葉年輝，龍騰,2，武宇飛，唐亦帆，史人赫

1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081

2. 北京理工大學(xué) 飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081

3. 清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084

進(jìn)化算法通過(guò)模擬某些自然界的現(xiàn)象或過(guò)程，如變異、繁殖、遺傳重組、優(yōu)勝劣汰等操作，充分探索設(shè)計(jì)空間，快速高效地求解優(yōu)化問(wèn)題。與傳統(tǒng)的優(yōu)化算法(如牛頓法、共軛梯度法等)相比，進(jìn)化算法無(wú)需利用目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，運(yùn)用范圍更廣泛，但在進(jìn)化過(guò)程中需要消耗大量的計(jì)算資源。在幾種典型的進(jìn)化算法中，相比于粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法、遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)，差分進(jìn)化(Differential Evolution，DE)算法在魯棒性、算法控制參數(shù)規(guī)模等方面具有顯著優(yōu)勢(shì)[1-2]。此外，為提升差分進(jìn)化算法的約束處理能力，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了眾多約束差分進(jìn)化算法，主要包括：約束差分進(jìn)化算法((μ+λ)-Constrained Differential Evolution，(μ+λ)-CDE)[3]、基于ε等級(jí)比較機(jī)制的差分進(jìn)化算法[4]、種群協(xié)同差分進(jìn)化算法[5]等。

日益廣泛應(yīng)用的高精度分析模型(計(jì)算流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)有限元、計(jì)算電磁學(xué)等)不斷增加飛行器設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜性，導(dǎo)致差分進(jìn)化算法難以高效地求解現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題。以全電推衛(wèi)星平臺(tái)設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題為例，結(jié)構(gòu)有限元、軌道轉(zhuǎn)移動(dòng)力學(xué)等模型的使用，提高了設(shè)計(jì)可信度與設(shè)計(jì)質(zhì)量，但單次仿真計(jì)算成本大大增加，導(dǎo)致設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程計(jì)算十分耗時(shí)[6]。為了提高計(jì)算效率，代理模型(Surrogate或Metamodel)廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)優(yōu)化。文獻(xiàn)[7-8]從近似精度、魯棒性、時(shí)效性與軟件實(shí)現(xiàn)難度幾個(gè)方面，對(duì)多項(xiàng)式響應(yīng)面(Polynomial Response Surface Method，PRSM)[9]、徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)[10]、Kriging代理模型(KRG)[10]和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]的綜合性能進(jìn)行了對(duì)比研究。研究結(jié)果表明，KRG的綜合性能相較于其他代理模型具有顯著優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[12-13]對(duì)KRG代理模型及其優(yōu)化方法的最新研究進(jìn)行了全面的介紹，指出目前KRG近似理論研究主要方向包括梯度增強(qiáng)的KRG模型[14]、CoKriging模型[15]、分層KRG模型[16]等。此外，由于KRG可以提供任意點(diǎn)的預(yù)測(cè)方差，在基于KRG的近似優(yōu)化方法領(lǐng)域發(fā)展了多種優(yōu)化加點(diǎn)策略，包括期望改善度準(zhǔn)則[17]、改善概率準(zhǔn)則[18]、均方差準(zhǔn)則[12]等。

