夏雨 李錦博 余穎燁

摘? 要：為獲得帶支撐的粘彈性阻尼器單自由度弱非線性耗能結(jié)構(gòu)隨機地震響應的求解方法，利用積分型本構(gòu)關(guān)系建立單自由度弱非線性耗能結(jié)構(gòu)的運動方程，通過隨機等效線性化法和等效阻尼原理將方程線性化，基于線性隨機振動理論分析方法，推導出求解結(jié)構(gòu)位移和速度響應值的解析方法和數(shù)值解.通過典型算例，驗證了帶支撐的開爾文型粘彈性阻尼器對于杜芬體系具有良好的減震效果，表明了所提方法的有效性;同時分析了阻尼器支撐剛度對此類弱非線性結(jié)構(gòu)減震效果的影響，研究表明：支撐剛度越大，減震效果越好.

關(guān)鍵詞：隨機振動;弱非線性體系;粘彈性阻尼器;隨機等效線性化法

中圖分類號：TU318? ? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.03.004

0? ? 引言

在地震工程中大量存在著隨機振動現(xiàn)象.由于結(jié)構(gòu)材料的非線性、外部荷載的不確定性等，在強烈地震動作用下，工程結(jié)構(gòu)會進入非線性[1]，因此，結(jié)構(gòu)的非線性隨機振動問題一直受到國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[2-3].

非線性隨機振動的分析方法可以劃分為兩大類[4]：第一類是面向數(shù)字特征的方法，主要解決方法有隨機攝動法、隨機平均法、虛擬激勵法、等效線性化法、等效非線性系統(tǒng)法等;第二類是面向概率密度的方法，主要問題是求解隨機反應過程的轉(zhuǎn)移概率密度需要滿足的FPK（fokker-planck-kolmogorov）方程.其中等效線性化法計算簡便，計算效率較高，適用性強，被廣泛應用到非線性隨機振動分析中[5-6].隨機等效線性化理論日趨成熟，但仍在不斷發(fā)展[7-8].

目前，粘彈性阻尼器耗能減震結(jié)構(gòu)已廣泛應用于結(jié)構(gòu)抗震工程中[9]，經(jīng)過40多年的理論和實踐研究表明，在結(jié)構(gòu)中安裝抗震裝置，可以有效減少地震作用下結(jié)構(gòu)的反應或破壞，提高結(jié)構(gòu)的抗震性能.一般情況下，支撐剛度是影響粘彈性阻尼器減震效果的主要參數(shù)，研究表明，耗能器的減震效果隨著支撐剛度的增大而增大[10].

現(xiàn)階段，大多數(shù)國家在實際工程中對地震作用的計算仍普遍采用響應譜法，因此，建立可直接用于響應譜方法的線性以及非線性耗能減震結(jié)構(gòu)的等效結(jié)構(gòu)具有重大意義[11].國內(nèi)外對于線性耗能減震結(jié)構(gòu)的理論研究已經(jīng)取得了豐碩的成果[12-15]，而由于非線性隨機振動問題是一個難度頗大的研究領域，因此，對于設置有粘彈性阻尼器的非線性耗能減震結(jié)構(gòu)的研究成果相對較少.

Xia等[16]研究了添加有粘彈性阻尼器的弱非線性結(jié)構(gòu)在雙軸地震激勵下的隨機響應特性，對于此類結(jié)構(gòu)的隨機響應值提供了一種求解思路和分析方法.文獻[16]的核心思想是獨立地將非線性結(jié)構(gòu)等效為線性結(jié)構(gòu)之后，再將粘彈性阻尼器安裝到等效的線性結(jié)構(gòu)上進行計算.但是，將粘彈性阻尼器安裝到非線性結(jié)構(gòu)上，勢必會改變原非線性結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼，其位移響應方差和速度響應方差也會隨之改變.而由隨機等效線性化法求得的等效結(jié)構(gòu)的等效剛度和等效阻尼是依賴于等效結(jié)構(gòu)位移和速度響應方差的函數(shù).文獻[16]將等效結(jié)構(gòu)的等效剛度和等效阻尼設為已知項，即孤立地將原非線性結(jié)構(gòu)等效為線性結(jié)構(gòu)，這樣求解出的等效剛度和等效阻尼等同于忽略了粘彈性阻尼器對等效剛度和等效阻尼的影響，顯然，該方法的本質(zhì)仍是對線性耗能減震結(jié)構(gòu)隨機響應值的求解.

