陳巖豪 向宇 石梓玉

摘? 要：基于波疊加法的近場聲全息技術(shù)因其在適應(yīng)性和數(shù)值計(jì)算上的優(yōu)勢，近年來已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于聲源識(shí)別、定位和聲場分析.在基于波疊加法的近場聲全息技術(shù)中，以射線波函數(shù)為波疊加法的積分核函數(shù)可有效改善系統(tǒng)矩陣的病態(tài)性，提高聲場計(jì)算的數(shù)值穩(wěn)定性.但由于射線波函數(shù)在低波數(shù)處的指向性過強(qiáng)，聲場信息主要集中在射線波函數(shù)的主指向處，導(dǎo)致了其他方位的聲場信息缺失.針對以上問題，提出了一種射線波函數(shù)信息的補(bǔ)償方法，即在射線波函數(shù)中加入一定比例的單極子球波函數(shù)對重建聲場進(jìn)行信息補(bǔ)償.數(shù)值算例結(jié)果表明：補(bǔ)償信息后的射線波函數(shù)不僅保證了聲場重建過程中數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，而且彌補(bǔ)了單一射線波函數(shù)在低波數(shù)處的缺陷，進(jìn)一步提高了聲場的重建精度.

關(guān)鍵詞：近場聲全息;波疊加法;射線波函數(shù);信息補(bǔ)償 ;聲場重建

中圖分類號(hào)：TB52? ? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.03.002

0? ? 引言

基于波疊加法的近場聲全息理論[1-2]因其算法簡單、計(jì)算效率較高，被廣泛應(yīng)用于聲源識(shí)別、定位和聲場重建，其基本思想是：聲源產(chǎn)生的聲場可由該聲源內(nèi)部一系列虛擬等效源產(chǎn)生的聲場疊加替代，而虛擬等效源的源強(qiáng)可以通過匹配全息面的測量聲學(xué)信息得到[3].波疊加法一般采用的是只與距離有關(guān)的球形單極子函數(shù)，其構(gòu)成的系統(tǒng)矩陣通常為一病態(tài)矩陣，影響了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性.對于弱病態(tài)的系統(tǒng)矩陣，通常采用正則化方法[4-5]過濾或截?cái)噍^小奇異值來抑制測量誤差的影響，提高數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性.為了獲取更高的計(jì)算精度，賀春東等[6-8]對近場聲全息的正則化方法作了進(jìn)一步的優(yōu)化.然而，單一的正則化方法無法從根本上改變系統(tǒng)矩陣的固有缺陷，要確保重建結(jié)果與實(shí)際聲場信息相吻合，有時(shí)還需要對等效源的位置作進(jìn)一步選擇[9]和優(yōu)化[10-11].無論何種優(yōu)化方式，計(jì)算過程中都是通過改變系統(tǒng)矩陣形態(tài)來對重建結(jié)果施加影響.Song等[12]對系統(tǒng)矩陣研究后指出，要獲得較高的計(jì)算精度，系統(tǒng)矩陣需滿足對角占優(yōu)且盡量對稱.

為了使系統(tǒng)矩陣滿足上述條件，文獻(xiàn)[13]提出以格林函數(shù)的[n（n=1， 2， 3， …）]階方向?qū)?shù)為積分核函數(shù)的射線波疊加法.與傳統(tǒng)波疊加法相比，射線波疊加法有效地改善了系統(tǒng)矩陣的病態(tài)性，并獲得了較為穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果.但是，射線波疊加法在低波數(shù)處聲場重建效果并不理想.其原因在于射線波函數(shù)在低波數(shù)處的指向性過強(qiáng)，其疊加聲場信息將主要集中在各個(gè)射線波等效源的主指向處，而在非主指向處出現(xiàn)了信息缺失.

為了克服以上問題，本文在射線波函數(shù)中添加一定權(quán)重的球形單極子函數(shù)來彌補(bǔ)聲場缺失的信息.研究發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過信息補(bǔ)償后的射線波函數(shù)不僅保證了系統(tǒng)矩陣趨于良態(tài)，而且提高了聲場的重建精度.最后通過脈動(dòng)球聲源以及雙脈動(dòng)球干涉聲源驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)越性.

