動的高計算效率的簡化計算模型b，并通過與常規(guī)的全要素模型a對比驗證了其正確性。首先模型b通過線性化分析，得到系統(tǒng)的本征振動頻率和時變嚙合剛度；然后以此為基礎(chǔ)，通過非線性仿真檢查各種工作狀態(tài)(如非線性接觸和混沌運動)間的過渡；最后得到傳動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性曲線和振動特性曲線。因此該模型涵蓋了絕大多數(shù)工況，具備了良好的魯棒性，且在分析成本和精度之間取得了良好的平衡。同時在線性分析和非線性分析中分別考慮了齒的本征振動和非線性接觸，較好彌補了前人工作的不足。

1 建模及計算

1.1 齒輪級理論計算建模

對單個齒輪級進行建模，可以表征其旋轉(zhuǎn)動力學(xué)特性。建模中，齒輪的慣性特性由每個齒輪的慣性矩(Iti)及等效齒輪慣性矩(Ii)通過扭力彈簧(kti)耦合表示，其中扭力彈簧(kti)對應(yīng)于每個齒的彎曲、剪切、壓縮和齒根順應(yīng)性，當指代主動齒輪時，i的索引值為1，當指代從動齒輪時，i的索引值為2。且該彈簧帶有扭轉(zhuǎn)阻尼(cti)，它代表與上述參數(shù)相關(guān)的固有材料阻尼。同時接觸齒對通過非線性接觸力彼此耦合，用彈簧(kh)表示，齒輪級模型示意圖如圖1所示。

圖1 單齒輪級的簡化集總元素模型

在組成傳動系統(tǒng)的n個齒輪級模型中，每個齒輪級模型都包括齒輪輪轂的一對自由度(φ1和φ2)，以及每個嚙合齒對的另外一對自由度(φt1和φt2)。φi表征每個齒輪轂繞其軸線的旋轉(zhuǎn)，而φt表征每個齒輪齒繞其根部的等效旋轉(zhuǎn)。

模型中涉及的許多幾何因素，例如杠桿(Li和Lti)都是可變的，并取決于嚙合位置。為了提高計算速度，可以用主動齒輪齒的角位置(φmp)為參考變量，檢索并使用預(yù)先計算好后儲存在查詢表中因子的瞬時值。而查詢表中，存儲了從靜態(tài)到動態(tài)嚙合位置的全部幾何數(shù)據(jù)。在總共z個齒的齒輪中，第i齒的φmp=φ1+2πi-z1(從-π轉(zhuǎn)換到π)，其中單齒計算中涉及的幾何元素如圖2所示。

圖2 計算中涉及的幾何元素

最后使用C. Spitas[11]提出的數(shù)值方法確定接觸點，此方法的原理是利用二維嚙合方程的一維公式和牛頓-拉夫森迭代方案來定位兩個任意齒輪輪廓間的接觸點，并且考慮了角接觸的情況。因為如果發(fā)生明顯的齒變形，角接觸的作用則不可忽略。通過用恒定半徑條件(分別等于主動齒輪或從動齒輪的齒尖半徑)替換齒廓之間的相切條件，可以實現(xiàn)對此類情況的估算分析，以提高計算效率。

1.1.1 嚙合剛度分析計算

嚙合剛度是指齒輪嚙合時輪齒抵抗變形的能力。其基本前提是有效區(qū)分單個齒的順應(yīng)性和源自齒間嚙合界面的影響因素。

自由度φti則可作為一個區(qū)分量，根據(jù)φti得到的模型，能以簡化方式合并先前的成分。各成分中，特別需考慮到每個齒的彎曲度(Cb)、剪切力(Cs)、壓縮性(Cc)、無量綱反剛度(C)和齒根順應(yīng)性(Cf)。對于C的計算公式如下：

C=Ebδ/W

(1)

式中：E為彈性模量；b為齒寬；δ為沿作用線的相對位移；W為法向載荷。

根據(jù)ISO 6336-1標準，可使用勢能法估算每個單獨嚙合位置的Cb，Cs和Cc。而對于Cf，則可使用O'Donnel提出的分析解決方案計算[12]。

如上節(jié)所述，可將各個量組合在一個等效的扭轉(zhuǎn)彈簧kti中，該彈簧通過可變且同時與嚙合位置相關(guān)的杠桿Lti加載(如圖1)。選擇kti是為了使齒的順應(yīng)性的單自由度模型解，最接近于所有嚙合位置的解析解。對于每個單獨的嚙合位置，則可使用以下公式計算kti的等效瞬時值：

