關(guān)建昌

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想是重要的教學(xué)方法之一，有助于促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、提高學(xué)生解題效率;這種不斷滲透的教學(xué)方式，將初中新課標(biāo)下九年義務(wù)教育的要求充分體現(xiàn)了出來，其反映出隨時(shí)代變化，社會(huì)對人才素質(zhì)要求的提高.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);初中;新課標(biāo);分類討論思想

前 言

分類討論思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在特征，是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的解題方法.以往傳統(tǒng)教學(xué)模式雖然具有較長應(yīng)用歷史，但卻存在著明顯缺陷，其以教師為中心，注重基礎(chǔ)知識(shí)的傳授、講解，忽略培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際處理數(shù)學(xué)問題的能力，影響教學(xué)成果[1].對此，在新課標(biāo)下，教師要積極學(xué)習(xí)先進(jìn)教學(xué)模式，充分運(yùn)用分類討論思想，提高教學(xué)質(zhì)量.

一、分類討論思想定義及其理論依據(jù)

（一）定義

初中數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)體系與邏輯結(jié)構(gòu)，差別于語文、英語等其他學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)一般是明確真理與客觀存在的，并非學(xué)生主觀感受“仁者見仁”.因此，相比于其他學(xué)科，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)較為復(fù)雜，大量的教學(xué)內(nèi)容需要分類討論，如幾何圖形的位置關(guān)系、不同條件下數(shù)學(xué)公式變形等.如何提高初中教學(xué)質(zhì)量，促使學(xué)生更好地去掌握數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)，正確、科學(xué)的教學(xué)方法與途徑顯得至關(guān)重要.分類討論思想根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)鍵因素、內(nèi)部特征，劃分成多個(gè)類別進(jìn)行分析討論.分類討論思想教學(xué)方式，在教學(xué)過程中可條理清晰、一一列舉出問題的各種解決方法，同時(shí)可保證解決方案的概括性與全面性，避免遺漏重要知識(shí)點(diǎn)，改善數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，幫助初中學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn).

（二）理論依據(jù)

從邏輯層面來看，分類討論其子項(xiàng)外延的總和與母項(xiàng)外延相等;且整個(gè)劃分過程只有一個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn);最終劃分出的子項(xiàng)一定要完全列出來;同時(shí)劃分操作必須依照某類從屬關(guān)系逐級落實(shí)，決不能出現(xiàn)隨意越級的問題.

對于該思想而言，其根本是分類，倘若分類錯(cuò)誤，就無法得到正確的討論結(jié)果.而分類本質(zhì)上則是邏輯上的劃分.劃分是一種展現(xiàn)概念外延的重要邏輯方式，其原則就是劃分依據(jù)，也可以說是該思想中分類的主要標(biāo)準(zhǔn).對此，明確劃分依據(jù)則是實(shí)現(xiàn)正確分類討論的關(guān)鍵所在.

劃分規(guī)則通常包含這幾項(xiàng)：一是劃分之后的所有子項(xiàng)之間都應(yīng)該是互不相容的，比如長方形、正方形、菱形都是平行四邊形;二是必須窮盡母項(xiàng)，比如自然數(shù)可以分成偶數(shù)和奇數(shù)兩類;三是每一次的劃分都要按照同一標(biāo)準(zhǔn)，比如將三角形按照角進(jìn)行劃分，可分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形，將其按照邊分，就分為三邊都不相等的三角形和有兩邊相等的三角形.

二、分類討論引起原因

在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想貫穿全部，一般可將其歸結(jié)為以下幾個(gè)原因：（1）分類討論根據(jù)實(shí)際問題具體分析，如實(shí)際應(yīng)用題、組合問題、排列問題等;（2）通過分類討論思想對數(shù)學(xué)問題中的不確定結(jié)論、不確定的圖形位置或形狀、不確定的數(shù)量關(guān)系等進(jìn)行分析[2];（3）在數(shù)學(xué)問題中遇到參數(shù)（含有字母系數(shù)）問題，需要通過分類討論思想對參數(shù)區(qū)間、取值范圍等進(jìn)行分析;（4）數(shù)學(xué)問題中涉及法則、運(yùn)算性質(zhì)或公式、數(shù)學(xué)定理等分類給出或給出有條件范圍需要通過分類討論思想分析;（5）如絕對值這類，數(shù)學(xué)問題概念本身存在分類定義[3].

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用

一般，在解答分類討論類問題時(shí)需要按照一定步驟開展：一是確定出具體的分類對象;二是針對問題當(dāng)中的某些條件進(jìn)行分類，在同一標(biāo)準(zhǔn)之下實(shí)施合理分類;三是逐類進(jìn)行討論;四是對各類的討論結(jié)果進(jìn)行整理歸納，最終得出相關(guān)結(jié)論.實(shí)際使用該思想解決問題的時(shí)候需要在正確分類的前提下盡可能減少分類，從而使問題解決更為簡便.

