王 俊，黃 依，黃坤榮

（南華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖南衡陽(yáng) 421001）

0 引言

建筑通風(fēng)功能主要有滿足室內(nèi)人體基本生理需求、排出室內(nèi)污染物、消除室內(nèi)余熱的功能，合理的建筑設(shè)計(jì)可以利用自然通風(fēng)實(shí)現(xiàn)上述功能，從而達(dá)到節(jié)能減排的目的，CFD技術(shù)的發(fā)展使其成為了研究自然通風(fēng)的重要技術(shù)手段之一。作為在大氣環(huán)境下的CFD模擬，RANS往往都不能得到精準(zhǔn)的計(jì)算結(jié)果[1－2]，其原因是大氣的湍流表現(xiàn)十分復(fù)雜且隨機(jī)，盡管使用了LES技術(shù)，但是仍然面對(duì)著如何構(gòu)造自然風(fēng)的難點(diǎn)，營(yíng)造出來(lái)的自然風(fēng)需要體現(xiàn)出大氣湍流的特性，這絕非易事。

LES合成入口邊界條件主要分為前驅(qū)模擬和人工合成湍流兩種方式。前驅(qū)模擬主要利用周期性循環(huán)或者將發(fā)展好的湍流流場(chǎng)應(yīng)用在入口做為邊界條件，但耗費(fèi)的資源比較多，人工合成湍流技術(shù)不需要多余的計(jì)算代價(jià)，已經(jīng)得到了充分的研究。從原理上來(lái)區(qū)別它們有：（1）正交分解法（POD）；（2）合成渦流法（SEM），經(jīng)改進(jìn)后已經(jīng)被應(yīng)用在了多種情況[3－6]；（3）湍流能譜法。前幾種方法都不能較好地反映大氣湍流特性，對(duì)于大氣環(huán)境下的模擬，湍流能譜法可以從大氣能譜來(lái)構(gòu)造湍流，因此具有較好的精度。

1 湍流能譜法

基于一個(gè)給定的湍流場(chǎng)，可以用一定數(shù)量的正余弦函數(shù)疊加而來(lái)，Kraichnan[7]最早進(jìn)行了相關(guān)研究，提出了用能譜來(lái)構(gòu)造速度場(chǎng)，并定義了一個(gè)速度場(chǎng)，其表達(dá)式如下：

當(dāng)流體為不可壓縮時(shí)，考慮到連續(xù)性方程的約束條件，還需要滿足以下關(guān)系：

式中：矢量ζn和ξn為在三維或者二維的高斯分布中獨(dú)立選取的；kn為各項(xiàng)同性分布在隨機(jī)球表面的矢量。

kn值的不同對(duì)應(yīng)了4個(gè)典型的能譜：

式中：k0為隨機(jī)球的半徑；v0為均方根的速度。

當(dāng)kn為各項(xiàng)同性分布在隨機(jī)球表面時(shí)，遵循E1和E3譜，當(dāng)kn為從標(biāo)準(zhǔn)差為k0/2、k0/30.5的高斯分布中選取時(shí)，遵循E2和E4譜。

2 改進(jìn)后的能譜法

2.1 RFG法

Random Flow Generation（RFG）由Smirnov[8]提出，該方法考慮了湍流長(zhǎng)度尺度和時(shí)間尺度，并將它們納入了速度合成公式中，提高了與空間的相關(guān)性。其湍流生成技術(shù)分為以下幾個(gè)步驟。

（1）尋找一個(gè)正交變換張量aij，使得給定的各項(xiàng)異性速度相關(guān)張量rij對(duì)角化：

（2）構(gòu)造一個(gè)中間速度ui，其是正弦和余弦函數(shù)的和，且具有隨機(jī)的相位和振幅。

（3）合成速度場(chǎng):

式中：l和τ分別為湍流的長(zhǎng)度和時(shí)間尺度，可以根據(jù)湍動(dòng)能k和耗散率ε得到，通?？梢圆捎脤?shí)驗(yàn)或DNS來(lái)獲得它們；εijm為向量積運(yùn)算中使用的排列張量；N（M，σ）為平均值為M、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布；knj和ωn分別為樣本波數(shù)矢量n和湍流能譜的頻率。