(2)

將kti與Iti結(jié)合使用既可以簡化對單齒順應(yīng)性的建模，又不會影響加載時對可變嚙合剛度特性的表達。計算結(jié)果表明，這樣既可在加載時表征時變嚙合剛度，又可在空載時表征單齒的順應(yīng)性。

對于接觸順應(yīng)性，可通過Weber和Banascheck[13]提出的分析解決方案計算。此方案不僅考慮了接觸順應(yīng)性對嚙合位置的依賴性，還考慮了運行負載，分析計算公式如下：

(3)

式中：ri(i=1,2)為嚙合齒在接觸點處的局部曲率半徑；E、v為材料的彈性特性；δ為壓痕；hi(i=1,2)為小齒輪和大齒輪齒的深度。

壓痕δ是指沿兩點之間作用線的相對位移，其分別位于小齒輪和大齒輪齒的深度hi(i=1,2)中，可以通過φmp查表確定。

對于給定的φmp，可以用空載時的預(yù)計算值為基礎(chǔ)，并根據(jù)空載接觸位置的所有角度的微小擾動來計算。將接觸位置設(shè)置為：

(φ1o,φ2o,φt1o,φt2o)=(φ1,δφ2(φmp)-rφ1,0,0)

(4)

由于φ1和φmp彼此成正比，且兩者間的相互作用已包含在預(yù)計算中，因此不必考慮φ1的擾動。故δ的瞬時值為：

δ=-{[rφ1+φ2-δφ2(φmp)]L2(φmp)+

φt1Lt1(φmp)+φt2Lt2(φmp)}

(5)

式中：r為傳動比，且r=z2/z1。

此外，δφ2表征無負載時的靜態(tài)傳動誤差，并被計算為從動齒輪的實際接觸位置與標稱接觸位置的偏差。

1.1.2 慣性特性分析計算

慣性特性可以通過兩個不同的轉(zhuǎn)動慣量(Ii和Iti)表示，每個齒輪的轉(zhuǎn)動慣量Ii都表示包括齒輪輪轂和所有齒輪齒的慣性，而每個齒的轉(zhuǎn)動慣量Iti都表示單齒相對于齒根的慣性。計算兩個轉(zhuǎn)動慣量時的重疊，使得次級慣性效應(yīng)(例如離心效應(yīng))可以忽略[14]。同時，簡化模型合并了與齒本征振動有關(guān)的影響因素，并將運動方程以簡化形式表示，即：

(6)

1.1.3 嚙合接觸分析計算

每一個齒都存在內(nèi)外兩側(cè)邊緣，故應(yīng)該對式(6)進行修正，以分別考慮兩側(cè)的不同接觸狀態(tài)。而修正方法是對相應(yīng)項求和，并為每個額外的齒對添加更多方程。此外，由于外側(cè)嚙合位置和等效驅(qū)動側(cè)嚙合位置之間具有軸向?qū)ΨQ性，故將外側(cè)接觸納入模型中，且其參數(shù)已預(yù)先計算?？梢酝ㄟ^檢查傳輸符號s的正負進行切換,相關(guān)因子s的定義為：

(7)

對于大多數(shù)齒輪級而言，因為重疊系數(shù)很少超過2，所以僅需考慮已經(jīng)嚙合或最接近嚙合位置的三個齒對；同理所考慮的主動齒輪的齒角位置(φmp)也應(yīng)是嚙合齒對的左右相鄰齒對預(yù)計算出的接觸位置與輪心連線的夾角。其中兩齒對間接觸線對應(yīng)的變槳點(φ1p)，可以通過比較sφmp和φ1p來判斷，即可確定接觸位置。綜上所述，接觸位置可使用以下運動方程組簡化計算：

(8)

主動齒輪齒與從動齒輪齒是根據(jù)它們相互接觸的接近程度來配對，故式(8)可進一步用下式表示：

(9)