在代理模型理論基礎(chǔ)上，基于代理模型的進(jìn)化算法(Surrogate Assisted Evolution Algorithms，SAEAs)近年來(lái)得以不斷發(fā)展[19-20]。SAEAs的基本思想是在進(jìn)化過(guò)程中通過(guò)進(jìn)化操作生成后代種群，并利用代理模型預(yù)測(cè)后代種群的目標(biāo)函數(shù)值，減少對(duì)原分析模型的調(diào)用次數(shù)；同時(shí)根據(jù)后代種群信息選取部分后代個(gè)體作為新增樣本點(diǎn)，在種群進(jìn)化同時(shí)動(dòng)態(tài)更新代理模型。目前，SAEAs研究主要關(guān)注于求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。陶良波[21]提出了一種基于雙層多代理模型的粒子群優(yōu)化算法，利用期望改善度(Expected Improvement, EI)準(zhǔn)則與混合代理模型，提高了求解低維無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題(設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)不超過(guò)20)的全局收斂性。Liu等[22]結(jié)合降維技術(shù)提出了一種基于高斯過(guò)程的進(jìn)化算法(Gaussian Process Surrogate Model Assisted Evolutionary algorithm, GPEME)，降低了中低維度(設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)在20～50之間)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題復(fù)雜程度。Yu等[23]在經(jīng)典PSO算法中結(jié)合社會(huì)PSO算法，提出了一種基于代理模型的分層粒子群算法，提高了算法對(duì)高維無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題(設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)超過(guò)50)的局部搜索能力。田杰等[24]提出了一種基于多目標(biāo)加點(diǎn)規(guī)則的高斯過(guò)程模型輔助社會(huì)粒子群算法，結(jié)合EI準(zhǔn)則與統(tǒng)計(jì)下限最小準(zhǔn)則選取新增樣本點(diǎn)，與GPEME相比在高維問(wèn)題上具有更好的全局收斂性。然而目前面向約束優(yōu)化問(wèn)題的SAEAs的研究較少，導(dǎo)致SAEAs在實(shí)際工程中的應(yīng)用受到限制。Wang等[25]利用差分進(jìn)化分別選取全局與新增搜索樣本，提出了一種基于進(jìn)化采樣的優(yōu)化方法，并結(jié)合罰函數(shù)方法成功應(yīng)用于翼型優(yōu)化問(wèn)題中。然而，基于罰函數(shù)的約束處理方法存在罰系數(shù)選取困難的問(wèn)題，若罰系數(shù)選取不當(dāng)，將造成收斂速度下降甚至無(wú)法找到可行改善解。為避免罰系數(shù)選取問(wèn)題，Wang等[26]提出了一種基于全局與局部代理模型的差分進(jìn)化(Global and Local Surrogate Assisted Differential Evolution, GLoSADE)算法，在全局探索過(guò)程中引入可行準(zhǔn)則進(jìn)行個(gè)體比較，并利用內(nèi)點(diǎn)法對(duì)種群所有個(gè)體進(jìn)行局部?jī)?yōu)化，在一定的計(jì)算資源情況下可有效求解約束優(yōu)化問(wèn)題。然而，該方法每代均需要反復(fù)調(diào)用原分析模型重估種群，造成計(jì)算效率低下、收斂速度緩慢。

為了提高SAEAs在求解飛行器等約束優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算效率與全局收斂性，本文提出了一種基于KRG代理模型的約束差分進(jìn)化算法(Kriging assisted Constrained Differential Evolution, KRG-CDE)。通過(guò)差分進(jìn)化操作進(jìn)行全局探索，并結(jié)合約束改善概率與最優(yōu)適應(yīng)度選取探索樣本，降低代理模型近似誤差導(dǎo)致優(yōu)化性能下降的風(fēng)險(xiǎn)。通過(guò)序列二次規(guī)劃進(jìn)行局部搜索生成搜索樣本，提高種群收斂速度。最后，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例與全電推衛(wèi)星多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題與國(guó)際同類算法進(jìn)行對(duì)比研究，驗(yàn)證了KRG-CDE算法的有效性與工程實(shí)用性。

1 基本算法介紹

1.1 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法是一種常見的隨機(jī)搜索算法，通過(guò)變異、交叉以及選擇操作在進(jìn)化過(guò)程中不斷提高種群適應(yīng)度，逐漸收斂至優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解附近[1]。

表1 常用變異策略

由交叉操作將xi與對(duì)應(yīng)的vi進(jìn)行交叉，生成試驗(yàn)個(gè)體ui，即

j=1,2,…,nv

(1)

式中：CR為變異概率；jrand為屬于[1,d]的隨機(jī)整數(shù)；rj為在[0, 1]內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。最后，通過(guò)選擇操作比較xi與ui，選取目標(biāo)函數(shù)值較小者作為下一代父代個(gè)體。