鑒于此，本文提出一種將添加有帶支撐粘彈性阻尼器的弱非線性結(jié)構(gòu)整體進行等效線性處理的思想，基于這種思想，將隨機等效線性化法、頻域分析法和粘彈性阻尼器的等效阻尼原理相結(jié)合，獲得了一種切實有效的求解帶支撐粘彈性阻尼器弱非線性結(jié)構(gòu)隨機響應值的分析方法，使此類結(jié)構(gòu)的動力可靠性分析成為可能.該方法可求解含有任意粘彈性阻尼器的一般弱非線性結(jié)構(gòu)，可直接應用于響應譜法的抗震工程設計中.

1? ? 線性單自由度耗能結(jié)構(gòu)本構(gòu)方程

本文采用帶支撐的開爾文型粘彈性阻尼器[17-18] ，圖1、圖2分別為原阻尼器計算簡圖和支撐影響的修正阻尼器計算簡圖，圖3為等效阻尼計算簡圖.單自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼為[m]、[k]和[c]. [kb1]為支撐剛度，[kQ1]、[cv]分別為開爾文阻尼器的剛度、阻尼，[kG1]為修正阻尼器平衡模量，[p0G1（t）]為修正阻尼器阻力，[hG1（t）]為修正阻尼器的松弛函數(shù)，[CG1]為修正阻尼器的等效線性阻尼.結(jié)構(gòu)相對于地面的位移為[u]，阻尼器和支撐相對于地面的位移分別為[up]和[ub]. [PG1（t）]為阻尼器的總阻尼力.

將該粘彈性阻尼器安裝到線性單自由度結(jié)構(gòu)上，其耗能結(jié)構(gòu)方程可表示為[14]：

[mu+cu+ku+PG1（t）=W（t）]? ? ? ? （1）

式中：[u]、[u]和[u]分別為結(jié)構(gòu)相對地面的位移、速度和加速度，[W（t）=mag（t）]是平穩(wěn)的隨機地震激勵，總阻尼力[PG1（t）]的相關(guān)參數(shù)如下：

[PG1（t）=kG1u+0thG1t-τuτdτ]? ? ? ? ?（2）

[kG1=kb1kQ1kb1+kQ1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

[P0G1（t）=0thG1t-τuτdτ]? ? ? ? ? ? ?（4）

[ω2=k+kG1m]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

[CG1=k2b1cv（kb1+kQ1）2+ω2c2v]? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

2? ? 弱非線性單自由度耗能結(jié)構(gòu)振動

方程的線性化和等效阻尼

考慮高斯白噪聲激勵下的單自由度弱非線性耗能結(jié)構(gòu)，其運動方程為：

[mu+cu+ku+εfu，u+kG1u+]

[0thG1t-τuτdτ=W（t）]? ? ? ? ? ? （7）

式中：[W（t）=mag（t）]是平穩(wěn)的零均值正態(tài)過程，[f]為非線性力，[ε]是小參數(shù)（[0<ε?1]）.設與原方程等價的線性方程為：

[meu+ceu+keu+kG1u+0thG1t-τuτdτ=W（t）] （8）

文中不考慮非線性慣性力，固假設[me=m].

假定原非線性隨機系統(tǒng)公式與隨機等效線性化系統(tǒng)公式的誤差為：

[ε0=meu+cu+ku+εfu，u+kG1u+0thG1（t-τ）u（τ）dτ-][mu-ceu-keu-kG1u-0thG1（t-τ）u（τ）dτ]? ? ? ? ? （9）

經(jīng)簡化可得：

[ε0=gu，u-c1u-k1u]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

[c1=ce-c]，[k1=ke-k]，[gu，u=εfu，u]? ?（11）

由式（11）得：

[Eε20=Egu，u-c1u-k1u2]? ? ? ? （12）

若要使得[Eε20]取極小值[1]，則有：

[?Eε20?c1=0] ， [?Eε20?k1=0]? ? ? ? ? ? ?（13）

由這個條件并且注意期望[E]與導數(shù)u的可交換性，得：

[Eugu，u-c1Eu2-k1Eu，u=0]? ? ? ?（14）

[Eugu，u-c1Eu，u-k1Eu2=0]? ? ? ?（15）

聯(lián)立以上方程可得所要求的參數(shù)：

[c1=Eu2Eugu，u-Eu，uEugu，uEu2Eu2-Eu，u2]? ?（16）

[k1=Eu2Eugu，u-Eu，uEugu，uEu2Eu2-Eu，u2]? ?（17）

[W（t）=mag（t）]是平穩(wěn)的零均值正態(tài)過程，因此：

[k1=E[?g（u，u）?u]]，[c1=E[?g（u，u）?u]]? ? ?（18）

其中：[k1]、[c1]為與等效結(jié)構(gòu)位移和速度響應方差有關(guān)的函數(shù).而文獻[16]算例中設[k1]、[c1]為已知項，需聯(lián)立求解.將[P0G1t=0thG1t-τuτdτ]等效為線性的阻尼力[cG1u][17]，并代入式（8），則等效結(jié)構(gòu)方程可以轉(zhuǎn)化為：