基于以上定義可以表征齒輪的嚙合齒對隨齒輪級的旋轉(zhuǎn)而變化，而這種變化的實質(zhì)是：

(1) 從一個齒對緊密嚙合，到另一對代替它。

(2) 開關(guān)量s變化，使嚙合齒對的嚙合側(cè)(接觸位置)發(fā)生的轉(zhuǎn)變。

1.1.4 單齒的本征振動及阻尼分析

齒的本征振動表征齒在受到外界持續(xù)傳動力作用產(chǎn)生的瞬態(tài)自由振動，齒在正?；虍惓顟B(tài)下都會產(chǎn)生本征振動。齒的本征振動與齒的材料、嚙合剛度、慣性特性及形狀尺寸密切相關(guān)，其中受齒材料特性的影響最大，常用材料的阻尼予以表征。

材料的阻尼往往以兩種機制出現(xiàn)。一種阻尼機制通常被模擬為旋轉(zhuǎn)阻尼元件cti與旋轉(zhuǎn)彈簧kti的串聯(lián)放置，該機制表征單齒本征振動中固有的材料阻尼。其中阻尼比可由下式計算：

(10)

對于鋼齒輪可以查表得阻尼比ζ=10-4[15]。

另一種阻尼機制則表征每當一個新齒對進入潛在的嚙合區(qū)域時，雖然沒有開始振動，但仍被賦予振動初始條件的現(xiàn)象。

式(10)反映了一個物理事實，即僅在高速齒輪傳動系統(tǒng)中，單齒的本征振動才會被覆蓋，而在中低速齒輪系統(tǒng)中則不可忽略。在新模型中，阻尼應(yīng)該被限制在允許穩(wěn)態(tài)響應(yīng)發(fā)生的范圍內(nèi)，以避免系統(tǒng)阻尼過大，掩蓋非線性接觸和混沌行為。

1.1.5 線性化分析計算

即使提出的模型為高度非線性化模型，但通過導(dǎo)出等效的線性系統(tǒng)，對于檢查系統(tǒng)的本征振動特性并確定與非線性分析相關(guān)的許多因素(例如采樣率或總模擬時間)都不可或缺[16]。運動方程的線性化是基于以下假設(shè)進行的：

(1) 在嚙合側(cè)持續(xù)接觸。

(2) 假定額定載荷恒定，用于計算接觸順應(yīng)量。

(3) 只考慮了兩對齒，其中一對在變槳點接觸，而另一對不接觸。這兩對分別說明了齒輪齒的加載和卸載行為，因此整個齒輪級可由6自由度線性系統(tǒng)表示。

基于這些假設(shè)，可以將運動方程式(9)簡化為：

(i=1,2)

(11)

(12)

在計算非接觸齒對時，將f(δ)=W0= 0且kh=0代入δ并減少等價項后，獲得6×6的剛度、阻尼和質(zhì)量矩陣，并將運動方程簡化為線性形式為：

(13)

式中：x=[φ1φt11φt21φt12φt22φ2]T

1.2 傳動系統(tǒng)動力學(xué)建模

除了完整的齒輪級模型外，還應(yīng)考慮其他零部件因素的影響，從而保證建成能夠預(yù)測包含所有對傳動系統(tǒng)響應(yīng)特性有影響因子的分析計算模型。因此，還需對軸和飛輪的扭轉(zhuǎn)動力特性進行了建模。對于軸，可以用單軸的單因素扭轉(zhuǎn)有限元分析來表征，并在其中結(jié)合質(zhì)量、阻尼和彈性特性。就阻尼而言，對于每根軸的本征量，通常選擇2%的阻尼比[17]。此值是指一個隔離的軸(即未考慮附加到其上的其他建模元素，如齒輪級和飛輪等)的阻尼比。對于飛輪則使用其慣性矩進行建模即可。

2 分析結(jié)果

所建立的集總元素模型，可用于預(yù)測圖3中描述的典型中等功率傳動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)特性。