1.2 KRG代理模型

KRG代理模型是一種估計(jì)方差最小的無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)插值模型，由全局模型和局部偏差疊加而成[7]。KRG方法的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2)

式中：μ(x)是設(shè)計(jì)空間內(nèi)全局的近似模型，反映原分析模型在設(shè)計(jì)空間內(nèi)的總體變化趨勢(shì)。局部偏差項(xiàng)Z(x)是均值為0、方差為σ2、協(xié)方差非零的隨機(jī)過(guò)程，表征在全局近似模型基礎(chǔ)上的局部偏差，其協(xié)方差矩陣與相關(guān)函數(shù)為

(3)

μ與σ2的最小二乘估計(jì)值可根據(jù)式(4)得到

(4)

式中：I為NKRG個(gè)元素的單位行向量。KRG方法的具體描述可參考文獻(xiàn)[7, 10]。

1.3 徑向基函數(shù)

RBF是一種插值型代理模型，可表示為徑向函數(shù)線性加權(quán)形式：

(5)

其中，權(quán)重系數(shù)矢量w可由式(6)求解得到

(6)

式中:NRBF為構(gòu)造RBF代理模型的樣本規(guī)模。文獻(xiàn)[27]指出選用三次函數(shù)作為徑向函數(shù)的RBF代理模型具有更好的近似性能，因此本文中徑向函數(shù)為三次函數(shù)，即φ(r)=r3。

2 KRG-CDE算法描述

一般的約束工程優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可描述為

(7)

式中：nv為優(yōu)化問(wèn)題維度；f為目標(biāo)函數(shù)；gj為第j個(gè)約束函數(shù)；xLB與xUB分別為設(shè)計(jì)變量下界與上界。

2.1 算法優(yōu)化框架

KRG-CDE算法的流程如圖1所示，主要分為全局探索與局部搜索兩個(gè)階段：在全局探索階段，通過(guò)KRG代理模型提供的預(yù)測(cè)方差，構(gòu)建基于約束改善度與最優(yōu)適應(yīng)度的可行準(zhǔn)則，從而引導(dǎo)種群向可能存在最優(yōu)解但樣本較為稀疏的區(qū)域進(jìn)化；在局部搜索階段，為了有效折中代理模型的魯棒性、近似精度與構(gòu)造效率[8]，采用RBF構(gòu)造局部?jī)?yōu)化問(wèn)題并結(jié)合序列二次規(guī)劃方法求解，從而提高算法的收斂速度。KRG-CDE算法的具體步驟如下。

圖1 KRG-CDE算法流程圖

步驟2采用基于Maximin的拉丁超方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，在初始設(shè)計(jì)空間內(nèi)生成NP個(gè)初始樣本點(diǎn)。以最小距離最大化作為空間均布性評(píng)價(jià)指標(biāo)，即

(8)

隨機(jī)生成50組拉丁超方采樣方案，并選取其中空間均布性最優(yōu)的方案作為初始樣本點(diǎn)。計(jì)算初始樣本點(diǎn)的相應(yīng)的真實(shí)目標(biāo)、約束函數(shù)值，并初始化樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)。

步驟3利用樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中所有樣本點(diǎn)及函數(shù)響應(yīng)值對(duì)目標(biāo)函數(shù)及各個(gè)約束函數(shù)構(gòu)造KRG代理模型。

步驟4根據(jù)式(9)計(jì)算樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中所有樣本點(diǎn)的約束違背度。根據(jù)可行準(zhǔn)則對(duì)當(dāng)前樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行排序，并從中選取前Np個(gè)個(gè)體作為當(dāng)前的父代種群。

(9)

步驟5分別采用Rand/1/bin、Rand/2/bin、Current-to-rand/1以及Current-to-best/1變異算子與交叉算子生成試驗(yàn)種群Q={QR1∪QR2∪QCtoR∪QCtoB}，其中采用Current-to-rand/1以及Current-to-best/1算子生成的變異種群不進(jìn)行交叉操作直接作為試驗(yàn)種群QCtoR與QCtoB。

