盧肖然，馬 彬，鄧 莉，張?jiān)姲矗瑖?guó)澤镕，李浩源

(華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，上海 200241)

氣墊導(dǎo)軌可以模擬無摩擦環(huán)境，是測(cè)量瞬時(shí)速度、加速度、牛頓第二定律、碰撞實(shí)驗(yàn)的重要教學(xué)儀器。實(shí)驗(yàn)中利用氣墊導(dǎo)軌氣孔噴出氣體，形成氣膜，使滑塊產(chǎn)生懸浮，有效減小運(yùn)動(dòng)過程中滑塊與導(dǎo)軌之間的滑動(dòng)摩擦，從而較準(zhǔn)確地測(cè)量重力加速度，驗(yàn)證牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律等實(shí)驗(yàn)。然而在實(shí)際實(shí)驗(yàn)操作過程中，氣墊導(dǎo)軌雖然可以減小滑動(dòng)摩擦帶來的實(shí)驗(yàn)誤差，但氣泵氣流分布不均、氣壓不穩(wěn)定等都會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果造成的更復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差，為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析帶來困難[1-10]。

本文中，我們聚焦空氣黏滯阻力對(duì)測(cè)量精度的影響，分析了氣泵不同氣流強(qiáng)度、滑塊速度、氣壓分布導(dǎo)致氣墊導(dǎo)軌對(duì)運(yùn)動(dòng)滑塊的氣體摩擦力及滑塊瞬時(shí)速度測(cè)量的影響，基于分析結(jié)果提出在重力加速度加入修正項(xiàng)，可以減小空氣黏滯阻力對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的影響，為優(yōu)化實(shí)驗(yàn)方案提供參考。

1 實(shí)驗(yàn)原理

圖1為滑塊瞬時(shí)速度測(cè)量的實(shí)驗(yàn)裝置。

圖1 滑塊瞬時(shí)速度測(cè)量的實(shí)驗(yàn)裝置

先將氣墊導(dǎo)軌AB調(diào)至水平狀態(tài)，將導(dǎo)軌一端AO抬至不同高度，使導(dǎo)軌形成不同傾角θ。光電門P1和P2分別放置在導(dǎo)軌上，其位置可以隨意調(diào)整。遮光板固定在滑塊上，總質(zhì)量為m。設(shè)實(shí)驗(yàn)中滑塊通過第一個(gè)光電門P1時(shí)的瞬時(shí)速度為v1，通過第二個(gè)光電門P2時(shí)的瞬時(shí)速度為v2，滑塊在導(dǎo)軌上滑動(dòng)的加速度為a，P1、P2之間的距離為s，則：

v2=v1-at

(1)

(2)

瞬時(shí)速度與平均速度關(guān)系為：

(3)

(4)

進(jìn)一步可推出：

(5)

根據(jù)牛頓第二定律可以得到加速度的理論值：

a0=gsinθ

(6)

1.1 空氣流速和氣壓的影響

通過氣泵旋鈕調(diào)節(jié)導(dǎo)軌表面小孔的出氣量，氣泵的擋數(shù)越高，出氣量就越大，假設(shè)實(shí)驗(yàn)中氣流的溫度不變，通過調(diào)節(jié)氣泵的檔位改變導(dǎo)軌上的氣流流速。物體相對(duì)于流體的運(yùn)動(dòng)速度v，物體所受黏滯阻力為F，流體的黏滯系數(shù)為b，當(dāng)v較小時(shí)，F(xiàn)與成v、b成正比。這一規(guī)律稱為斯托克定律。由于壓強(qiáng)變化對(duì)分子的動(dòng)量交換影響非常微弱，所以氣體的黏性隨壓強(qiáng)的變化很小。

1.2 空氣黏滯阻力的作用原理

氣泵將空氣從氣墊導(dǎo)軌表面的小孔高速垂直噴出,使滑塊懸浮在導(dǎo)軌面上,滑塊在水平方向分力的作用下運(yùn)動(dòng)。從滑塊的運(yùn)動(dòng)方向來看,可以認(rèn)為緊貼導(dǎo)軌表面的空氣層相對(duì)于導(dǎo)軌是完全不動(dòng)的,緊貼滑塊內(nèi)表面的空氣層同滑塊以相同的速度運(yùn)動(dòng)。中間氣層的厚度近似為滑塊的飄浮高度,它分成若干層,層與層之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng),滑塊向外的表面同樣與外表面的空氣有相對(duì)運(yùn)動(dòng),便產(chǎn)生了摩擦阻力,對(duì)滑塊的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生阻礙作用，由此產(chǎn)生空氣黏滯阻力[1]。

2 空氣黏滯力造成系統(tǒng)誤差的修正

2.1滑塊運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)的推導(dǎo)與測(cè)量

當(dāng)氣墊導(dǎo)軌水平時(shí)F=0，根據(jù)牛頓第二定律有：

(8)

積分化簡(jiǎn)為：

(9)

化簡(jiǎn)求得阻尼系數(shù)：

(10)

按照?qǐng)D1所示，我們測(cè)量了OA=5 cm，時(shí)，氣泵擋位為3、4、5、6擋時(shí)(擋位為1、2檔，滑塊無法懸浮)，光電門位置相距40 cm處，兩光電門測(cè)量的瞬時(shí)速度，并根據(jù)式(10)，計(jì)算出其黏滯系數(shù)，如下表1、3、4、5所示。

表1 氣泵3檔黏滯阻力系數(shù)相關(guān)數(shù)據(jù)(狹縫寬度1 cm)