[mu+ce+cG1u+ke+kG1u=W（t）]? ?（19）

上式可簡化為：

[u+2ξ1ω2u+ω22u=W（t）/m]? ? ? ? ? ? ? （20）

式中：

[ξ1=ξe+ξG=ce2mω2+cG12mω2] ，

[ω22=ω2e+kG1m=ke+kG1m]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

根據(jù)線性隨機振動理論可得平穩(wěn)反應位移和速度響應方差為[19]：

[σ2u=πS02ξ1ω32]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （22）

[σ2u=πS02ξ1ω2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （23）

將式（6）、式（11）、式（18）、式（22）、式（23）聯(lián)立，即可求解得結(jié)構(gòu)的位移和速度響應方差.其中，式（6）中的[ω]由[ω2]替換.

3? ? 算例

如圖4所示，圖4（a）為含有考慮支撐的開爾文型粘彈性阻尼器單自由度耗能弱非線性結(jié)構(gòu)，圖? ?4（b）為其等效結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量、剛度、阻尼分別為[m=2] kg， 結(jié)構(gòu)剛度[k=100]? N/m，[c=][2] N?s/m， [ε]取0.01，并聯(lián)的阻尼器性能參數(shù)分別為：支撐[kb1=][200] N/m，平衡模量[kQ1=][200] N/m，單元阻尼系數(shù)取[cv=30] N?s/m.地震激勵[ag（t）]是均值為0、譜密度為[S0]的平穩(wěn)正態(tài)過程，譜強度因子? ? ? ? ? ? ?[S0=0.000 5] m2/s3.計算添加有帶支撐開爾文型粘彈性阻尼器的Duffing體系位移和速度響應方差.

考慮白噪聲干擾下的杜芬體系，由式（7）可得結(jié)構(gòu)的耗能方程為：

[mu+cu+k（u+εu3）+kG1u+]

[0thG1t-τuτdτ=mag（t）]? ? ? ? ? （24）

上式可簡化為：

[u+2β0u+ω02（u+εu3）+kG1mu+]

[1m0thG1t-τuτdτ=ag（t）]? ? ? ? ?（25）

式中：

[ω20=km=50 s-2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（26）

[ξ0=c2mω2=12ω2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（27）

[β0=ξ0ω2=12]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（28）

[ω22=ke+kG1m]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （29）

設與其等價的線性方程為：

[u+2βeu+ω2eu+kG1mu+]

[1m0thG1t-τuτdτ=ag（t）]? ? ? ? ? （30）

其誤差項為：

[ε0=g（u，u）-β1u-ω1u]? ? ? ? ? ? ? （31）

式中：

[g（u，u）=εω20u3]，[β1=2（βe-β0）]，[ω21=ω2e-ω20]? ?（32）

在均值為0的平穩(wěn)正態(tài)白噪聲激勵下有：

[ω1=ω2e-ω20=E[?g（u，u）?u]=]