圖3 仿真系統(tǒng)的示意圖

該系統(tǒng)的電機被建模為施加在輸入軸、齒輪級、輸出軸和飛輪上的角速度源，并在其上施加了反向扭矩。為了進一步研究單齒本征振動對其響應(yīng)特性的影響，則提出了原系統(tǒng)的兩種變體。在第一個變體中，使用具有大量小尺寸齒的齒輪(多齒傳動系統(tǒng)A)，而在第二個變體中，將齒輪齒數(shù)減少而齒的尺寸增大(少齒傳動系統(tǒng)B)。但兩個變體所選擇的齒輪都必須符合下列4個條件：

(1) 兩種變體傳動系統(tǒng)的傳動比相同。

(2) 在兩種情況下，等效齒輪的齒輪慣性實際上都相同，且齒端半徑在2%的誤差范圍內(nèi)相同。

(3) B的輸入齒輪的齒數(shù)應(yīng)在17～20之間。

(4) A的模數(shù)范圍為1.5～2.5 mm，B的模數(shù)范圍為3.5～5 mm。

這組條件既保證兩個傳動系統(tǒng)具有明顯不同的輪齒動力學(xué)特性，又保證了兩個傳動系統(tǒng)的動力學(xué)等效性。兩系統(tǒng)齒輪設(shè)計參數(shù)如表1～4所列。

表1 齒輪參數(shù)

表2 齒輪共有的材料屬性

表3 飛輪參數(shù)

表4 軸的通用參數(shù)

2.1 靜態(tài)分析

對結(jié)果的靜態(tài)分析是為了驗證為網(wǎng)格劃分一致性而提出的分析公式的正確性。

盡管在參考文獻中廣泛使用了文中使用的方程式，但幾乎沒有文獻研究類似于少齒傳動系統(tǒng)B的，具有低齒數(shù)齒輪的齒輪級。在這種情況下，將少齒傳動系統(tǒng)B的順應(yīng)性分析結(jié)果與從有限元模型獲得的結(jié)果進行比較，以驗證對其進行理論分析公式的正確性。

為了直接與分析結(jié)果進行比較，有限元模型是基于平面應(yīng)變建立的二維模型，且假設(shè)系統(tǒng)僅有齒對之間發(fā)生接觸，并使用節(jié)點到邊緣檢測算法來模擬齒接觸。同時檢查了整個嚙合位置范圍內(nèi)施加在齒輪上的支撐和負載，其中包括在主動齒輪內(nèi)表面上的固定支撐以及在從動齒輪的內(nèi)表面上的圓柱支撐和扭矩。圖4展示了典型嚙合位置的幾何形狀、網(wǎng)格和支撐。并分別對接觸齒對(左下)和接觸區(qū)域(右下)的網(wǎng)格進行了細化。

圖4 傳動系統(tǒng)B的有限元幾何形狀和網(wǎng)格

有限元分析的結(jié)果可通過下式提取等效值：

(14)

式中：ut為輸出齒輪嚙合表面上點的切向變形。

由于接觸順應(yīng)性存在非線性行為，所以總順應(yīng)性隨施加負載變化而變化，該變化遵循對數(shù)趨勢，如圖5所示。由圖5可得，有限元分析與理論分析結(jié)果之間的偏差有限，對于1 Nm曲線中最右邊的點，最大值為8.3%。除這些點外，所有三個曲線均遵循相似的偏差模式，由有限元結(jié)果可預(yù)測到，在靠近變槳點的嚙合位置處的順應(yīng)性值略微升高，而在靠近嚙合區(qū)域的邊緣處的順應(yīng)性值略微降低。此外，在提高輸出轉(zhuǎn)矩時，兩種方法都收斂且得到更相近的結(jié)果。這表明，產(chǎn)生這種差異的潛在原因是接觸剛度公式在兩種方法中不同。在非線性有限元分析中可得，接觸剛度受接觸區(qū)域網(wǎng)格密度的影響?？傮w而言，理論計算分析的結(jié)果與有限元分析結(jié)果之間的偏差較小，這表明即使對于低載少齒傳動系統(tǒng)B，使用理論分析公式進行建模分析也合理。

