李 陽(yáng)，武之劍，朱學(xué)斌，李浩鵬

（泰安航天特種車有限公司，山東泰安 271000）

0 引言

特種汽車一般采用主減速器和輪邊減速系統(tǒng)兩級(jí)減速來(lái)適應(yīng)低速、高扭等復(fù)雜工作環(huán)境下的使用要求。輪邊減速系統(tǒng)作為簧下組件，其受力環(huán)境更為復(fù)雜。

齒輪系統(tǒng)的模型根據(jù)研究?jī)?nèi)容不同有多種分類，如動(dòng)載系數(shù)模型、齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型、傳動(dòng)系統(tǒng)模型和完整齒輪系統(tǒng)模型[1－4]。扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型因其更簡(jiǎn)易的計(jì)算方法，常被用于齒輪的傳動(dòng)軸較大和軸承對(duì)齒輪支撐較大的齒輪進(jìn)行建模。本文以汽車輪邊減速系統(tǒng)齒輪為研究對(duì)象，建立單級(jí)齒輪動(dòng)力學(xué)模型，基于Runge－Kutta法編程求解，分析單級(jí)齒輪的傳動(dòng)力學(xué)特性，為復(fù)雜環(huán)境下特種汽車輪邊減速系統(tǒng)性能設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

1 建立動(dòng)力學(xué)模型

將圖1所示的輪邊減速系統(tǒng)齒輪副簡(jiǎn)化為圖2所示的受力簡(jiǎn)圖。其中r1、r2分別為主、從齒輪的基圓半徑；I1、I2分別為主、從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ1、θ2分別為主、從動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)角位移；T1、T2分別為作用在主、從動(dòng)齒輪上的扭矩；k(τ)為時(shí)變嚙合剛度；Cg為齒輪副的嚙合阻尼；e(τ)為輪齒副的嚙合綜合誤差。

根據(jù)牛頓第二定律可以得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組：

定義主、從動(dòng)齒輪沿著嚙合線上位移的分別為x1、x2，則：

兩個(gè)嚙合齒輪的等效質(zhì)量表示成mi＝Ii/ri2。聯(lián)合式（1）、（2），進(jìn)一步簡(jiǎn)化可得：

式中：mi為齒輪的當(dāng)量質(zhì)量，i＝1為主動(dòng)齒輪，i＝2為從動(dòng)齒輪；Fi＝Ti/ri為齒輪i上作用的嚙合力；κ(τ)為齒輪嚙合過(guò)程中的時(shí)變嚙合剛度；f(x)為齒側(cè)間隙函數(shù)[5]。

將齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差設(shè)為s，用相對(duì)位移表示為：

聯(lián)合式（1）、（4）簡(jiǎn)化可得：

式中：齒輪副等效質(zhì)量m＝m1m2/(m1＋m2)；F(τ )為系統(tǒng)受到的激勵(lì)。

激勵(lì)函數(shù)如下：

齒輪的時(shí)變嚙合剛度k(τ)是隨時(shí)間變化的周期函數(shù)，表示為傅里葉級(jí)數(shù)[6]，取一階諧波分量，則時(shí)變嚙合剛度為：

式中：k0為齒輪嚙合過(guò)程中的平均嚙合剛度；ka為齒輪系統(tǒng)時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)幅值；φh為初相位。

齒輪剛度與綜合嚙合誤差初始相位之間的關(guān)系為：φh＝φe＋π，將式（6）、（7）代入式（5），得到系統(tǒng)微分方程：

選取如下無(wú)量綱參數(shù)：

則系統(tǒng)微分方程的無(wú)量綱化形式為：

x1、x2分別表示齒輪過(guò)程中傳動(dòng)誤差[7]的無(wú)量綱位移和速度，可得齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

2 基于Runge－Kutta法的動(dòng)力學(xué)模型分析

基于Runge－Kutta法將齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程編程，在求解過(guò)程中運(yùn)用ode－45函數(shù)將齒輪系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程中的高階方程轉(zhuǎn)化為低階方程。令Fm＝0.1，F(xiàn)a＝0.2，ε＝0.1，wn＝1，同時(shí)取初始條件x1＝0、x2＝0。通過(guò)改變齒側(cè)間隙的值，得到系統(tǒng)在不同齒側(cè)間隙下的位移、速度圖像的分岔圖，通過(guò)分析比較，獲得齒輪在不同間隙下的動(dòng)力學(xué)特性。

圖3所示為D＝1時(shí)系統(tǒng)隨阻尼比ξ的值變化的分叉圖，從位移圖中可以看出隨著阻尼比的增大，齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也會(huì)發(fā)生變化：當(dāng)阻尼比ξ＜0.056時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)比較混亂，產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)極不平穩(wěn)，振動(dòng)、沖擊比較大；0.056＜ξ＜0.12時(shí)，系統(tǒng)混沌狀態(tài)減弱，振動(dòng)、沖擊減小，系統(tǒng)相比較ξ＜0.056的運(yùn)動(dòng)較平穩(wěn)；ξ＝0.12時(shí)產(chǎn)生分岔，系統(tǒng)基本穩(wěn)定；ξ＝0.32時(shí)系統(tǒng)集中為1個(gè)岔，系統(tǒng)開(kāi)始平穩(wěn)運(yùn)行。