1? ? 波疊加法及射線波函數(shù)的性質(zhì)分析

將虛擬等效源布置在輻射聲源內(nèi)部的封閉曲面[SE]上，可得輻射體外部區(qū)域任意一點(diǎn)聲壓[p（r）][3]：

[pr=SEqrEgr，rEdSE]? ? ? ? ? ? ? （1）

其中：[q（rE）]為待求等效虛擬源強(qiáng)，[g（r，rE）=eikR/（4πR）]，[i=-1]，[k]為波數(shù)，[R=r-rE].若將等效源面[SE]網(wǎng)格離散成N個(gè)節(jié)點(diǎn)，同時(shí)在節(jié)點(diǎn)處配置[N]個(gè)單極子聲源，得到離散后的積分方程：

[p（r）=i=1Nq（rEi）g（r，rEi）]? ? ? ? ? ? ? ?（2）

由式（2）可知，聲源外部的輻射聲場可由內(nèi)部一系列虛擬聲源輻射聲場疊加得到.若全息面上存在[N]個(gè)全息測點(diǎn)，可將式（2）轉(zhuǎn)化為矩陣形式如下：

[PH=GHQ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

式中：[PH]為測點(diǎn)聲壓列向量，[GH]為全息面測點(diǎn)與等效源之間的系統(tǒng)矩陣，[Q]為待求等效源源強(qiáng)向量.通過對[GH]求逆即可計(jì)算得到[N]個(gè)虛擬等效源的源強(qiáng)，然后將求得的源強(qiáng)代入式（2）即可求解聲源面外部任意位置的聲壓[p（r）].但由于格林函數(shù)[g（r，rE）]是一個(gè)球波函數(shù)，其構(gòu)成的系統(tǒng)矩陣[GH]往往是一個(gè)病態(tài)矩陣，數(shù)值求逆時(shí)會(huì)放大測量誤差的影響，可能導(dǎo)致重建結(jié)果失真.為了克服以上問題，文獻(xiàn)[13]構(gòu)造了具有主指向的射線波函數(shù)來替代傳統(tǒng)波疊加法的單極子球波函數(shù)，極大地提高了聲場重建的數(shù)值穩(wěn)定性.

2? ? 射線波函數(shù)的特點(diǎn)及缺陷

Ochmann[14-15]指出只要滿足Helmholtz方程和Sommerfield輻射條件的解析函數(shù)均可以作為波疊加法的積分核函數(shù).基于這一研究思路，可以通過改變積分核函數(shù)的方式提高聲場重建的數(shù)值穩(wěn)定性[16-17].在文獻(xiàn)[13]中構(gòu)造了如下的射線波函數(shù)：

[Ki（r，rE）=?（i）g（r，rE）?l（i），i=1，2，3，…]? ? ? （4）

式中：[Ki（r，rE）]為具有指向性的射線波函數(shù)，[l]為其主指向，[i]為求導(dǎo)階數(shù).當(dāng)[i=1]且[l]為等效源面法向量n時(shí)，[?g（r，rE）?n]為常用的雙層勢函數(shù).經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，隨著求導(dǎo)階數(shù)的增加，射線波函數(shù)的指向性逐漸增強(qiáng)，如圖1所示.

若將上述的N個(gè)射線波等效源的主指向與全息面測點(diǎn)一一對應(yīng)，系統(tǒng)矩陣如下：

[Ki（r，rE）=Ki（r1，rE1）Ki（r1，rE2）…Ki（r1，rEn）Ki（r2，rE1）Ki（r2，rE2）…Ki（r2，rEn）???Ki（rN，rE1）Ki（rN，rE2）…Ki（rN，rEn）N×N]（5）

由于在[rEi]處的射線波等效源在其對應(yīng)的全息測點(diǎn)[ri]處的聲波激勵(lì)最大，其構(gòu)成的系統(tǒng)矩陣[Ki（r，rE）]呈現(xiàn)主對角占優(yōu)且近似對稱.與傳統(tǒng)單極子等效源構(gòu)成的系統(tǒng)矩陣相比，[Ki（r，rE）]具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，不會(huì)因?yàn)楹苄〉臏y量誤差導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果失真[12].

經(jīng)過進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)射線波函數(shù)指向性過強(qiáng)時(shí)，系統(tǒng)矩陣會(huì)出現(xiàn)以下情況：

[Ki（rn，rEn）?Ki（rn，rEm），n， m=1， 2， 3， …且 m≠n]? ?（6）

即系統(tǒng)矩陣主對角元素遠(yuǎn)大于非主對角元素，此時(shí)盡管系統(tǒng)矩陣的數(shù)值穩(wěn)定性較好，但重建聲場與實(shí)際聲場信息不匹配.原因如圖2所示.

