姚愛娣，王 林

（安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽 淮南232001）

0 引言

當(dāng)前在物理學(xué)和工程學(xué)中，很多問題都可以歸結(jié)為微分方程的數(shù)學(xué)形式，基于此二階梯度微分方程求解算法也逐漸廣泛地應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、組合優(yōu)化、自動(dòng)控制和機(jī)器學(xué)習(xí)等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域.非滑移函數(shù)的二階梯度微分是非滑移分析的重要組成部分，是二階梯度微分算法優(yōu)化問題研究的基礎(chǔ)［1］.考慮到當(dāng)前的經(jīng)典二階梯度微分算法缺少防滑特性，導(dǎo)致該算法不適用于對(duì)防滑問題的優(yōu)化解決方面.在此基礎(chǔ)上，提出了一種非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法，通過對(duì)各種防滑概念和微分理論進(jìn)行調(diào)查分析，建立二階梯度微分方程求解的優(yōu)化算法，通過優(yōu)化非光滑函數(shù)及分析力學(xué)結(jié)構(gòu)特征，實(shí)現(xiàn)對(duì)二階梯度微分方程求解算法的防滑性能和精準(zhǔn)度進(jìn)行提高的研究要求.

1 二階梯度微分方程求解算法

1.1 凸函數(shù)的一階和二階性質(zhì)定義

在二階梯度微分方程求解算法中，必須考慮目標(biāo)函數(shù)的二階泰勒數(shù)值及凸函數(shù)性質(zhì)特征，以此作為二階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)研究的判斷依據(jù).在一般函數(shù)中，由于缺少特征導(dǎo)數(shù)，所以有必要把微分方程中的凸函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)換為非線性的二階導(dǎo)數(shù)［2］.在進(jìn)行轉(zhuǎn)換的過程中，需要考慮到其收斂性x及收斂速度v，進(jìn)一步結(jié)合Alexandrov定理對(duì)二階梯度微分方程凸函數(shù)性質(zhì)的一階梯度特征和二階梯度特征進(jìn)行分析判斷，并利用Mignote定理分析二階梯度微分方程中的凸函數(shù)梯度映射參數(shù)ω和梯度的關(guān)系A(chǔ)，同時(shí)利用二階梯度微分方程中的次微分外半連續(xù)性特征對(duì)凸函數(shù)的二階廣義導(dǎo)數(shù)進(jìn)行定義，記為f（x）.進(jìn)一步對(duì)差商函數(shù)的一致收斂性及其相關(guān)性特征進(jìn)行規(guī)范，并制定相應(yīng)的規(guī)范定理，具體如下：

定義1假設(shè)一階梯度微分方程中的凸函數(shù)為f，在節(jié)點(diǎn)x∈intdomf處有一階梯度特征展式，且滿足：

在上述算法中，凸函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)幾乎處處存在，若在點(diǎn)x∈R時(shí)，上述算法成立，則進(jìn)一步在二階偏導(dǎo)數(shù)在intdomf中對(duì)將凸函數(shù)次微分的外半連續(xù)性進(jìn)行推導(dǎo)和轉(zhuǎn)換，從而得到凸函數(shù)的二階性質(zhì)特征，在二階梯度微分方程中，?f點(diǎn)在函數(shù)中的定義可記為：

定義2設(shè)在二階梯度微分方程中的凸函數(shù)收斂性能為f：Rn→R，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)中都存在y∈intdomf，則有凸函數(shù)的二階線性特征展式，具體為：

定義3進(jìn)一步將gx設(shè)置為凸函數(shù)的映射函數(shù).g表示點(diǎn)x的微分狀態(tài)，則根據(jù)公式（1）可得u=Tv＊fx.且滿足f（x+ω）≥0，b為二階梯度微分方程中的歐氏閉環(huán)，s為雅可比矩陣.則：

定義4在符合一般微分概念的情況下，根據(jù)定理2對(duì)凸函數(shù)特征集合進(jìn)行規(guī)范，記為E［3］.且滿足E的取值范圍始終在Dmaxf（x+ω）和Dminf（x+ω），且二者差集為零.則：

基于上述定義進(jìn)行凸函數(shù)的二階梯度特征采集和判斷，以此更好地保證對(duì)二階梯度微分方程求解的準(zhǔn)確性［4］.