使用的能譜為：

對(duì)上一步生成的速度場(chǎng)進(jìn)行正交和縮放操作來(lái)合成脈動(dòng)速度，由此可以確定合成的湍流場(chǎng)中湍動(dòng)能k的大小。

RFG法生成的流場(chǎng)是無(wú)發(fā)散的，這也是不可壓縮流中連續(xù)性方程的約束條件，對(duì)于均勻和非均勻的流場(chǎng)高階無(wú)發(fā)散。該技術(shù)由于其合成方法簡(jiǎn)單、便于實(shí)現(xiàn)的特性已經(jīng)被加入到了Fluent軟件中。同樣RFG的缺點(diǎn)也十分明顯，將l的值取為湍流長(zhǎng)度尺度并不能反映出良好空間的相關(guān)性，并且其采用的湍流能譜遵循高斯分布，然而高斯譜模型忽略了慣性子程和耗散子程中的能量，在實(shí)際中的大氣能譜的含能子程中包含了大量的湍流能量[8]，這意味著RFG法的計(jì)算結(jié)果不能反映真實(shí)的流場(chǎng)情況。

2.2 DSRFG法

為了解決上述問(wèn)題，在RFG法的基礎(chǔ)上所改進(jìn)的湍流能譜法有Discretizing and Synthesizing Random Flow Generation(DSRFG)[9]、Modified discretizing and Synthesiz?ing random Flow Generation(MDS－RFG)[10]、Consistent DSRFG(CDSRFG)[11]，后兩種方法都是基于DSRFG的一些修正，MDSRFG對(duì)DSRFG的時(shí)空相關(guān)性進(jìn)行了更新，并添加了修正參數(shù)來(lái)再現(xiàn)時(shí)間相關(guān)性；DSRFG生成的脈動(dòng)速度的相干性與實(shí)際大氣邊界層數(shù)據(jù)不一致，利用相干函數(shù)對(duì)長(zhǎng)度尺度進(jìn)行了修正，并更新了DSRFG的頻率，此方法為CDSRFG。這里重點(diǎn)討論的是它們改進(jìn)依據(jù)的原方法本體DSRFG法。

DSRFG由Huang[9]提出，該方法是對(duì)RFG法的重大改進(jìn)，新添加了對(duì)齊和重新映射的操作，不僅提出了新的速度合成公式，并且對(duì)以往的參數(shù)進(jìn)行了新的定義。該方法生成的速度場(chǎng)為：

式中：a為均勻分布在0～1的隨機(jī)數(shù)；ζ和ξ為從N（0，1）中隨機(jī)獨(dú)立選取的ζ和ξ的隨機(jī)矢量；N（μ，σ）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ；km,n為波數(shù)；E(km)為湍流能譜；km為km,n隨機(jī)分布的球的半徑即Ls為湍流積分尺度。

各向異性的湍流速度場(chǎng)合成如下。

km,n需要隨空間條件不斷變換，Huang提出在確定km,n之間，先將pm,n、qm,n能譜沿著主軸對(duì)齊，可以使得其分布重新映射在半徑為km的球面上。對(duì)于給定的能譜E(km)，pm.n和qm.n由如下公式合成：

km,n遵循以下關(guān)系式：

該方法生成的速度場(chǎng)嚴(yán)格無(wú)發(fā)散，具有良好的空間相關(guān)。Rixin Yu[12]指出盡管上述的幾種方法可以解釋各向異性，但是空間變化太大導(dǎo)致的不均勻性仍然沒(méi)有得到很好處理。在不能保證入口邊界條件滿足無(wú)發(fā)散約束時(shí)，結(jié)果精準(zhǔn)度會(huì)受到影響。

3 新方法推導(dǎo)

根據(jù)Rixin Yu的研究[12]，若??u＝0，則速度場(chǎng)u可以寫(xiě)成勢(shì)函數(shù)形式：u＝?×ψ，對(duì)勢(shì)函數(shù)采用Huang的形式重寫(xiě)：

則:

代入得:

其他各個(gè)方向速度同理可以得到，因此最終速度為:

