翟世龍，冀若楠，侯泉文，尹劍波，龐述先

(西北工業(yè)大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710129)

在國家大力推行新工科建設(shè)的時(shí)代背景下，各高校本科基礎(chǔ)教學(xué)迫切面臨著傳統(tǒng)模式的深化改革。隨著科學(xué)研究的不斷創(chuàng)新發(fā)展，新理念、新方法、新技術(shù)不斷涌現(xiàn)，因此探索將前沿的科技成果融入教學(xué)中，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)改革、推動(dòng)新工科建設(shè)的一種直接且有效的方法[1-3]。

大學(xué)物理作為我國工科院校中普遍開設(shè)的一門低年級公共課，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)其他學(xué)科專業(yè)課程打下了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，并且在培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)和原始創(chuàng)新能力方面具有重要意義。但是，傳統(tǒng)大學(xué)物理教學(xué)仍然以經(jīng)典物理為主要內(nèi)容，往往忽視了經(jīng)典理論與學(xué)科前沿的聯(lián)系，從而導(dǎo)致教學(xué)與科研出現(xiàn)脫節(jié)，使學(xué)生對大學(xué)物理教學(xué)產(chǎn)生內(nèi)容陳舊的不良印象。實(shí)際上，隨著科學(xué)研究的不斷深入和人類對科學(xué)認(rèn)知的不斷提升，我們所熟知的知識(shí)體系往往并不是一成不變的，前人總結(jié)出的科學(xué)論斷在當(dāng)今或未來社會(huì)并不一定能夠繼續(xù)完全成立。若能將前沿的科學(xué)研究融入大學(xué)物理教學(xué)當(dāng)中，那么學(xué)生將會(huì)對大學(xué)物理的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，從而提高自身的科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)。筆者近年來一直從事超構(gòu)材料的研究。超構(gòu)材料是通過將人工功能基元進(jìn)行空間有序排列而筑成的一類新材料[4]。其核心思想在于利用具有亞波長微結(jié)構(gòu)的重構(gòu)常規(guī)材料來實(shí)現(xiàn)天然材料所不具備的反常效應(yīng)，其中最具鮮明特色的當(dāng)屬反常反射和折射。該理論于1968年由蘇聯(lián)理論物理學(xué)家Veselago提出[5]，最早實(shí)現(xiàn)于微波領(lǐng)域。隨著研究的不斷深入，其相關(guān)研究范疇迅速擴(kuò)大，目前已經(jīng)涵蓋了光學(xué)、聲學(xué)、熱學(xué)、力學(xué)等諸多領(lǐng)域，同時(shí)催生出了種類繁多的新奇效應(yīng)，諸如波的定向發(fā)射、高效吸波、隱身等[6]。因此，超構(gòu)材料被普遍認(rèn)為能夠?qū)ξ磥砉δ芷骷臉?gòu)型產(chǎn)生顛覆性影響。正是由于其具有非凡的發(fā)展?jié)摿妥吭降膽?yīng)用前景，美國《科學(xué)》雜志曾多次將其列入年度十項(xiàng)重要科學(xué)進(jìn)展之一。本文希望以超構(gòu)材料中的一個(gè)重要分支——超表面——的反常反射和折射作為引玉之磚，嘗試將前沿的科研成果融入課堂教學(xué)，扭轉(zhuǎn)學(xué)生對大學(xué)物理課程內(nèi)容陳舊的不良印象，激發(fā)學(xué)生的批判意識(shí)和原始創(chuàng)新能力。

1 費(fèi)馬原理與反射、折射定律

在大學(xué)物理課程中，我們學(xué)到了費(fèi)馬原理，該原理指出波總是沿著行程或所需時(shí)間為極值的路徑傳播，一般情況下為極小值，因此又被稱為“最短時(shí)間原理”。根據(jù)這一原理，結(jié)合數(shù)學(xué)中的微分知識(shí)，我們就可以推導(dǎo)出波在不同介質(zhì)界面處的反射和折射定律。

設(shè)折射率分別為n1和n2的兩種介質(zhì)(介質(zhì)1和介質(zhì)2)分別處在X軸的上下兩側(cè)，如圖1所示。若波從介質(zhì)1中的A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過兩介質(zhì)界面上的B點(diǎn)反射后傳播至C點(diǎn)，則波傳播的總行程S1應(yīng)為AB和BC的行程之和。設(shè)A、B和C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xA,yA)、(x,0)和(xC,yC)，則總行程為