圖2 滑塊速度與阻尼系數(shù)關(guān)系

表3 氣泵4檔黏滯阻力系數(shù)相關(guān)數(shù)據(jù)(狹縫寬度1 cm)

表4 氣泵5檔黏滯阻力系數(shù)相關(guān)數(shù)據(jù)(狹縫寬度1 cm)

表5 氣泵6檔黏滯阻力系數(shù)相關(guān)數(shù)據(jù)(狹縫寬度1 cm)

據(jù)表1的數(shù)據(jù)，我們做出滑塊瞬時(shí)速度v1與阻尼系數(shù)b之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)隨著速度的增大，空氣黏滯系數(shù)從0增加到最大值，然后漸漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值。將氣泵擋位處于3、4、5、6的阻尼系數(shù)b畫在同一個(gè)圖中，發(fā)現(xiàn)不同擋位，其阻尼系數(shù)b隨速度變化的趨勢(shì)不同，隨著氣泵擋位的提高，其噴出的氣流越大， 實(shí)驗(yàn)測(cè)得的運(yùn)動(dòng)阻尼系數(shù)就越不穩(wěn)定，甚至有上升趨勢(shì)。

圖3 氣流強(qiáng)度與阻尼系數(shù)的關(guān)系

2.2 重力加速度的修正項(xiàng)

當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)速度不大時(shí)，空氣黏滯阻力與滑塊的運(yùn)動(dòng)速度成正比關(guān)系，有f空氣=-bv.其中b為黏滯阻力系數(shù)，由牛頓第二定律得：

(11)

(12)

(13)

其中v1是滑塊通過第一道光電門的速度，整理得：

(14)

(15)

(16)

將實(shí)驗(yàn)測(cè)得的重力加速度與上海當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣菺0=9.796 4 /m·s-2比較計(jì)算相對(duì)誤差分別有：

不考慮空氣黏滯阻力時(shí)的相對(duì)誤差：

表6 墊塊高度為5 cm時(shí)重力加速度的測(cè)量

3 實(shí)驗(yàn)優(yōu)化方案

3.1 速度對(duì)系統(tǒng)誤差的影響

在處理數(shù)據(jù)時(shí)，盡管我們把阻尼系數(shù)b作為常數(shù)處理，但是滑塊速度v越大時(shí)，其受到的摩擦力也相應(yīng)越大，導(dǎo)致速度的損失也越大，在實(shí)驗(yàn)所需的條件下，運(yùn)動(dòng)滑塊的質(zhì)量m是一定的，所以因黏滯阻力而造成的速度損失主要取決于滑塊的瞬時(shí)速度，所以本實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差主要來源于空氣對(duì)滑塊的黏滯阻力。實(shí)驗(yàn)中為了使得因黏滯阻力所造成的速度損失量與滑塊自身速度大小相比所占比例減少些，盡量減少系統(tǒng)誤差，不增加其他誤差的前提下選用較大的實(shí)驗(yàn)速度進(jìn)行測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確性會(huì)更高。

3.2 氣流強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)誤差的影響

滑塊運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)b的大小由滑塊內(nèi)表面積、空氣黏滯系數(shù)等相關(guān)。實(shí)驗(yàn)中測(cè)得，若氣流強(qiáng)度較大，滑塊懸浮高度較高，其運(yùn)動(dòng)就會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象，因此在實(shí)驗(yàn)中還應(yīng)選取氣流強(qiáng)度相對(duì)較小的氣泵，使滑塊懸浮高度相對(duì)低些。

3.3 氣泵氣壓不足引起的系統(tǒng)誤差

氣墊導(dǎo)軌的氣流是從氣墊的中腔輸入，然后從表面噴出，氣流從氣軌的一端流到另一端。由于氣流的速度不大，所以流動(dòng)的為層流。隨著氣流流動(dòng)的前進(jìn)方向，壓強(qiáng)也隨之降低。進(jìn)氣端的氣軌與滑塊所形成的氣層一定比出氣端氣軌與滑塊所形成的氣層高一些。將滑塊放置在水平導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌從右端進(jìn)氣，輕輕推動(dòng)滑塊使其左右移動(dòng)，調(diào)節(jié)導(dǎo)軌水平高度使滑塊經(jīng)過兩個(gè)光電門時(shí)的速度相等。由于v是相等的，同一處壓力P與密度ρ成正比[3,4]，噴氣后密度減小，越靠近下游越小，因此進(jìn)氣端氣軌與滑塊所形成的氣層一定比出氣端氣軌與滑塊所形成的氣層高一些。所以，實(shí)驗(yàn)中選擇用測(cè)速調(diào)平法來調(diào)整氣軌的平衡。通過不斷調(diào)整一段的旋鈕來調(diào)整氣軌的高度，使滑塊從進(jìn)氣端至出氣端經(jīng)過兩個(gè)光電門的速度大致相等。以抵消運(yùn)動(dòng)過程中的摩擦阻力，從而達(dá)到減小實(shí)驗(yàn)誤差的效果。

4 結(jié) 語

滑塊在導(dǎo)軌上的運(yùn)動(dòng)往往被人們假設(shè)為理想化的無摩擦運(yùn)動(dòng),忽略了滑塊在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的氣體內(nèi)摩擦,氣體內(nèi)摩擦黏滯性阻力對(duì)滑塊的運(yùn)動(dòng)造成附加的速度損失,由此產(chǎn)生了更多的實(shí)驗(yàn)誤差，我們對(duì)氣軌上的各種摩擦阻力加以分析,通過對(duì)重力加速度的修正，減少空氣黏滯阻力這一實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的影響。