[3εω20E（u2）=3εω20σ2u]? ? ? ? ? ? ? ?（33）

[β1=?g（u，u）?u=2（βe-β0）=0]? ? ? ? ?（34）

將式（34）代入式（30），原方程變?yōu)椋?/p>

[u+2ξ0ω2u+ω22u+1m0thG1t-τuτdτ=ag（t）]? ? ? ? ? ?（35）

式中：

[ω22=ω2e+kG1m=ke+kG1m]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（36）

由式（3）得：

[kG1=kb1kQ1kb1+kQ1=100 N/m]? ? ? ? ? ? ? ? ? （37）

將式（32）、式（33）代入式（36）可得：

[ω22=ω1+ω20+kG1m=100+1.5σ2u]? ? ?（38）

將[P0G1t=0thG1t-τuτdτ]等效為線性的阻尼力[cG1u]，由式（6）得：

[cG1=k2b1cv（kb1+kQ1）2+ω22c2v]? ? ? ? ? ? ?（39）

原方程變?yōu)椋?/p>

[u+2ξ1ω2u+ω22u=ag（t）]? ? ? ? ? ? ?（40）

式中：

[ξ1=ξ0+ξG=ξ0+cG12mω2]? ? ? ? ? ? ? ? ?（41）

由式（37）可求得[ce=c]，這是因為原方程非線性項中只有彈性回復力是非線性的，因此，將式（22）、式（38）、式（39）聯(lián)立求解可得：

[σu=2.150×10-3] [m]，[ω2=10] [s-1]，[cG1= 4.8] N?s/m

（42）

則等效結(jié)構(gòu)的位移響應方差為：

[σ2u=4.623×10-6] [m2]? ? ? ? ? ? ? ? （43）

將式（41）、式（42）代入式（23）可求得等效結(jié)構(gòu)的速度響應方差為：

[σ2u=πS02ξ1ω2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（44）

對于實際結(jié)構(gòu)，[ξ0≤0.05]，而阻尼器提供的附加阻尼比[ξg≤0.2]0 [17].在本文算例中，將式（42）代入式（27）、式（41）可得：

[ξ0=0.05]，[ξg=0.12]? ? ? ? ? ? ? ? ?（45）

由圖5和表1可以看出，當支撐剛度為定值時，阻尼器阻尼系數(shù)越大，結(jié)構(gòu)位移響應值越小.在阻尼器支撐剛度小于600 N/m時，當阻尼器阻尼系數(shù)小于30 N/m時，等效結(jié)構(gòu)的位移響應值隨著阻尼器阻尼系數(shù)的增大而逐漸減小;當阻尼器阻尼系數(shù)大于45 N/m時，等效結(jié)構(gòu)的位移響應值隨著阻尼器阻尼系數(shù)的增大而逐漸增大;當阻尼器阻尼系數(shù)在30～45 N/m之間時，結(jié)構(gòu)位移響應值的變化幅度趨于平緩.當阻尼器支撐剛度大于600 N/m時，等效結(jié)構(gòu)的位移響應值隨著阻尼器阻尼系數(shù)的增大而逐漸減小，而等效結(jié)構(gòu)的減震效果變化情況與等效結(jié)構(gòu)位移響應值保持一致.

由圖6和表2可以看出，當阻尼器阻尼系數(shù)為定值時，阻尼器支撐剛度越大，結(jié)構(gòu)的位移響應值越小.當阻尼器阻尼系數(shù)為定值時，結(jié)構(gòu)位移響應值隨著阻尼器支撐剛度的增加而減小.當阻尼器支撐剛度大于2 000 N/m時，等效結(jié)構(gòu)位移響應值的變化幅度逐漸趨于平緩，而等效結(jié)構(gòu)的減震效果隨著阻尼器支撐剛度的增大而逐漸增大.

4? ? 結(jié)論

本文研究了一種含有粘彈性阻尼器的單自由度弱非線性耗能結(jié)構(gòu)，并對其在平穩(wěn)的隨機地震激勵下的響應特性進行了系統(tǒng)的研究，提出了一種可以有效求解非線性耗能減震結(jié)構(gòu)隨機響應值的新方法.首先，采用整體本構(gòu)關(guān)系，建立了包含普通積分模型的粘彈性阻尼器和支撐的單自由度弱非線性結(jié)構(gòu)的微分和積分運動方程;然后，利用等效阻尼原理將粘彈性阻尼器的阻尼力線性化，得到了等效結(jié)構(gòu)的運動方程;最后，基于隨機等效線性化法和頻域法，通過聯(lián)立求解，推導并求解出了結(jié)構(gòu)的速度和位移響應標準差和方差的數(shù)值解.

研究表明，對于含有粘彈性阻尼器的杜芬系統(tǒng)，當阻尼器阻尼系數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時，等效結(jié)構(gòu)計算的位移標準差隨著阻尼器阻尼系數(shù)的增大而逐漸減小，而粘彈性阻尼器對此類結(jié)構(gòu)有明顯的減震效果，其支撐剛度對減震效果影響較大，支撐剛度越大減震效果越好.

最后應指出，隨機等效線性化法屬于近似解，甚至對于Vanderpol等體系有時會得到錯誤的答案[5]，因此，如何獲得求解精度更高且適用性更廣的求解方法以及更為復雜的非線性多自由度耗能減震結(jié)構(gòu)，這將是需要進一步開展的研究工作.本文方法可以為此類結(jié)構(gòu)的抗震設計提供有益的參考，并且可以為含有粘彈性阻尼器的多自由度弱非線性結(jié)構(gòu)和強非線性結(jié)構(gòu)的隨機響應問題提供參考依據(jù).

參考文獻

[1]? ? ?歐進萍，王光遠. 結(jié)構(gòu)隨機振動[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]? ? ?KIUREGHIAN A D，F(xiàn)UJIMURA K. Nonlinear stochastic dynamic analysis for performance?based earthquake engineering[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2009，38（5）：719-738.