圖5 三種輸出扭矩下動力總成B的理論分析和有限元分析結(jié)果對比圖

2.2 線性動態(tài)分析

動態(tài)分析是圍繞系統(tǒng)的本征行為進行。通過將描述軸的線性矩陣與描述系統(tǒng)行為的線性矩陣相結(jié)合，可以創(chuàng)建等效的剛度和質(zhì)量矩陣。所得的阻尼本征值和未阻尼本征向量以圖形形式表示。圖6是當施加載荷為100 Nm(非線性分析中檢查的最大負載)時傳動系統(tǒng)A的圖形形式表示。

圖6 傳動系統(tǒng)A的線性化系統(tǒng)的無阻尼特征向量矩陣圖

圖6中，每條線的長度代表等效的元素大小，而深淺不同的線顏色代表相反的元素符號。線長通過平方根函數(shù)進行了歸一化處理，因此可以表征影響較小的因素，且本征振動頻率值對應(yīng)于系統(tǒng)阻尼比。

在傳動系統(tǒng)A的線性化系統(tǒng)無阻尼特征向量矩陣的基礎(chǔ)上，使用式(15)進行減少自由度優(yōu)化，并再次進行分析后，得到動力傳動系統(tǒng)B的線性化系統(tǒng)的無阻尼特征向量矩陣如圖7所示。

圖7 傳動系統(tǒng)B的線性化系統(tǒng)的無阻尼特征向量矩陣圖

(15)

2.3 非線性動力學(xué)仿真分析

非線性分析是通過使用二次開發(fā)的Matlab和Simulink代碼，并模擬各種情況下的傳輸響應(yīng)來進行。其過程首先是使用帶有Matlab函數(shù)的功能塊根據(jù)理論分析公式進行非線性運算，例如求解式(3)。然后分別將運動方程式(9)和(11)進行重構(gòu)，并在Simulink中實現(xiàn)，最終用ode45求解器集成。整個分析檢查了包括線性分布在600～6 000 r/min之間的10個隨機輸入轉(zhuǎn)速值和對數(shù)分布在1～100 Nm之間的10個隨機輸出扭矩值組合得到的100種不同的情況。在兩種模型中檢查了所有情況，一種使用了完整的非線性運動方程組(9)(模型a)，另一種使用簡化的非線性運動方程組(11)(模型b)。在簡化模型b中使用了線性化分析得到的時變嚙合剛度值，并簡化分析了齒的慣性特性。同時其根據(jù)靜力分析和φ2的值從靜態(tài)平衡條件得出齒角值，最終使齒角值成為因變量而非自由度。該簡化模型b普遍適用于確定齒慣性建模對模擬響應(yīng)的影響。

2.3.1 仿真分析參數(shù)

利用線性動態(tài)分析可以估算用于非線性分析的數(shù)值參數(shù)，如采樣率、采樣時間和總模擬時間等。

首先根據(jù)Nyquist-Shannon定理，并考慮到基于線性分析，則最大本征振動頻率為200 kHz，采樣率為1000 kHz。

再根據(jù)線性化系統(tǒng)特征頻率值，選擇數(shù)據(jù)輸出的采樣時間。最低本征振動頻率為500 Hz，最低激勵頻率是最低轉(zhuǎn)速時的嚙合頻率fmes·hmin=140 Hz。由于獲得了10 Hz的分辨率，因此采樣時間取0.1 s就足夠用于光譜分析了。

最后確定總的仿真時間，以保證所有瞬態(tài)響應(yīng)現(xiàn)象在輸出數(shù)據(jù)導(dǎo)出之前都完全發(fā)生，并被記錄。盡管已對初始條件進行了校準，以使齒對處于接觸狀態(tài)，并且所有組件的角速度都已同步，但即使穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是周期性的，也沒有確定標準來確定瞬態(tài)響應(yīng)的結(jié)束。因此，必須增加間隔時間以保證能將輸出數(shù)據(jù)中觀察到的所有非周期性現(xiàn)象都表征出來。根據(jù)通過線性分析計算出的穩(wěn)定時間，設(shè)定總時間為所有特征值的最大穩(wěn)定時間的10倍，即10 s。