1.2 非光滑函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解算法

基于凸函數(shù)的一階和二階性質(zhì)進(jìn)一步對(duì)非光滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，通常情況下，偏微分方程存在無限多個(gè)解，在求解過程中極易出現(xiàn)誤差，為解決這一問題，須利用非光滑函數(shù)算法在二階梯度微分方程中添加附加條件，進(jìn)行結(jié)果篩選［5］.進(jìn)一步結(jié)合偏微分方程對(duì)非光滑函數(shù)導(dǎo)數(shù)的普遍規(guī)律進(jìn)行分析，在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)求解的過程中，每個(gè)凸函數(shù)都存在一個(gè)方向?qū)?shù)，在方向?qū)?shù)范圍內(nèi)的有效域中通常缺少非凸函數(shù)，基于此需要進(jìn)一步將凸函數(shù)的方向?qū)?shù)推導(dǎo)至非凸函數(shù)上，并引入一階廣義導(dǎo)數(shù)和非凸函數(shù)次導(dǎo)數(shù)的概念對(duì)其性質(zhì)及相互關(guān)系進(jìn)行優(yōu)化，具體為：

其中，τ為凸函數(shù)在d點(diǎn)處沿方向，且d∈R.f°（x，d）為狹義方向?qū)?shù)，進(jìn)一步對(duì)其廣義方向?qū)?shù)進(jìn)行求解，具體為：

進(jìn)一步對(duì)其方向次導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，可記為：

進(jìn)一步對(duì)二階梯度微分方程中的完全凸函數(shù)及局部Lipschitz函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，若Df導(dǎo)數(shù)中的二元微分方向?yàn)閦，凸性函數(shù)的次差為p，局部函數(shù)為k.則進(jìn)一步從一階方程的一階展開和一階廣義展開出發(fā)，討論二階偏微分方程動(dòng)力學(xué)模型中凸函數(shù)的非光滑性，并以一維空間中一階偏微分方程的狀態(tài)空間表示為例，分析了凸函數(shù)的性質(zhì)，具體如下：

為保障研究結(jié)果的有效性，進(jìn)一步對(duì)二階梯度微分方程的邊界光滑數(shù)條件進(jìn)行規(guī)范，可記為：

其中，C1n（a，b）及C2n（a，b）分別表示一階、二階倒數(shù)中的及初始條件，且：

在上述算法中，a表示狀態(tài)變量，b為無窮參數(shù).若在進(jìn)行非光滑函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解的過程中z∈［a，b］，非光滑函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng)為m，ui（y）表示光滑參數(shù)，則進(jìn)一步對(duì)最優(yōu)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行篩查，具體算法為：

基于上述算法對(duì)二階梯度微分方程的定解問題進(jìn)行求解，需要先求出其一般解平滑性導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)定解條件確定微分函數(shù)［6］.結(jié)合分離系數(shù)及非光滑線性算法對(duì)二階偏微分方程進(jìn)行求解，并采用傅立葉級(jí)數(shù)求解傅立葉變換積分，以此推導(dǎo)出一維數(shù)學(xué)物理方程的定解，并將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)微分方程，以此進(jìn)一步對(duì)二階梯度微分定解進(jìn)行推導(dǎo).考慮到微分方程的非光滑性特征，在求解的過程中需要對(duì)導(dǎo)數(shù)的二階梯度初始條件進(jìn)行反演.由于當(dāng)前采用的經(jīng)典方程在求解過程中，求解方法大多采用近似值模式進(jìn)行定解的篩選，因此定解求導(dǎo)結(jié)果容易出現(xiàn)差異，因此需要進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化，基于一階偏微分方程進(jìn)行二階梯度狀態(tài)的求導(dǎo)，若一階初始條件滿足：

則進(jìn)一步對(duì)非光滑函數(shù)的常規(guī)微分方程的定解進(jìn)行推導(dǎo)，具體算法為：

基于上述算法進(jìn)行推導(dǎo)假設(shè)，若一階微分方程中的微分算子是線性的，則導(dǎo)數(shù)的非光滑性擴(kuò)散特征為線性或仿射狀態(tài)，因此需要進(jìn)一步對(duì)方程求解方法進(jìn)行條件附加，以實(shí)現(xiàn)對(duì)二階梯度微分方程的有效求解.

1.3 二階梯度微分方程求解的實(shí)現(xiàn)

在二階梯度微分方程的可行域中，結(jié)合非光滑函數(shù)算法進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)值的規(guī)范計(jì)算，提高非光滑函數(shù)的適用性.在初始解條件不變的情況下，對(duì)二階梯度微分方程特征的聯(lián)合性特征進(jìn)行連接，并提供相應(yīng)的交換樣本，從而更好地對(duì)微分交叉和變異算子進(jìn)行采集計(jì)算［7］.在計(jì)算過程中易出現(xiàn)交叉算子部分位元交換現(xiàn)象，需要進(jìn)行替換，以此求解非光滑函數(shù)二階梯度微分方程的最終結(jié)果.為避免傳統(tǒng)的求解方法中常見的慣性流變量問題，結(jié)合特征變量與線性加爾金法對(duì)求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行配點(diǎn)比對(duì)，以提高計(jì)算精度.在二階梯度微分方程中，若收斂性變量擬穩(wěn)態(tài)為win，非光滑性動(dòng)態(tài)信息特征數(shù)值為Gin，梯度慣性流動(dòng)近似比為Tin.利用非光滑函數(shù)的慣量積分進(jìn)行奇異性數(shù)值的建模，為提高算法有效性，對(duì)微分方程的非光滑性特征進(jìn)行約束.因此需要對(duì)微分方程的非光滑特征約束算法進(jìn)行優(yōu)化，具體為：

其中，Δx=（x1，x2，…，xt）為非光滑導(dǎo)數(shù)慣性流自變量，ux=u（x1，x2，…，xj）表示未知參數(shù)，m=m1+m2+…+mt表示約束值.