指向性過強(qiáng)的射線波等效源輻射的聲場信息主要集中于與之對應(yīng)的全息面測點(diǎn)附近，而在遠(yuǎn)離全息面測點(diǎn)的位置將會(huì)出現(xiàn)信息缺失.因此，選取的射線波求導(dǎo)階數(shù)不宜過高，一般為2～3階.其次，文獻(xiàn)[13]的數(shù)值算例指出，射線波函數(shù)的重建效果與波數(shù)也有一定的關(guān)系，其在低波數(shù)處重建效果不太理想.經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，如圖3所示，在相同的求導(dǎo)階數(shù)下，射線波函數(shù)在低波數(shù)處的指向性較強(qiáng)，而在波數(shù)較大時(shí)，指向性強(qiáng)度相對較弱.說明了波數(shù)較小時(shí)，由于射線波等效源的指向性過強(qiáng)，導(dǎo)致了聲場重建信息缺失.

3? ? 射線波函數(shù)的信息補(bǔ)償

由于在低波數(shù)處射線波函數(shù)的聲場信息主要集中在各個(gè)射線波的主指向性處，導(dǎo)致其他位置的聲場信息缺失，因此，需要采用一定的策略對缺失的聲場信息進(jìn)行補(bǔ)償.單極子球面波函數(shù)是一種全空間覆蓋且在各個(gè)方向均勻衰減的波函數(shù)，因此，本文考慮在射線波函數(shù)中添加一定權(quán)重的單極子波函數(shù)對聲場信息進(jìn)行補(bǔ)償，表達(dá)式如下：

[K（i）a（r，rE）=ag（r，rE）+?（i）g（r，rE）?l（i），i=0， 1， 2， 3，…]（7）

其中：i為求導(dǎo)階數(shù)，[a]為組合權(quán)重系數(shù).通過選取合適的權(quán)重系數(shù)就可以保證射線波函數(shù)構(gòu)成的系統(tǒng)矩陣趨于良態(tài)的同時(shí)，提高低波數(shù)處聲場的重建精度.為了便于對比，給出不同權(quán)重系數(shù)時(shí)的射線波函數(shù)[K（3）a（r，rE）]指向性，如圖4所示.

由圖4可以看出隨著單極子波函數(shù)權(quán)重的增加，射線波函數(shù)的指向性逐漸減弱，因此，可以通過調(diào)整參數(shù)[a]的大小，補(bǔ)償合適的球面波信息，在保證改善低波數(shù)處聲場重建精度的同時(shí)，提高聲場重建的數(shù)值穩(wěn)定性.

4? ? 數(shù)值算例與分析

為了驗(yàn)證加入單極子球波函數(shù)后射線波函數(shù)的數(shù)值穩(wěn)定性以及對低波數(shù)處的改善效果，選取文獻(xiàn)[13]中數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定較好的三階射線波函數(shù)[?（3）g（r，rE）?l（3）]進(jìn)行組合對比驗(yàn)證，其中重建聲源模型為脈動(dòng)球聲源和雙脈動(dòng)球干涉聲源.

4.1? ?脈動(dòng)球聲源重建效果對比

首先采用脈動(dòng)球聲源進(jìn)行驗(yàn)證，半徑為[Rs]的脈動(dòng)球聲源在距離圓心為[r]處聲壓如下[18]：

[p（r）ρ0cv0=RsrikRs1+ikRse-ik（r-Rs）]? ? ? ? ? ? （8）

其中：[ρ0]為介質(zhì)的平均密度，[v0]為脈動(dòng)球表面質(zhì)點(diǎn)法向振速幅值，[c]為聲波在介質(zhì)中的傳播速度，[i=-1]，? [k]為波數(shù).設(shè)定[ρ0=1.21] [kg/m?]，[v0=1] [m/s]，[c=340] [m/s].脈動(dòng)球聲源半徑[Rs]=1.0 m.全息面半徑為1.5 m的球面，按照緯度間隔[π/11]，經(jīng)度間隔[2π/11]布置全息測點(diǎn)，除去兩極，共100個(gè)節(jié)點(diǎn).等效源面半徑? ? [rE=0.2] [m]，其等效源點(diǎn)經(jīng)緯度分布方式與全息測點(diǎn)? 相同.