(10)

式中：NKRG為構(gòu)造KRG代理模型的樣本規(guī)模。

步驟7根據(jù)改進(jìn)的可行準(zhǔn)則從試驗(yàn)種群中選取新增探索樣本，具體介紹參見2.2節(jié)。計(jì)算新增探索樣本的真實(shí)目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)值并將其添加至樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中?；诳尚袦?zhǔn)則判斷新增探索樣本點(diǎn)是否改善當(dāng)前種群。若種群得到改善，返回步驟3，否則執(zhí)行步驟8。

步驟8從當(dāng)前種群中隨機(jī)選取某個(gè)體作為序列二次規(guī)劃方法的初始點(diǎn)。根據(jù)歐氏距離從樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中選取距離初始點(diǎn)較近的NRBF個(gè)樣本點(diǎn)分別構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)對(duì)應(yīng)的局部RBF代理模型。構(gòu)造RBF的樣本點(diǎn)規(guī)模與優(yōu)化問(wèn)題的維度相關(guān)，計(jì)算公式為

(11)

當(dāng)NRBF大于已有數(shù)據(jù)庫(kù)樣本規(guī)模時(shí)，采用數(shù)據(jù)庫(kù)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)造RBF代理模型。

步驟9根據(jù)構(gòu)造RBF的樣本點(diǎn)建立局部?jī)?yōu)化數(shù)學(xué)模型如式(12)所示，并采用序列二次規(guī)劃方法求解該優(yōu)化問(wèn)題得到新增搜索樣本點(diǎn)。

(12)

步驟10計(jì)算新增搜索樣本的真實(shí)目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)值并將其添加至樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中?；诳尚袦?zhǔn)則判斷新增搜索樣本是否改善當(dāng)前種群。若種群得到改善，返回步驟8，否則執(zhí)行步驟11。

2.2 基于約束改善度與最優(yōu)適應(yīng)度的可行準(zhǔn)則

在處理約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，進(jìn)化算法通常采用可行準(zhǔn)則[28]對(duì)種群進(jìn)行排序或比較?？尚袦?zhǔn)則的比較標(biāo)準(zhǔn)如下：可行個(gè)體優(yōu)于非可行個(gè)體；非可行個(gè)體間比較時(shí)，約束違背度較小的個(gè)體更優(yōu)；可行個(gè)體間比較時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值較小的個(gè)體更優(yōu)。

然而，在求解非線性程度較強(qiáng)的約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，代理模型對(duì)目標(biāo)函數(shù)以及約束函數(shù)的預(yù)測(cè)精度難以保證，進(jìn)而影響傳統(tǒng)可行準(zhǔn)則個(gè)體排序結(jié)果的可靠性，最終導(dǎo)致種群向錯(cuò)誤的方向進(jìn)化。因此，本文提出了一種基于約束改善度與最優(yōu)適應(yīng)度的可行準(zhǔn)則。種群不存在可行個(gè)體時(shí)，利用各約束的改善概率[18]代替約束違背度選取新增探索樣本；種群存在可行個(gè)體時(shí)，構(gòu)建最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)選取探索樣本，具體步驟如下。

(13)

(14)

步驟3根據(jù)式(15)計(jì)算可行種群Qfeasi的最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)。

(15)

3 算法性能測(cè)試

為驗(yàn)證KRG-CDE算法求解約束優(yōu)化問(wèn)題的全局收斂性與優(yōu)化效率，本文選取了12個(gè)約束優(yōu)化問(wèn)題作為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例，并與GLoSADE算法[26]以及(μ+λ)-CDE算法進(jìn)行對(duì)比。

3.1 測(cè)試問(wèn)題描述

選取的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的基本信息如表2所示[29-30]。標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)的具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[29-30]。其中包括兩個(gè)工程標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例，壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題(Pressure Vessel Design, PVD4)和齒輪減速箱優(yōu)化問(wèn)題(Speed Reducer design, SR7)。