進(jìn)一步對(duì)最大階偏微分方程的組階進(jìn)行計(jì)算，基于微分變量特征可知，未知參數(shù)與偏微分方程簡潔性的關(guān)系，導(dǎo)致偏微分方程有無限多個(gè)解，為此需要對(duì)其定解預(yù)先設(shè)置定值條件.利用迭代算法實(shí)現(xiàn)對(duì)定解的快速逼近及誤差控制處理.通過引入多個(gè)非光滑特征，進(jìn)行迭代，并不斷縮小取值范圍，降低誤差數(shù)值，具體算法為：

進(jìn)一步結(jié)合非光滑函數(shù)的局限性，進(jìn)行最優(yōu)定解取值范圍推導(dǎo)，具體推導(dǎo)原理如下：

基于上述算法，可有效實(shí)現(xiàn)對(duì)二階梯度微分方程的進(jìn)行多次迭代獲取最優(yōu)解的研究目標(biāo)，更好地提高計(jì)算結(jié)果的精確度.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文提出的非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法的實(shí)際應(yīng)用效果，通過正交分解統(tǒng)計(jì)方法（即經(jīng)典算法）進(jìn)行對(duì)比分析，得到二階梯度微分方程的全局離散空間基函數(shù).結(jié)合傳統(tǒng)的正交主元分解算法進(jìn)行對(duì)比.假設(shè)，K：｛y（zi，t）｝＊Nm-n表示梯度微分方程的動(dòng)態(tài)性質(zhì)的測量數(shù)據(jù)，｛y（zi，t）｝N表示非光滑性特征，k｛i（za，t）｝n為奇異性數(shù)值，且可以轉(zhuǎn)化約束參數(shù)，則對(duì)二階梯度的內(nèi)積時(shí)間平均值進(jìn)行定義，具體如下：

進(jìn)一步在有限的約束狀態(tài)下進(jìn)行參數(shù)調(diào)整，獲取奇異值并進(jìn)行非光滑性分解.將光滑性偏微分方程模型的動(dòng)態(tài)正交變量進(jìn)行定義，具體為：

為保障研究結(jié)果準(zhǔn)確有效，通過電子設(shè)備進(jìn)行求解計(jì)算，在計(jì)算過程中，輸入兩種求解算法，并分別進(jìn)行計(jì)算，為保障計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)備及運(yùn)行參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一規(guī)范，具體如表1所示.

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

基于上表信息進(jìn)一步對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行了對(duì)比分析.由于二階梯度微分方程的求解結(jié)果常常受到靜態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差的影響，基于此，分別對(duì)兩種誤差影響下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比記錄，其中，對(duì)兩種方法下的靜態(tài)誤差檢測結(jié)果進(jìn)行記錄和分析，具體如圖1所示.

圖1 靜態(tài)誤差結(jié)果對(duì)比檢測

基于上圖檢測結(jié)果進(jìn)行分析不難發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于經(jīng)典算法而言，本文提出的非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法在實(shí)際應(yīng)用過程中，靜態(tài)誤差檢測數(shù)值明顯更低，且收斂性也明顯優(yōu)于經(jīng)典算法.進(jìn)一步對(duì)比兩種方法下的動(dòng)態(tài)誤差檢測結(jié)果，并進(jìn)行記錄，具體檢測結(jié)果如圖2所示.

圖2 動(dòng)態(tài)誤差對(duì)比檢測結(jié)果

根據(jù)圖2可以看出，本文提出的非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法，在計(jì)算過程中動(dòng)態(tài)誤差數(shù)值相對(duì)于經(jīng)典算法而言，誤差率相對(duì)更低且收斂性更好.基于圖1、圖2的檢測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)，非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法在實(shí)際應(yīng)用過程中，誤差明顯更低，由此證實(shí)，非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性相對(duì)更高，充分滿足研究要求.

3 結(jié)語

利用非光滑函數(shù)求解二階梯度微分方程，基本思想是：首先利用最小二乘原理，將微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，求出最小值，然后利用非光滑函數(shù)進(jìn)行演化計(jì)算.通過算例實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比檢測表明，本文提出的非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法具有較高的計(jì)算精度，為常微分方程的求解開辟了一條新的途徑，既可以得到方程的近似解析表達(dá)式，又可以準(zhǔn)確得到定義域內(nèi)任意指定位置的近似解.對(duì)比檢測證實(shí)，文中提出的非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法具有很好的實(shí)用價(jià)值.研究證實(shí)本文提出的非光滑函數(shù)下的二階梯度微分方程算法在實(shí)際應(yīng)用過程中，具有較大的發(fā)展空間.但是，目前非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法的在實(shí)際應(yīng)用中仍受到較多局限，算法的精度也仍有待提高，需要繼續(xù)進(jìn)行改進(jìn)和完善.