圖1 各向同性均勻介質(zhì)界面處的反射、折射原理示意圖

(1)

根據(jù)費(fèi)馬原理，必須使S1取極值，因此將S1對x求導(dǎo)并取其導(dǎo)數(shù)為0，即可求出B點(diǎn)所在的位置。公式如下：

=0

(2)

此處，若設(shè)入射角和反射角分別為θi和θr，則公式(2)可變換為：

sinθi=sinθr

(3)

即反射角等于入射角，公式(3)為波的反射定律。

若波從介質(zhì)1中的A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過B點(diǎn)后傳播至介質(zhì)2中的D點(diǎn)(其坐標(biāo)為(xD,yD))，則波傳播的總行程S2應(yīng)為

(4)

將S2對x求導(dǎo)并取其導(dǎo)數(shù)為0：

=0

(5)

此處，若設(shè)折射角為θt，則公式(5)可變換為：

n1sinθi=n2sinθt

(6)

公式(6)為折射定律。

根據(jù)反射和折射定律，學(xué)生們可以總結(jié)出如下規(guī)律：入射波和反射波一定會(huì)處在法線的兩側(cè)，且反射角等于入射角；入射波和折射波也一定處在法線的兩側(cè)，且折射角由入射角和兩介質(zhì)的折射率共同決定。需要指出的是，以上規(guī)律成立的前提是介質(zhì)1和介質(zhì)2必須是各向同性的均勻介質(zhì)，即界面上的每個(gè)點(diǎn)對入射波的響應(yīng)都是完全一致的。但是，如果在界面處人為鋪設(shè)一層非常薄的人工材料，且該材料上的每個(gè)點(diǎn)對入射波的響應(yīng)均不相同，那么界面對入射波的反射和折射規(guī)律將會(huì)發(fā)生顛覆性的變化。由于這種人工材料的厚度通常只有入射波長的幾分之一至幾十分之一，可以近似認(rèn)為其厚度遠(yuǎn)小于波長，因此又被稱為超表面。

2 超表面的反常反射、折射定律

超表面由特殊設(shè)計(jì)的不同人工功能基元在空間上有序排列而成，它能使波入射到表面之后，形成的反射波或折射波有一個(gè)額外的相位延遲，而且這個(gè)相位延遲量φ與位置x有關(guān)，如圖2所示。下面我們根據(jù)費(fèi)馬原理重新推導(dǎo)超表面的反射和折射定律。

圖2 超表面的反射、折射原理示意圖

從波動(dòng)的角度分析，波的傳播過程反映的是相位的變化，因此“最短時(shí)間原理”也可描述為波傳播的真實(shí)路徑應(yīng)使其相位變化取極小值。由于此時(shí)超表面上的B點(diǎn)本身就引入了一個(gè)額外的相位延遲φ，因此根據(jù)公式(1)，波從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過B點(diǎn)反射到C點(diǎn)的過程中，總的相位變化應(yīng)為：

Φ1=k0S1+φ

(7)

其中，k0為波數(shù)。將Φ1對x求導(dǎo)并取其導(dǎo)數(shù)為0得[7]：

(8)

(9)

由公式(9)可以看出，此時(shí)的反射角不僅和入射角有關(guān)，還和波數(shù)、介質(zhì)折射率和超表面所引入的相位延遲在X軸上的梯度分布情況有關(guān)。這里我們通常設(shè)定波數(shù)和介質(zhì)折射率為常數(shù)，那么當(dāng)超表面上的相位延遲沿X軸等間距遞增或遞減時(shí)(即dφ/dx為一定值)，超表面上每一點(diǎn)處的反射角均能保持一致且為一定值；而當(dāng)dφ/dx為一變值時(shí)，超表面對入射波的反射將呈現(xiàn)復(fù)雜多變的形式，此處關(guān)于這部分內(nèi)容不再詳述。需要指出的一點(diǎn)是，我們所熟知的半波損失并不會(huì)對超表面的反射結(jié)果產(chǎn)生影響，因?yàn)楦鼽c(diǎn)由于半波損失而產(chǎn)生的相位差值都是相同的，并不會(huì)在X軸上產(chǎn)生梯度變化。