2.3.2 仿真分析結(jié)果

考慮到在大量不同場景的普適性，則主要通過使用彩色圖形來檢查仿真結(jié)果，以便更容易識別各區(qū)域中的不同響應(yīng)和特征。該分析的主要目標是根據(jù)常見響應(yīng)特征，將響應(yīng)分為多個類別，并進行分布分析。因為系統(tǒng)長期的接觸磨損與混沌響應(yīng)的出現(xiàn)息息相關(guān)，所以輪副的齒之間存在的不間斷接觸成為了檢測最頻繁的特征項。將工作區(qū)域劃分為恒定接觸區(qū)和間歇接觸區(qū)，僅能粗略地表示傳動系統(tǒng)的工作狀態(tài)；為了進一步了解傳動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，則需檢查更多有代表性的響應(yīng)，這時便通過使用相位圖表述來解決。相位圖是根據(jù)輸出齒輪的旋轉(zhuǎn)相對角度定義的，即te=rφ1+φ2，其本質(zhì)上描述了主動齒輪和從動齒輪齒的相對位置。本次仿真總共確定了6種不同的響應(yīng)類型，且每種響應(yīng)類型表現(xiàn)出的特征及其分布如下所述。

(1) 類型1：連續(xù)接觸，呈邊界清晰的橢圓形凸瓣狀，振動不明顯，接觸損耗小。

類型1的響應(yīng)特征是齒輪之間僅存在連續(xù)接觸，且在相位圖中收斂得到一個具有兩個不同區(qū)域的極限循環(huán)，而這兩個區(qū)域分別表示單齒和雙齒接觸，如圖8和9所示。圖8的運行條件為21.5 Nm,600 r/min。圖9的運行條件 59.9 Nm,600 r/min。

圖8 傳動系統(tǒng)A的a型1類響應(yīng)特性

圖9 傳動系統(tǒng)B的b型1類響應(yīng)特性

由相位圖上可觀察可得：兩個區(qū)域通常都是具有清晰邊界的橢圓形凸瓣狀，同時還存在相當細微的形狀細節(jié)。由于較低的嚙合剛度允許較高的齒變形值，因此會產(chǎn)生傳動誤差，所以用于單齒接觸的區(qū)域應(yīng)位于等效的雙齒接觸區(qū)域的右側(cè)。對于此類響應(yīng)，其極端情況則常出現(xiàn)在單齒接觸區(qū)域的左邊界和雙齒接觸區(qū)域的右邊界。由接觸振動圖觀察可得：振動模式較為有序且微弱。

(2) 類型2：連續(xù)接觸，邊界存在明顯干擾的成花瓣狀，振動不明顯，接觸損耗小。

類型2的是類型1的變體，主要區(qū)別是單齒和雙齒接觸凸角的相對位置，如圖10和11所示。圖10的運行條件 21.5 Nm,1200 r/min。圖11的運行條件為： 59.9 Nm,1800 r/min。

圖10 傳動系統(tǒng)A的a型2類響應(yīng)特性

圖11 傳動系統(tǒng)B的b型2類響應(yīng)特性

在類型2中，凸角靠得更近，它們的邊界之間存在明顯干擾，以至于在傳動誤差值與單齒或雙齒接觸之間不存在一對一的等價關(guān)系。但是單齒接觸凸角的位置比雙齒接觸凸角更靠右。其余與類型1保持一致。

(3) 類型3：以連續(xù)接觸為主，夾雜間歇接觸，振動不明顯，接觸損耗較小。

類型3的響應(yīng)是類型2的極端情況，其相位圖呈交叉的雙環(huán)狀，且邊界處存在明顯干擾。類型3在B中出現(xiàn)幾率更高且更具代表性，因此針對性以傳動系統(tǒng)B的相位圖予以表征。如圖12所示。圖12的運行條件 32 Nm,2800 r/min。

圖12 傳動系統(tǒng)B的a型3類響應(yīng)特性

就連續(xù)接觸間隔的數(shù)量和每個單獨間隔的持續(xù)時間而言，接觸損失的程度仍然受到限制。從質(zhì)量上講，與類型2相比，具有接觸損耗區(qū)域的傳動誤差值范圍更小的特點。就單齒和雙齒接觸凸角而言，它們的相對位置更加偏移，在極端情況下，兩個凸角均在其左端接觸，出現(xiàn)了失去接觸的情況。就振動而言，相比于響應(yīng)類型1和2更小。