（一）在函數(shù)或方程中的應(yīng)用

對于涉及函數(shù)、代數(shù)式或方程的題目來說，我們在使用該思想進(jìn)行解決的時(shí)候，可以根據(jù)字母的不同取值，分別在其不同取值范圍當(dāng)中進(jìn)行討論，最終順利解決問題.

比如，在求解y=（a-1）x2+ax+1和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，由于該問題條件具有眾多可能性，所以該函數(shù)也會(huì)有很多可能的情況.具體將其分為兩類，也就是函數(shù)是一次函數(shù)或者是二次函數(shù).兩種情況最終得出的結(jié)果為：第一，當(dāng)該函數(shù)是一次函數(shù)的時(shí)候，a=1，函數(shù)和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）.第二，當(dāng)該函數(shù)是二次函數(shù)的時(shí)候，a≠1，Δ=（a-2）2，①當(dāng)Δ>0，即a≠2的時(shí)候，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即（-1，0）和? 1[]1-a，0;②當(dāng)Δ=0，即a=2的時(shí)候，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，即（-1，0）;③當(dāng)Δ<0，即（a-2）2<0時(shí)，a的取值不存在.在這樣的討論過程中最終就能夠得到正確答案，即當(dāng)a=1的時(shí)候，該函數(shù)和x軸的交點(diǎn)為（-1，0）;當(dāng)a≠1且a≠2的時(shí)候，該函數(shù)和x軸的交點(diǎn)為（-1，0）和1[]1-a，0;當(dāng)a≠1，且a=2的時(shí)候，該函數(shù)和x軸的交點(diǎn)為（-1，0）.

或者在解|3-x|+|x+2|=5這類含有絕對值的方程時(shí)，可以先把絕對值當(dāng)中的對象分為負(fù)數(shù)、正數(shù)和零三種情況，然后進(jìn)行分類討論.在該題目當(dāng)中，對于|3-x|來說，能夠分為x<3、x=3以及x>3三種情況;對于|x+2|來說，則可以分為x=-2、x<-2以及x>-2三種情況.同時(shí)將分類好的范圍表示在數(shù)軸當(dāng)中，從而轉(zhuǎn)為這三種基本情形：第一，x<-2，這時(shí)候原本的方程可以直接轉(zhuǎn)化為3-x-（x+2）=5，那么最終x就能夠得出為-2，這一點(diǎn)與x<-2是互相矛盾的，所以在該情形之下，原方程無解;第二，-2≤x≤3，這時(shí)候原本的方程就可以直接轉(zhuǎn)化為3-x+x+2=5，方程恒成立，最終在-2≤x≤3內(nèi)的所有實(shí)數(shù)都是該方程的解;第三，x>3，這時(shí)候原本的方程就可以直接轉(zhuǎn)化為-（3-x）+x+2=5，最終解出x=3，這一點(diǎn)和x>3是相互矛盾的，所以在該情形下原方程無解.那么最終就能夠得到該題目的結(jié)果為-2≤x≤3.

我們通過這一案例分析能夠發(fā)現(xiàn)，一旦遇到這類問題，必須先進(jìn)行審題，充分理解題意.教師還要促使學(xué)生在日常養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)審題的好習(xí)慣，進(jìn)而避免因?yàn)閷忣}不認(rèn)真而引起重復(fù)或者漏解的問題.

（二）在實(shí)踐課題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一門中學(xué)必修課，可鍛煉學(xué)生的理解能力、學(xué)習(xí)能力、思維能力;同時(shí)初中數(shù)學(xué)相比其他課程，如英語、語文、歷史等，對于學(xué)生的綜合分析能力、邏輯思維能力要求較高;相比其他課程，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度、教學(xué)難度相對較高.因此，在新課標(biāo)下，將分類討論思想運(yùn)用于實(shí)踐課題教學(xué)，對提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力、綜合分析能力等至關(guān)重要.在初中教學(xué)中，教師可通過分類討論思想為學(xué)生設(shè)計(jì)題目.如，某面粉加工廠現(xiàn)有面粉9噸，若廠家直接在市場銷售面粉，每噸獲利500元;制成面條銷售每噸額外可多獲利700元;制成面包銷售，每噸額外可多獲利1500元;該工廠每天可加工生產(chǎn)3噸面條;制成面包每天可生產(chǎn)1噸;由于工廠規(guī)模有限，兩種產(chǎn)品無法同時(shí)加工;受市場環(huán)境影響，這批面粉需要在4天內(nèi)銷售或加工完成.對于此題目，教師可引導(dǎo)學(xué)生對影響工廠加工的因素進(jìn)行綜合性分析，并從利益最大化角度出發(fā)，指定設(shè)計(jì)方案.初中數(shù)學(xué)教師可以通過這種教學(xué)模式，將分類討論思想融入教學(xué)之中，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

（三）將分類討論思想應(yīng)用于幾何教學(xué)中

初中數(shù)學(xué)與小學(xué)階段數(shù)學(xué)存在巨大差別，初中數(shù)學(xué)正式接觸幾何知識(shí)，不僅學(xué)習(xí)難度增加，同時(shí)其包含的圖形知識(shí)對學(xué)生思維能力提出更高要求.為更好地幫助學(xué)生理解、掌握幾何知識(shí)，在教學(xué)中，教師應(yīng)充分運(yùn)用分類討論思想，對幾何圖形知識(shí)進(jìn)行全面剖析.