下面我們通過舉例簡單介紹dφ/dx為一定值時(shí)的反射情況。不妨設(shè)波的傳播介質(zhì)為空氣，即折射率n1=1。超表面的相位延遲在X軸上等間距遞增的同時(shí)，將以2π為單位進(jìn)行周期性變化，這里設(shè)定相位延遲改變一個(gè)周期對應(yīng)在X軸上前進(jìn)的長度為Γ=2λ0，λ0為入射波長，則dφ/dx=π/λ0，根據(jù)公式(9)，反射角可表示為：

θr=arcsin(sinθi+0.5)

(10)

根據(jù)公式(10)，我們可以繪制出超表面在上述相位延遲條件下的反射角與入射角的關(guān)系圖。

圖3分別給出了常規(guī)表面和超表面對不同入射角的反射情況。其中，右下角的插圖為入射角和反射角的符號(hào)標(biāo)注原則示意圖，當(dāng)入射波在法線的左側(cè)時(shí)為正，右側(cè)為負(fù)；當(dāng)反射波在法線右側(cè)時(shí)為正，左側(cè)為負(fù)。從圖中可以直觀地看出，超表面的反射角不再和入射角相等。例如，當(dāng)波垂直于超表面入射時(shí)，產(chǎn)生的反射角為30度；當(dāng)波為-30度入射時(shí)，反射卻垂直于超表面出射；當(dāng)入射角大于30度時(shí)，反射波只能沿著超表面?zhèn)鞑?，而不能向遠(yuǎn)場輻射。尤其值得注意的是曲線在第二象限中的灰色部分，在此區(qū)域內(nèi)，反射波和入射波處在法線的同側(cè)，即出現(xiàn)了負(fù)反射現(xiàn)象。這些規(guī)律和我們熟知的常規(guī)表面反射規(guī)律截然不同，因此老師們在講課中通過這部分內(nèi)容的滲透，能夠極大地激發(fā)學(xué)生對這些新奇現(xiàn)象的探索熱情和對新理論的學(xué)習(xí)興趣，并且能夠使學(xué)生對所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生更深刻的認(rèn)識(shí)和見解。

圖3 超表面和常規(guī)表面的反射角與入射角的關(guān)系圖

超表面對入射波的折射規(guī)律推導(dǎo)原理與上述過程類似，在此不再贅述。推導(dǎo)出的折射角公式如下[7]：

(11)

3 超表面的構(gòu)建方法

3.1 超表面中人工基元的設(shè)計(jì)原理

我們可以利用等效電路的知識(shí)對超表面人工基元的設(shè)計(jì)原理進(jìn)行定性分析[8]。當(dāng)波在各向同性的均勻介質(zhì)中傳播時(shí)，該介質(zhì)可以被等效成為一個(gè)具有恒定阻值的電阻，同時(shí)入射波可以被等效成為一個(gè)交變電壓，則經(jīng)過該介質(zhì)的波與入射波之間不會(huì)產(chǎn)生相位延遲。但是，如果我們將均勻介質(zhì)替換成為具有特定形狀和結(jié)構(gòu)的人工基元，由于構(gòu)成人工基元的材料與其周圍的介質(zhì)之間存在邊界效應(yīng)，那么該基元不能再被簡單地等效成一個(gè)電阻，而應(yīng)該被看成是電感和電容的耦合，并最終產(chǎn)生一等效阻抗，此時(shí)的等效阻抗將會(huì)導(dǎo)致經(jīng)過該基元的波與入射波之間產(chǎn)生一定的相位延遲?；慕Y(jié)構(gòu)、形狀和尺寸的差異將會(huì)導(dǎo)致相位延遲大小的不同，因此可以通過優(yōu)化基元的結(jié)構(gòu)參數(shù)來實(shí)現(xiàn)其相位延遲從0到2π的變化。通常情況下，單個(gè)人工基元的結(jié)構(gòu)尺寸是遠(yuǎn)小于波長的，因此可以把由這種單層基元有序排列而成的介質(zhì)近似地看作是均勻介質(zhì)表面，只是其等效阻抗與常規(guī)介質(zhì)存在差異而已。