(4)類型4 以間歇接觸為主，夾雜連續(xù)接觸，振動明顯，接觸損耗大。

因為大量的接觸損耗會導(dǎo)致振動模式和整體行為的混亂，所以此類型的響應(yīng)很少出現(xiàn)。而在本研究中，這種響應(yīng)類型也僅在動力總成B輸入轉(zhuǎn)速為2 400 r/min左右時出現(xiàn)，如圖13所示。圖13的運行條件為12.9 Nm,2400 r/min。

圖13 傳動系統(tǒng)B的b型4類響應(yīng)特性

該類響應(yīng)的特點為：雖振動模式明顯，但在較大的區(qū)域里嚙合方式為間歇接觸嚙合。在仔細分析振動模式時發(fā)現(xiàn)，只要激勵頻率不變，則該振動模式則不會隨載荷而變化；又因為齒的本征振動頻率也不會隨負載而變化，所以可推得響應(yīng)類型4的振動頻率與齒的本征振動頻率存在諧振。受接觸損耗和恢復(fù)時間的影響，在加載和未加載的系統(tǒng)中，各齒的本征振動頻率之間都存在特定的耦合關(guān)系。

(5) 類型5：間歇性接觸，沒有兩側(cè)接觸，振動不明顯，接觸損耗大。

類型5是最常見的喀噠聲狀反應(yīng)類型，通常表現(xiàn)為接觸力的明顯減少和混沌反應(yīng)的充分發(fā)展，如下圖14和15所示。圖14的運行條件為 4.64 Nm，1 800 r/min；且為了表達清楚，僅描繪了有限數(shù)量的嚙合循環(huán)。圖15的運行條件為 7.74 Nm，5 400 r/min；且為了表達清楚，僅描繪了有限數(shù)量的嚙合循環(huán)。

圖14 傳動系統(tǒng)A的a型5類響應(yīng)特性

圖15 傳動系統(tǒng)B的b型5類響應(yīng)特性

接觸損耗的特性是大多數(shù)接觸損耗間隔都很短。通常，因為兩個齒輪的這種不規(guī)則的解耦和重新耦合阻止了有序振動模式的發(fā)展，傳動誤差值的區(qū)域比發(fā)生接觸的區(qū)域小得多，所以非接觸間隔的這種不規(guī)則分布表征了混沌響應(yīng)。

(6) 類型6：間歇性接觸，有兩側(cè)接觸，接觸損耗大，振動模式不明顯，

類型6是類型5的變體，相比于類型5，其只是發(fā)生了雙側(cè)接觸現(xiàn)象，如圖16所示。圖16的運行條件為 12.9 Nm,2 400 r/min。

圖16 傳動系統(tǒng)A的a型6類響應(yīng)特性

外側(cè)接觸出現(xiàn)表明，系統(tǒng)的振動幅度增大。由于在傳動系統(tǒng)B中，待嚙合的齒之間存在較大的間隙，所以只能在齒數(shù)大到存在三個齒對同時接觸時，兩側(cè)側(cè)接觸這種持續(xù)時間不會超過總接觸時間5%的現(xiàn)象才可能出現(xiàn)，因此通常認為兩側(cè)接觸僅出現(xiàn)在傳動系統(tǒng)A中。

綜上所述，上述分析已經(jīng)以一種特定的相位定義了6種常見響應(yīng)類型，以便寬泛對應(yīng)于從有序的連續(xù)接觸響應(yīng)到混亂的間歇接觸響應(yīng)的逐漸過渡。通過這些響應(yīng)類型在操作方面的分布，可以更好地看到這種過渡，如圖17、18所示。

圖17 傳動系統(tǒng)A在理論計算模型的響應(yīng)類型分布

圖18 傳動系統(tǒng)B在理論計算模型的響應(yīng)類型分布

針對傳動系統(tǒng)A，在低速重載時，類型1和2相連且類型3廣泛的分布在其周圍，組成了一個較大的連續(xù)接觸區(qū)域1；在高速或低載時，類型5和6連續(xù)且相互穿插的分布在剩余區(qū)域形成間歇性接觸區(qū)域2；整個圖中沒有出現(xiàn)響應(yīng)類型4；且非線性化建模確定了原本模糊的區(qū)域1和2之間的邊界。同時結(jié)合圖8～17進行分析可推得：一方面，在非超高速時，連續(xù)接觸仍為主要的接觸方式，接觸損耗極小。另一方面，由于系統(tǒng)本征振動頻率對外部負載沒有依賴性，所以輸入轉(zhuǎn)速和邊界載荷之間沒有一一對應(yīng)的關(guān)系。