圖3 齒側(cè)間隙D＝1速度—阻尼比圖像

圖4 所示為D＝0.8時(shí)系統(tǒng)隨阻尼比ξ的值變化的分岔圖。隨著阻尼比的增大，齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化：當(dāng)阻尼比ξ＝0.04時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)比較混亂，產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)極不平穩(wěn)，振動(dòng)、沖擊比較大；0.04＜ξ＜0.15時(shí)，系統(tǒng)混沌狀態(tài)減弱，振動(dòng)、沖擊減??；ξ＝0.15時(shí)產(chǎn)生分岔；ξ＝0.33時(shí)系統(tǒng)集中為1個(gè)岔，系統(tǒng)開(kāi)始平穩(wěn)運(yùn)行。

圖4 齒側(cè)間隙D＝0.8時(shí)速度—阻尼比圖像

圖5 所示為D＝0.5時(shí)系統(tǒng)隨阻尼比ξ的值變化的分岔圖，隨著阻尼比的增大，齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化：當(dāng)阻尼比ξ＜0.035時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)比較混亂，產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)極不平穩(wěn)，振動(dòng)、沖擊比較大；0.035＜ξ＜0.18時(shí)，系統(tǒng)混沌狀態(tài)減弱，振動(dòng)、沖擊減??；當(dāng)ξ＝0.34時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生2個(gè)分岔，系統(tǒng)基本穩(wěn)定；ξ＝0.39時(shí)系統(tǒng)集中為1個(gè)岔，系統(tǒng)開(kāi)始平穩(wěn)運(yùn)行。

圖5 齒側(cè)間隙D＝0.5時(shí)速度—阻尼比圖像

圖6所示為D＝0.2時(shí)系統(tǒng)隨阻尼比ξ的值變化的分岔圖，隨著阻尼比的增大，齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化：當(dāng)阻尼比ξ＜0.08時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)比較混亂，產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)極不平穩(wěn)，振動(dòng)、沖擊比較大；0.08＜ξ＜0.13時(shí)，系統(tǒng)混沌狀態(tài)減弱，振動(dòng)、沖擊減?。沪危?.15時(shí)系統(tǒng)集中為1個(gè)岔，系統(tǒng)開(kāi)始平穩(wěn)運(yùn)行。

圖6 齒側(cè)間隙D＝0.2時(shí)速度—阻尼比圖像

再利用齒側(cè)間隙值為定值時(shí)，通過(guò)改變阻尼比的值來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當(dāng)齒側(cè)間隙值為1時(shí)，改變阻尼比ξ的值得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)相圖如圖7所示。

圖7 不同阻尼比下齒輪運(yùn)動(dòng)相圖

圖中，當(dāng)齒側(cè)間隙為定值時(shí)，齒輪系統(tǒng)隨著阻尼比ξ的不斷增大，齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也在不斷的改變，阻尼比很小時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的沖擊、振動(dòng)極大，系統(tǒng)處于極不穩(wěn)定狀態(tài)。隨著阻尼比的增大，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)逐漸減弱，振動(dòng)、沖擊較小，系統(tǒng)逐漸趨于平穩(wěn)；當(dāng)系統(tǒng)的阻尼比增大到一定值時(shí)，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)基本消失，齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和沖擊都較小，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

綜上所述，當(dāng)齒輪的齒側(cè)間隙為定值時(shí)，齒輪系統(tǒng)在剛進(jìn)入嚙合時(shí)不穩(wěn)定，在某一個(gè)瞬間會(huì)達(dá)到非常不穩(wěn)定的狀態(tài)，隨著時(shí)間的推移在齒輪系統(tǒng)會(huì)在某一時(shí)刻處于穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的狀態(tài)。當(dāng)齒輪系統(tǒng)的齒側(cè)間隙不斷增大時(shí)，齒輪系統(tǒng)的沖擊也會(huì)隨著齒側(cè)間隙的增大而變大，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)也就越嚴(yán)重。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)特種汽車輪邊減速系統(tǒng)齒輪傳動(dòng)力學(xué)特性分析得出以下結(jié)論。

（1）隨齒輪系統(tǒng)的齒側(cè)間隙不斷增大，齒輪系統(tǒng)的沖擊變大，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)也就越嚴(yán)重；

（2）當(dāng)齒輪的齒側(cè)間隙為定值時(shí)，齒輪系統(tǒng)在剛進(jìn)入嚙合時(shí)不穩(wěn)定，在某一個(gè)瞬間會(huì)達(dá)到非常不穩(wěn)定的狀態(tài)，隨著時(shí)間的推移在齒輪系統(tǒng)會(huì)在某一時(shí)刻處于穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的狀態(tài)；

（3）隨阻尼比的增大，系統(tǒng)逐漸趨于平穩(wěn)，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)基本消失，齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)趨于穩(wěn)定。