根據(jù)上述模型布置，分別采用常用的單極子波函數(shù)[g（r，rE）]、雙層勢波函數(shù)[?g（r，rE）?n]、三階射線波函數(shù)[?（3）g（r，rE）?l（3）]以及信息補(bǔ)償后的射線波函數(shù)[K（3）a（r，rE）]進(jìn)行聲場重建，其中經(jīng)過大量算例驗(yàn)證[a=1～10]時(shí)系統(tǒng)矩陣較為穩(wěn)定，而且改善效果較為明顯.本文選取[a=8].在數(shù)值計(jì)算中，系統(tǒng)矩陣條件數(shù)大小可以衡量矩陣的病態(tài)程度，所以首先對比在不同波數(shù)下各個(gè)波函數(shù)構(gòu)成的系統(tǒng)矩陣條件數(shù)如圖5所示.

圖5表明，單極子波函數(shù)構(gòu)成的系統(tǒng)矩陣條件數(shù)較大，采用雙層勢波函數(shù)[?g（r，rE）?n]可以降低系統(tǒng)矩陣條件數(shù)，而采用三階射線波函數(shù)[?（3）g（r，rE）?l（3）]和[K（3）a（r，rE）]降低效果更加明顯，說明射線波函數(shù)和組合后的射線波函數(shù)均能夠有效改善系統(tǒng)矩陣的病態(tài)性，提高聲場計(jì)算的數(shù)值穩(wěn)定性.

為了驗(yàn)證以上各個(gè)波函數(shù)在不同波數(shù)的重建精度和穩(wěn)定性，在全息測點(diǎn)聲壓中添加40 dB的噪聲，并利用以上各個(gè)波函數(shù)對脈動(dòng)球表面聲壓實(shí)部和虛部進(jìn)行重建.不同波函數(shù)的重建效果如圖6所示.

圖6（a）可以看出，單極子波函數(shù)[g（r，rE）]重建數(shù)值解完全偏離了解析解，圖6（b）中雙層勢波函數(shù)[?g（r，rE）?n]的重建效果有所改善，但是部分波數(shù)處吻合程度較差;采用三階射線波函數(shù)[?（3）g（r，rE）?l（3）]在低波數(shù)處重建數(shù)值解偏離了解析解，在波數(shù)較大時(shí)重建效果較好;信息補(bǔ)償后的射線波函數(shù)[K（3）8（r，rE）]在各個(gè)波數(shù)處均有較好的重建效果.綜合條件數(shù)對比和重建結(jié)果來看，補(bǔ)償信息后的射線波函數(shù)既改善了系統(tǒng)矩陣的病態(tài)性，又彌補(bǔ)了單一射線波函數(shù)在低波數(shù)處的缺陷.

4.2? ?雙脈動(dòng)球干涉聲源節(jié)點(diǎn)聲壓重建

在實(shí)際工程中，聲場的分布通常較為復(fù)雜且無解析解可循.本文根據(jù)替代法[19]的原理，利用雙脈動(dòng)球形成的干涉聲場代替實(shí)際聲場，其中2個(gè)脈動(dòng)球中心坐標(biāo)分別為（0.2， 0， 0）和（-0.2， 0， 0），半徑均為0.4 m，振速為[v=1] [m/s].全息面為半徑[RH=1.0] m的球形，節(jié)點(diǎn)分布緯度間隔為[π12]，經(jīng)度間隔為[2π12]，除去兩極節(jié)點(diǎn)，共121個(gè)節(jié)點(diǎn).等效源布置面半徑為[r=0.2] m，等效源點(diǎn)分布與全息測點(diǎn)相同.聲場重建節(jié)點(diǎn)均勻分布在一半徑為0.8 m的圓形之上，共121個(gè)重建節(jié)點(diǎn).其二維示意圖如圖7? ? ?所示.

依舊采用上述單極子波函數(shù)[g（r，rE）]、雙層勢波函數(shù)[?g（r，rE）?n]、三階射線波函數(shù)[?（3）g（r，rE）?l（3）]以及信息補(bǔ)償后的射線波函數(shù)[K（3）8（r，rE）]對聲場進(jìn)行重建.為了驗(yàn)證補(bǔ)償后射線波函數(shù)在低波數(shù)處的改善效果，設(shè)定波數(shù)為[k=0.5]，并對全息測點(diǎn)聲壓數(shù)據(jù)添加40 dB的噪聲.對比重建節(jié)點(diǎn)解析解聲壓以及重建數(shù)值解聲壓如圖8所示.