設(shè)：

式中：rm,n為垂直于km,n的單位隨機(jī)向量；km為km,n隨機(jī)分布的球的半徑即| km,n|。

則有：

得到的各向同性、空間均勻分布由勢(shì)函數(shù)得到的速度場(chǎng)滿足指定的湍流能譜及湍流能量?？偨Y(jié)起來(lái)公式如下：

式中：ζm,n為均勻分布單位球上的隨機(jī)向量。

對(duì)于各向異性湍流，之前的方法直接改變了各個(gè)方向的湍流能譜，也就是式（1）中pm,n和qm,n的方向，這會(huì)使得??u≠0。在上述方法中，pm,n和qm,n的方向平行于ζm,n。為了得到相應(yīng)的脈動(dòng)速度分量，可以使得：

對(duì)于非均勻湍流，假設(shè)式（17）中Vm,n和Wm,n改為垂直方向非均勻分布，則有：

此時(shí)速度場(chǎng)為:

4 渠道流驗(yàn)證

為了體現(xiàn)DSRFG和VPDRFG生成的湍流場(chǎng)差異，分別使用它們生成的湍流場(chǎng)作為渠道流LES計(jì)算的入口條件，初始脈動(dòng)量大小由DNS計(jì)算獲得[13]，如圖1所示，能譜選擇修正后的Von－Karman譜，詳細(xì)可以參考[14]。

圖1 渠道流中各個(gè)方向速度脈動(dòng)量在空間上的分布Figure1 Spatial distribution of velocity pulsation in all direc?tions in channel flow

4.1 計(jì)算模型的網(wǎng)格

對(duì)近壁面處使用了網(wǎng)格加密，如圖2所示。DNS計(jì)算結(jié)果中各個(gè)方向速度脈動(dòng)量在垂直流動(dòng)方向上的分布，δ為槽道的半高。本次計(jì)算分別以實(shí)驗(yàn)結(jié)果代入不同離散譜方法作為槽道流計(jì)算的入口邊界，近壁面網(wǎng)格y＋值小于1，不使用壁面函數(shù)。

圖2 渠道流網(wǎng)格Figure2 Grid of channel flow

4.2 LES計(jì)算求解

應(yīng)用開(kāi)源軟件OpenFOAM進(jìn)行LES計(jì)算，為了便于計(jì)算，采用可壓縮流LES模型－kEqn（一方程渦粘模型），Ce＝1.048，Ck＝0.026 54，Cs＝0.065，壓力項(xiàng)使用GAMG求解，時(shí)間項(xiàng)的離散使用Backward（瞬態(tài)二階隱性），其他項(xiàng)采用均二階精度。時(shí)間步長(zhǎng)為0.004 s，一共進(jìn)行了12 000步LES計(jì)算。

4.3 結(jié)果討論

圖3所示為在Q＝200時(shí)，DSRFG與新方法生成的湍流場(chǎng)的差異，可以看出新方法產(chǎn)生了更多的渦結(jié)構(gòu)，在計(jì)算時(shí)間相同時(shí)，DSRFG內(nèi)的流場(chǎng)發(fā)展緩慢，新方法可以更快地重現(xiàn)入口湍流，這意味著使用新方法計(jì)算時(shí)可以花費(fèi)更少的總時(shí)間步長(zhǎng)，節(jié)約計(jì)算機(jī)成本。

圖3 DSRFG與新方法的渦結(jié)構(gòu)的比較Figure3 Comparison between DSRFG and vortex structure of the new method

5 結(jié)束語(yǔ)

LES技術(shù)已經(jīng)成為了研究建筑通風(fēng)的重要技術(shù)手段，常見(jiàn)的RANS模型由于其“平均”的特性，根本無(wú)法得到真實(shí)大氣環(huán)境下的流場(chǎng)情況。本文通過(guò)勢(shì)函數(shù)特性對(duì)DSRFG法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了新的方法，該方法嚴(yán)格遵守?zé)o發(fā)散約束，并且通過(guò)渠道流案例比較了它們生成的湍流場(chǎng)的差異。結(jié)果表明新方法可以更快地重現(xiàn)湍流，與以往的方法相比，更適用于LES計(jì)算。