白忠玉

（?？诮?jīng)濟(jì)學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)學(xué)院，海南 ?？?71127）

0 引言

考慮變系數(shù)波方程：

其中Ω??n（n≥2）是具有C2邊界Γ的非空有界開區(qū)域，ν是Γ上的單位外法向量，?i（aij?j）是二階橢圓微分算子，aij=aji∈C1（［0 ，+∞）；W1，∞（Ω） ）∩W1，∞（Ω×［0 ，+∞） ），存在常數(shù)λ＞0，使得

關(guān)于波方程系統(tǒng)的能控性問題，許多學(xué)者進(jìn)行過研究.文獻(xiàn)［1-3］在Dirichlet或Neumann邊界控制下，用黎曼幾何方法建立了波方程的可觀測性不等式.文獻(xiàn)［4］用乘子法和緊唯一性，證明了彈性波動方程的內(nèi)部可觀測性.文獻(xiàn)［5-6］主要使用Riesz基性質(zhì)和緊致微擾方法，考慮了耦合波方程的邊界可控性與可觀測性.文獻(xiàn)［7］利用相同的控制函數(shù)，研究了阻尼波動方程的精確可控性.文獻(xiàn)［8-12］研究了具有運(yùn)動邊界區(qū)域的波方程的可觀測性和可控制性.文獻(xiàn)［13-14］討論了非圓柱域上具有混合邊界條件的波方程的可控性.

受文獻(xiàn)［1-4］的啟發(fā)，本文討論了更一般的情形，在Neumann邊界的一些幾何條件下，建立了系統(tǒng)（1）的能觀測不等式.

1 預(yù)備知識

系統(tǒng)（1）的對偶系統(tǒng)：

解的能量定義為

且

取定點(diǎn)x0∈?n，令記邊界Γ上兩個不相交的開集Γ1，Γ2分別為

設(shè)η，ε＞0，μ≥0，?ζ∈?n，使得

及

令

使

當(dāng)μ=0時，取

2 主要結(jié)果及證明

首先，證明下面的引理.

引理1

證明 由（4）、（5）和（9），得（12）.

利用Gronwall不等式，從（12）可推出（13）.

定理1若（2）、（6）、（10）和（11）成立，則存在兩個正數(shù)C，C′，使得系統(tǒng)（3）的解滿足不等式

證明 任取函數(shù)p∈ （W1，∞（Ω））n和常數(shù)T＞0.由（3），得

由aij的對稱性，得

（15）中第二個積分的最后兩項(xiàng)乘以2，并分部積分，得

利用假設(shè)pk∈W1，∞（Ω）、aij∈W1，∞（Ω×［0 ，+∞） ）、（2）和估計（12），知（17）右邊能被C0E（0）放大，其中C0＞0.

此外，由系統(tǒng)（3）中的齊次Neumann邊界條件，有

和

因此，（17）的右邊化為

選函數(shù)p，使p=ν，x∈Γ，則（14）第二個不等式中C′=C0.

現(xiàn)在取pp（（x））=h（x），（17）化為

進(jìn)一步，由（3）推出

由（4）、（6）和（7），得

對（18）最后一個積分，有

所以，由（4）、（8），得

于是，由（18）、（19），得不等式

若E（T）≥E（）0，由（12），有

再由（20），得

和（14）式的第一個估計

同理，可討論E（T）≤E（）0的情形，得（14）式的第二個估計.證畢.