和傳動系統(tǒng)A相比，傳動系統(tǒng)B的特征是：由于嚙合參數(shù)的改變，例如重疊系數(shù)的降低，導(dǎo)致間歇接觸增多且接觸損耗增大，雖然類型3響應(yīng)數(shù)量少量增加，補償了連續(xù)接觸區(qū)域1的減小，但隨著類型1和2的大量減少，連續(xù)接觸區(qū)域1的尺寸總體上還是趨于減小。此外，傳動系統(tǒng)B在2 400 r/min的負載范圍內(nèi)產(chǎn)生了罕見的響應(yīng)類型4。這些間歇接觸和高接觸損耗響應(yīng)類型的大量出現(xiàn)表明，傳輸?shù)呐R界頻率不僅與混亂的響應(yīng)相關(guān)，而且與單齒的本征振動頻率相關(guān)。

比較傳動系統(tǒng)A和傳動系統(tǒng)B的分析結(jié)果可推得：在這兩種情況下，如果不考慮齒的慣性，連續(xù)接觸區(qū)域1的面積都會因響應(yīng)類型3的少量增加而增大。但是在傳動系統(tǒng)A中的增加量微乎其微，而在傳動系統(tǒng)B中的增加量則比較明顯。該結(jié)果表明：齒輪級中齒輪的單齒尺寸和慣性越大，則本征振動頻率和其他相關(guān)振動對齒輪級的接觸響應(yīng)特性和能耗影響越大。

2.4 計算模型對比驗證

如圖17、18所示，以多齒傳動系統(tǒng)A和少齒傳動系統(tǒng)B為載體，分別使用全要素理論計算模型a和簡化計算模型b進行分析計算，經(jīng)過對比可得：兩個計算模型響應(yīng)類型分布結(jié)果相近，差異主要零星的出現(xiàn)在特定的高速重載區(qū)域；而全要素計算模型a是引用參考文獻[7]的數(shù)值計算模型，并增加非線性仿真得到，其正確性既已經(jīng)被前人驗證，又在本文2.1中進行了再次驗證，因此可以間接證明簡化計算模型b的正確性。

3 結(jié) 論

文中創(chuàng)新性的建立了一種對齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)及接觸振動特性進行分析的簡化計算模型。新模型首先通過對齒對嚙合的接觸特性、嚙合剛度、接觸位置、阻尼和慣性特性進行綜合性的線性化和非線性化優(yōu)化分析，得到了嚙合齒對間的相位和接觸特性，再根據(jù)嚙合齒對間的相位和接觸特性，對響應(yīng)類型進行了分類，并對各響應(yīng)類型的特點和分布進行了詳盡的闡述。其中所有響應(yīng)類型都充分考慮到了單齒本征振動的影響。

新模型創(chuàng)新性的研究了具有低齒數(shù)的齒輪傳動系統(tǒng)B，并與常規(guī)多齒數(shù)傳動系統(tǒng)A進行了對比。此外，還在使用了完整運動方程式的全要素計算模型a的基礎(chǔ)上簡化得到了使用不包含齒的慣性和動力學(xué)方程式的簡化計算模型b，并最終通過對a和b的線性和非線性建模分析對比，證明了簡化計算模型b的正確性。并且在分析過程中證明，簡化計算模型b的計算速度相比于全要素計算模型a提升了6.8%，即計算成本下降6.8%。

前人的線性化仿真模型并未充分考慮非線性情況。而新模型包含非線性仿真，并顯示出了豐富的非線性響應(yīng)特性，即連續(xù)接觸區(qū)域和間歇接觸區(qū)域間的邊界幾何形狀。且其因為受單齒本征振動的影響而變得極其復(fù)雜，致使傳動系統(tǒng)在輸入轉(zhuǎn)速和邊界載荷之間沒有一一對應(yīng)的關(guān)系。