需要指出的是，雖然在大學(xué)物理中，反射和折射定律出現(xiàn)在了幾何光學(xué)部分，但是這些規(guī)律對所有類型的波均適用，包括電磁波、聲波和機(jī)械波等。由于聲波是縱波，相對于電磁波而言不涉及極化、偏振等問題，以聲波為案例來進(jìn)行超表面基元的講解將更能突出問題的重點(diǎn)，并且更容易被學(xué)生所理解和掌握，因此我們選取了一種典型的聲學(xué)超表面模型為例來詳細(xì)講解基元的設(shè)計(jì)思路，如圖4所示[9]。其中，圖4(a)展示了基元的二維模型示意圖，它是由一個(gè)下端開口的空腔和一個(gè)用來封住開口部分的橡膠薄膜組成的。其中，入射聲波波長λ0=92.7 mm?？涨坏母叨萮=10 mm，空腔寬度w在6.5 mm至10 mm之間取值。薄膜厚度t=0.07 mm，薄膜的質(zhì)量密度、楊氏模量和泊松比分別為920 kg/m3、6.9×109 Pa和0.36。當(dāng)聲波從下向上入射到該基元上時(shí)，基元可以被等效為多個(gè)電感與電容的耦合[10]，因此基元會(huì)由于存在等效阻抗而對入射波產(chǎn)生相位延遲。通過改變基元內(nèi)空腔的寬度w，即可改變其阻抗，進(jìn)而在0至2π之間實(shí)現(xiàn)不同的相位延遲，如圖4(b)所示。

(a)

(b)圖4 聲學(xué)超表面基元模型結(jié)構(gòu)示意圖及其反射相位延遲與w的變化關(guān)系[9]

3.2 基元的有序排列

在圖4(b)中，雖然我們可以得到相位延遲與w之間的連續(xù)變化關(guān)系，但是考慮到每個(gè)基元的寬度并不是無限小量，因此實(shí)際構(gòu)建超表面的時(shí)候只能選取有限個(gè)離散的基元來實(shí)現(xiàn)相位延遲在0到2π之間等間距的變化。通常情況下選取8個(gè)基元分別實(shí)現(xiàn)0、π/4、π/2、3π/4、π、5π/4、3π/2和7π/4的相位延遲，在此模型中對應(yīng)的w取值分別為10 mm、8.504 mm、8.224 mm、8.072 mm、7.947 mm、7.801 mm、7.549 mm和6.485 mm，在圖4(b)中的曲線上以圓點(diǎn)表示[9]。下面我們就結(jié)合該基元模型，以周期長度Γ=2λ0=185.4 mm為例來說明如何將不同基元進(jìn)行有序排列來實(shí)現(xiàn)超表面上的梯度相位延遲，如圖5所示。由于在8個(gè)選定的基元中，最大的基元寬度也沒有超過10 mm，而每隔Γ/8(此處為23.175 mm)的距離上就應(yīng)產(chǎn)生π/4的相位延遲，因此為了充分利用空間，我們在每個(gè)Γ/8區(qū)間內(nèi)放置兩個(gè)相同的基元。隨著位置不斷向右推進(jìn)，依次擺放兩個(gè)所需基元即可，直至將本周期排滿，下一周期按此規(guī)律循環(huán)往復(fù)。通過基元的這種有序排列，我們就成功構(gòu)建出了具有圖3所示性質(zhì)的超表面。

圖5 聲學(xué)超表面基元有序排列方法示意圖

由此可見，超表面的設(shè)計(jì)原理并不復(fù)雜，因此老師可以引導(dǎo)學(xué)生在課下進(jìn)行深入探索，利用科學(xué)的手段自行設(shè)計(jì)基元模型，構(gòu)建超表面，研究其反常反射或反常折射性能，這一過程既有助于激發(fā)學(xué)生們的創(chuàng)新能力，也有利于提高他們的科學(xué)素養(yǎng)。

4 結(jié) 語

在新工科建設(shè)的背景下，基礎(chǔ)教學(xué)與前沿科學(xué)的有機(jī)融合已迫在眉睫。本文希望通過對超表面反常反射和折射規(guī)律的簡要介紹，將物理學(xué)前沿的科研成果融入大學(xué)物理的授課內(nèi)容中，使學(xué)生在掌握基礎(chǔ)物理學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，開拓自己的科學(xué)視野，打破對物理知識(shí)的常規(guī)理解，培養(yǎng)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式，增強(qiáng)原始創(chuàng)新能力，為將來在各學(xué)科中從事科學(xué)研究打下重要的基礎(chǔ)。也希望通過本文對超表面理論的淺顯講解，能夠有助于豐富課堂內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)為大學(xué)物理的授課老師提供新穎的教學(xué)素材。