根據(jù)圖8可以看出單極子波函數(shù)[g（r，rE）]、雙層勢波函數(shù)[?g（r，rE）?n]、三階射線波函數(shù)[?（3）g（r，rE）?l（3）]在各個(gè)節(jié)點(diǎn)的重建聲壓均偏離了解析解，而補(bǔ)償信息后的射線波函數(shù)[K（3）8（r，rE）]在節(jié)點(diǎn)處重建結(jié)果與解析解的吻合程度較好，說明低波數(shù)處補(bǔ)償信息后的射線波函數(shù)在空間不同位置處均有較好的重建效果.根據(jù)表1中各個(gè)系統(tǒng)矩陣條件數(shù)對比可以發(fā)現(xiàn)，單極子波函數(shù)[g（r，rE）]和雙層勢波函數(shù)[?g（r，rE）?n]由于條件數(shù)較大，在利用MATLAB計(jì)算過程中已經(jīng)出現(xiàn)提示求逆計(jì)算結(jié)果可能不準(zhǔn)確.而相比單極子波函數(shù)[g（r，rE）]和雙層勢波函數(shù)[?g（r，rE）?n]，雖然三階射線波函數(shù)[?（3）g（r，rE）?l（3）]條件數(shù)最小，但是重建效果依舊不太理想，結(jié)合射線波函數(shù)缺陷的分析，說明在低波數(shù)處利用射線波函數(shù)[?（3）g（r，rE）?l（3）]重建聲場時(shí)出現(xiàn)了信息缺失.而補(bǔ)償信息后的射線波函數(shù)[K（3）8（r，rE）]不僅降低了系統(tǒng)矩陣條件數(shù)，改善了系統(tǒng)矩陣的病態(tài)性，而且保證各個(gè)節(jié)點(diǎn)處聲場的重建精度，因此，足以說明本文方法的優(yōu)越性.

5? ? 結(jié)論

本文綜合考慮了系統(tǒng)矩陣以及各個(gè)波函數(shù)的特性，提出了一種射線波函數(shù)信息補(bǔ)償法，即在射線波函數(shù)中添加一定權(quán)重的單極子球波函數(shù)對聲場信息進(jìn)行補(bǔ)償.數(shù)值算例結(jié)果表明：信息補(bǔ)償后的射線波函數(shù)顯著降低了系統(tǒng)矩陣的條件數(shù)，既保證了聲場重建的數(shù)值穩(wěn)定性，又彌補(bǔ)了單一射線波函數(shù)在低波數(shù)的缺陷，提高了聲場重建的計(jì)算精度.在實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中，結(jié)構(gòu)體振動(dòng)輻射的聲場更加復(fù)雜，經(jīng)驗(yàn)性地選取組合參數(shù)可能無法滿足重建精度的要求，因此，如何穩(wěn)定選取最優(yōu)的組合參數(shù)使射線波函數(shù)能夠適應(yīng)于任意聲場的重建是下一步的研究重點(diǎn).

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Information compensation of ray wave function based on wave

superposition near field acoustic holography

CHEN Yanhao1，2，XIANG Yu*2，SHI Ziyu2

（1.School of Mechanical and Traffic Engineering， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China; 2.Guangxi Key Laboratory of Automobile Component and Vehicle Technology （Guangxi University of Science and Technology）， Liuzhou 545006， China）

Abstract： Near field acoustic holography based on wave superposition has been widely used in sound source identification， location and field analysis in recent years because of its advantages in adaptability and numerical calculation. In the near-field acoustic holography technology based on the wave? ? ? ? ? ? superposition method， the ray wave function as the integral kernel function of the wave superposition method can effectively improve the ill-conditionedness of the system matrix and improve the numerical stability of the sound field calculation. However， due to the strong directivity of the ray wave function at low wave numbers， the sound field information is mainly concentrated at the main direction of the ray wave function， resulting in the lack of sound field information in other directions. To solve the above problems， a ray wave function information compensation method is proposed， that is， a certain proportion of monopole spherical wave function is added to the ray wave function to compensate the? reconstructed sound field. Numerical example results show that the ray wave function after? ? ? ? ? ? ? ?supplementary information not only guarantees the stability of the numerical calculation in the sound field reconstruction process， but also makes up for the defect of a single ray wave function at low? ? ?wavenumbers， and further improves the accuracy of sound field reconstruction.

Key words： near-field acoustic holography; wave superposition method; ray wave function; information compensation; sound field reconstruction.

（責(zé)任編輯：黎? 婭）