[3]? ? ?陳志強， 鄭史雄， 張寧，等. 非平穩(wěn)地震作用下強非線性結(jié)構(gòu)動力可靠度分析[J].振動與沖擊， 2020， 39（19）： 121-129.

[4]? ? ?呂大剛，宋鵬彥，于曉輝，等. 結(jié)構(gòu)動力抗震可靠度理論的研究進展[J].西南交通大學學報，2015，50（6）： 1025-1038.

[5]? ? ?朱位秋，余金壽. Van der Pol振子對高斯白噪聲的響應[J]. 振動工程學報，1987（1）：14-25.

[6]? ? ?OU J P， QU W L. Dynamic reliability analysis of nonlinear multidegree-of-freedom systems excited by stationary random loads[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1984，4（1）：20-35.

[7]? ? ?張振浩， 楊偉軍. 非線性體系動力可靠性分析的等效Duffing體系法[J].土木建筑與環(huán)境工程， 2012， 34（3）： 70-75.

[8]? ? ?YI S R， WANG Z， SONG J. Bivariate Gaussian mixture-based equivalent linearization method for stochastic seismic analysis of nonlinear structures[J].Earthquake Engineering & Structural Dynamics，2018，47（3）： 678-696.

[9]? ? ?周云. 粘彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)設計[M]. 武漢：武漢理工大學出版社，2006.

[10]? ?周云， 商城豪， 張超. 消能減震技術(shù)研究與應用進展[J]. 建筑結(jié)構(gòu)，2019，49（19）：33-48.

[11]? ?李創(chuàng)第，陳俊忠，黃東梅，等. 多自由度“加層”減震結(jié)構(gòu)地震作用取值的復模態(tài)法[J]. 哈爾濱工業(yè)大學學報， 2009， 41（4）： 201-203.

[12]? ?李創(chuàng)第， 昌明靜， 柏大煉， 等. 六參數(shù)粘彈性阻尼耗能減震系統(tǒng)非平穩(wěn)地震響應分析的精細積分法[J]. 廣西科技大學學報，2019，30（4）： 15-22，41.

[13]? ?李創(chuàng)第， 王磊石， 鄒萬杰， 等. 廣義Maxwell阻尼器高層結(jié)構(gòu)隨機風振響應解析法[J]. 廣西大學學報（自然科學版）， 2016， 41（4）： 953-963.

[14]? ?李創(chuàng)第， 葛新廣， 陸運軍. 粘滯和粘彈性阻尼器減震結(jié)構(gòu)的等效阻尼[J]. 應用力學學報，2011，28（4）： 328-333，447.

[15]? ?李創(chuàng)第， 尉霄騰， 王磊石，等. 積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應的精確解[J]. 廣西大學學報（自然科學版），2016，41（1）：83-90.

[16]? ?XIA Y，WU Z ，KANG ZH M ，et al. Stochastic response characteristic and equivalent damping of weak nonlinear energy dissipation system under biaxial earthquake action[J]. Mathematical Problems in Engineering，2017，2017：1-10. DOI：10. 1155/2017/7384940.

[17]? ?李創(chuàng)第， 葛新廣， 陸運軍. 粘滯和粘彈性阻尼器減震結(jié)構(gòu)的隨機響應特性[J]. 應用力學學報，2011，28（3）： 219-225，323.

[18]? ?FU Y M， KASAI? K. Comparative study of frames using viscoelastic and viscous dampers[J].Journal of Structural Engineering，1998，124（5）：513-522.

[19]? ?方同.工程隨機振動[M].北京：國防工業(yè)出版社，1995.

Random seismic response characteristic of weak nonlinear energy

dissipation structure with viscoelastic damper and supporting brace

XIA Yu， LI Jinbo， YU Yingye

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： To obtain the solution for the random seismic response of weak nonlinear SDOF energy? ? ? dissipation structures for braced viscoelastic dampers， a related equation of motionis established based on the integral constitutive relationship.The equationis linearized by the stochastic equivalent? ? ? ? ? ? ?linearization method and the equivalent damping formula，based on the stochastic vibration theory， the? numerical solutions of the displacement and velocity response are derived.Through a typical example，it is verified that the Kelvin viscoelastic damper with brace has a good shock absorption effect on the? ?Duffing system， which shows the effectiveness of the proposed method.At the same time， the impact of the brace stiffnesson the shock absorption effect of this type of nonlinear structure is analyzea.The? greater the brace stiffness is， the better the shock absorption effect is.

Key words： random vibration; weak nonlinear system; viscoelastic damper; stochastic equivalent linearization.

（責任編輯：羅小芬、黎? ?婭）