初中數(shù)學(xué)當(dāng)中圓的對稱性、圓和直線、圓與圓，甚至圓和正多邊形的關(guān)系都是非常重要的內(nèi)容.并且在圓的對稱性與位置關(guān)系的相關(guān)問題解決當(dāng)中，分類討論思想應(yīng)用最多，它能夠促使學(xué)生更加明確題目當(dāng)中的各項(xiàng)變量和兩個(gè)圖形之間的距離等內(nèi)容.

1.確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的關(guān)系，可通過作圖表示，當(dāng)點(diǎn)或者直線運(yùn)動(dòng)過程中，它們和圓的位置關(guān)系會(huì)出現(xiàn)不同的情況，進(jìn)而進(jìn)行分類討論.

2.在探討圓周角與圓心角的大小關(guān)系時(shí)，教師可以借助幾何畫板制作圖形（如圖1所示），通過移動(dòng)點(diǎn)B，會(huì)出現(xiàn)以下三種情況，讓學(xué)生總結(jié)歸納，從而培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想.在證明過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從特殊情況入手進(jìn)行證明，并讓學(xué)生思考：其他兩種情況能否轉(zhuǎn)化為第一種情況？如何轉(zhuǎn)化？在教學(xué)過程中，教師要有意識(shí)地向?qū)W生滲透解決問題的策略以及轉(zhuǎn)化、分類、歸納等數(shù)學(xué)思想方法.

3.幾何動(dòng)點(diǎn)題型體現(xiàn)分類思想：如圖2：已知射線DE與y軸、x軸分別交于點(diǎn)E與點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)C以1個(gè)單位長度/秒的速度從點(diǎn)M（5，0）沿x軸勻速向左運(yùn)動(dòng);同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P以同樣速度從點(diǎn)D勻速沿射線方向運(yùn)動(dòng)，假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.（1）以點(diǎn)C為圓心，12t個(gè)單位長度為半徑的⊙C與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），連接PA，PB;①當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)，求t值;②當(dāng)射線DE與⊙C有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍.（2）請用含t的代數(shù)式，表示出點(diǎn)P與點(diǎn)C的坐標(biāo).對于以上數(shù)學(xué)問題，雖然相對其他科目難度頗高，但只要學(xué)生主動(dòng)積極學(xué)習(xí)，充分掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，具有一定的類比技巧與聯(lián)想技能，知道數(shù)學(xué)問題最基本的解決方法，透過其復(fù)雜外表，看到問題的根本，再根據(jù)自己所學(xué)知識(shí)，有效地構(gòu)造出問題的新特征，合理進(jìn)行知識(shí)遷移，尋找問題解決路徑與思路，就能解答此問題，并能提高其數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)其邏輯思維，使其形成良好的獨(dú)立的思維習(xí)慣，避免過度依賴他人.教師在教學(xué)過程中利用分類討論思想進(jìn)行教學(xué)，可提高學(xué)生的理解能力，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展.

四、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

首先，教師應(yīng)當(dāng)找準(zhǔn)時(shí)機(jī)，將分類的思想方法滲透給學(xué)生，比如可以在概念學(xué)習(xí)當(dāng)中進(jìn)行滲透;也可以在法則探究當(dāng)中進(jìn)行滲透;或者在圖形求解當(dāng)中進(jìn)行滲透.

其次，教師進(jìn)行啟發(fā)誘導(dǎo)，將該思想的本質(zhì)揭露出來，比如具體依照問題的需求去分類;在分類的時(shí)候必須要有相對比較明確的標(biāo)準(zhǔn).

最后，教師進(jìn)一步加大對這類思想方法在問題應(yīng)用中的研究，比如可以依照取值范圍進(jìn)行分類;或者直接依照幾何圖形的位置關(guān)系進(jìn)行分類.

結(jié) 語

總體來說，初中數(shù)學(xué)題目雖然靈活多變，但有跡可循.在教學(xué)中，教師充分運(yùn)用先進(jìn)教學(xué)模式，將分類討論思想融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有助于提高學(xué)生分類討論能力，提高課堂的趣味性，強(qiáng)化學(xué)生解題效率，提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績.

【參考文獻(xiàn)】

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