表2 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例基本信息

3.2 算法參數(shù)設(shè)置

KRG-CDE算法的參數(shù)設(shè)置如表3所示。GLoSADE算法[26]為典型約束SAEA，其最大模型調(diào)用次數(shù)設(shè)為400。(μ+λ)-CDE算法[3]是一種能夠有效求解約束優(yōu)化問(wèn)題的差分進(jìn)化算法，其最大模型調(diào)用次數(shù)設(shè)為3 000。兩種算法的其余參數(shù)均與原始文獻(xiàn)參數(shù)設(shè)置一致。為了減少隨機(jī)誤差影響，各算法分別對(duì)各算例連續(xù)優(yōu)化25次，統(tǒng)計(jì)優(yōu)化結(jié)果中可行解的最優(yōu)解(Best)、均值(Mean)、最差解(Worst)、標(biāo)準(zhǔn)差(Std)以及可行次數(shù)(FeasiNum)進(jìn)行對(duì)比。

表3 KRG-CDE算法參數(shù)設(shè)置

3.3 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析

分別采用KRG-CDE、GLoSADE與(μ+λ)-CDE算法求解上述約束優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)化結(jié)果如表4所示，優(yōu)化結(jié)果箱線圖如圖2所示。

圖2 KRG-CDE、(μ+λ)-CDE與GLoSADE算法優(yōu)化結(jié)果缺口箱線圖

結(jié)果表明，與無(wú)代理模型輔助的約束差分進(jìn)化算法(μ+λ)-CDE相比，KRG-CDE算法可在較少的計(jì)算資源條件下使種群進(jìn)化至理論可行最優(yōu)解附近區(qū)域。以G01約束優(yōu)化問(wèn)題為例，KRG-CDE算法的計(jì)算效率與(μ+λ)-CDE算法相比提高了90%，且優(yōu)化結(jié)果均值與理論可行最優(yōu)解的相對(duì)誤差僅為0.31%，而(μ+λ)-CDE算法仍未找到理論最優(yōu)解附近區(qū)域。對(duì)于可行域極小的約束優(yōu)化問(wèn)題G18(可行域占設(shè)計(jì)空間比例小于0.000 1%[29])，KRG-CDE算法在有限的計(jì)算資源條件下均能夠找到可行解，然而(μ+λ)-CDE算法在充足的計(jì)算資源條件下仍無(wú)法找到可行解。

與國(guó)際同類的GLoSADE算法相比，KRG-CDE的全局收斂性與計(jì)算效率均具有顯著的優(yōu)勢(shì)。以G06約束優(yōu)化問(wèn)題為例，KRG-CDE算法在300次模型調(diào)用次數(shù)以內(nèi)均能夠找到理論可行最優(yōu)解，然而GLoSADE在400次模型調(diào)用次數(shù)的條件下，仍未能夠找到理論最優(yōu)解附近區(qū)域。對(duì)于可行域極小的G18測(cè)試算例，GLoSADE在25次優(yōu)化中僅17次找到可行解，而KRG-CDE算法25次優(yōu)化結(jié)果均為可行解，進(jìn)一步驗(yàn)證了KRG-CDE的尋優(yōu)能力。由箱線圖結(jié)果可知，除G01、PVD4問(wèn)題外，對(duì)于大多數(shù)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例，KRG-CDE算法均具有更好的魯棒性，并且其優(yōu)化結(jié)果分布更加接近理論最優(yōu)解。

表4 KRG-CDE，(μ+λ)-CDE與GLoSADE算法優(yōu)化結(jié)果

表5 2 000次模型調(diào)用下的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

由上述優(yōu)化結(jié)果可知，本文提出的KRG-CDE算法在全局收斂性、魯棒性以及優(yōu)化效率上具有顯著優(yōu)勢(shì)。

4 全電推衛(wèi)星多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化實(shí)例

本節(jié)將KRG-CDE算法應(yīng)用于全電推衛(wèi)星多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(Multidisciplinary Design Optimization, MDO)問(wèn)題[6]，并與GLoSADE、(μ+λ)-CDE算法進(jìn)行對(duì)比。全電推衛(wèi)星是一個(gè)典型的高維多學(xué)科耦合系統(tǒng)[31]，其多學(xué)科分析過(guò)程需要通過(guò)迭代求解保證學(xué)科相容性。此外，全電推衛(wèi)星MDO問(wèn)題涉及多個(gè)高耗時(shí)學(xué)科分析模型(有限元模型以及軌道轉(zhuǎn)移動(dòng)力學(xué)模型等)，進(jìn)一步加劇了計(jì)算復(fù)雜性。本文提出的KRG-CDE求解全電推衛(wèi)星MDO問(wèn)題，從而驗(yàn)證本文提出算法的工程適用性。

4.1 優(yōu)化問(wèn)題描述

全電推衛(wèi)星MDO問(wèn)題旨在通過(guò)調(diào)整推力器安裝位置、GTO軌道推力角等參數(shù)，在滿足位保精度、結(jié)構(gòu)彎曲頻率等約束的前提下降低整星發(fā)射質(zhì)量。該優(yōu)化問(wèn)題涉及15個(gè)設(shè)計(jì)變量與11個(gè)約束條件，優(yōu)化模型數(shù)學(xué)表達(dá)式如下[6]：

findX=[α,β,φ,dT,dN,Asa,Cb,Ar,

Hw,HS,HC,HM,PS,PC,PM]T

(16)

式中：相關(guān)變量定義詳見文獻(xiàn)[6]；mi為第i個(gè)學(xué)科的質(zhì)量；MS為全電推進(jìn)衛(wèi)星發(fā)射質(zhì)量，即為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。

4.2 算法參數(shù)設(shè)置

KRG-CDE算法與GLoSADE算法最大分析模型調(diào)用次數(shù)設(shè)為200以及500次，其余參數(shù)保持不變。(μ+λ)-CDE的最大分析模型調(diào)用次數(shù)設(shè)為1 000。

4.3 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析

KRG-CDE算法的優(yōu)化收斂情況如圖3所示，可以看出，雖然初始種群中未存在可行解，KRG-CDE算法仍然能夠在優(yōu)化初期找到可行解。此外，KRG-CDE算法在優(yōu)化過(guò)程中保證了優(yōu)化結(jié)果可行性，同時(shí)持續(xù)改善衛(wèi)星的整星質(zhì)量。

圖3 KRG-CDE算法全電推衛(wèi)星MDO問(wèn)題收斂曲線

表6 全電推衛(wèi)星MDO問(wèn)題優(yōu)化結(jié)果目標(biāo)函數(shù)值

表7 全電推衛(wèi)星MDO問(wèn)題優(yōu)化結(jié)果約束函數(shù)值

表8 全電推衛(wèi)星MDO問(wèn)題優(yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)變量

5 結(jié) 論

1) 針對(duì)現(xiàn)有SAEAs難以求解復(fù)雜約束優(yōu)化問(wèn)題，本文提出了一種基于KRG代理模型的約束差分進(jìn)化算法KRG-CDE，進(jìn)一步提高了約束問(wèn)題的優(yōu)化效率。

2) 結(jié)合了約束改善概率與最優(yōu)適應(yīng)度，提出了一種改進(jìn)的可行準(zhǔn)則，提高新增樣本點(diǎn)的潛在最優(yōu)性與可行性，進(jìn)而提升算法的全局收斂性。

3) 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例與全電推衛(wèi)星多學(xué)科優(yōu)化實(shí)例的優(yōu)化結(jié)果表明，KRG-CDE算法與GLoSADE、(μ+λ)-CDE算法相比，在全局收斂性以及計(jì)算效率方面具有顯著優(yōu)勢(shì)。

4) 未來(lái)將進(jìn)一步探索基于代理模型的其他智能優(yōu)化算法(包括遺傳算法、粒子群算法等)，并將本文提出的算法應(yīng)用到更多的飛行器優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例當(dāng)中。