張友梅，吳邦昆

（合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，合肥 238000）

若數(shù)列{xn}是由函數(shù)y=f(x)所確定的遞推數(shù)列xn+1=f(xn)，n=0，1，2，…的形式給出，如果這類數(shù)列通項公式又不易求出，討論它的收斂性，用傳統(tǒng)的方法常常比較困難，甚至無從下手〔1-3〕。比如：

討論這幾個數(shù)列的收斂性用傳統(tǒng)的方法就比較困難，研究發(fā)現(xiàn)如果函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù)，這種由xn+1=f(xn)生成的遞推數(shù)列{ }xn，它的收斂性在不求通項公式情況下就可以判別，且判別方法具有一定的規(guī)律性，容易理解，使用方便，不難掌握。

1 預(yù)備知識

定義1 方程f(x)=x的任一解稱為函數(shù)y=f(x)的不動點〔4〕。

定義2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義，如果x0∈I，則xn+1=f(xn)∈I,n=0,1,2,…，則稱函數(shù)y=f(x)在初值x0處可迭代，數(shù)列{}xn稱為函數(shù)y=f(x)的迭代數(shù)列。如果對?x∈I，函數(shù)y=f(x)在x處可迭代，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上可迭代〔5〕。

以下給出幾個基本事實〔6〕。

（1）以函數(shù)f(x)的不動點為初值產(chǎn)生的迭代數(shù)列{xn}是常數(shù)數(shù)列。

（2）在區(qū)間I上單調(diào)下降的函數(shù)f(x)至多有一個不動點，在(-∞,+∞)上連續(xù)下降的函數(shù)有且只有一個不動點。

（3）若數(shù)列{xn}為連續(xù)函數(shù)y=f(x)的迭代數(shù)列，則nli→m∞xn=A的必要條件是A為f(x)的不動點。

（4）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)上升，則迭代數(shù)列{xn}一定單調(diào)，其增減性由數(shù)列{xn}的前二項x0，x1即可確定。

（5）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)下降，函數(shù)f[f(x)]單調(diào)上升，這時數(shù)列{x2n}和{x2n+1}分別看成依初值x0，f(x0)通過f[f(x)]產(chǎn)生的迭代數(shù)列，則數(shù)列{x2n}和{x2n+1}一定都是單調(diào)數(shù)列。

2 研究結(jié)果

這里主要討論由單調(diào)函數(shù)y=f(x)產(chǎn)生的迭代數(shù)列{}

xn收斂性的判別方法。

2.1 判界法

命題1 若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)上升、有界且可迭代，則對任何初值x0∈I，f(x)的迭代數(shù)列均收斂。

證明：因為所設(shè)的條件是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)上升、有界且可迭代，所以f(x)的迭代數(shù)列{xn}為單調(diào)有界數(shù)列，根據(jù)單調(diào)有界原理可知數(shù)列{xn}收斂。

2.2 不動點法 如果y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)上升或單調(diào)下降，但無法確定其是否有界，這種情況應(yīng)該使用不動點法判別。

命題2 若連續(xù)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)上升且有唯一不動點a，數(shù)列{}xn是函數(shù)f(x)依初值x0生成的迭代數(shù)列，x1=f(x0)，那么

（1）當(dāng)x0＜a時，若x0≤x1＜a，則數(shù)列{}xn收斂于a；若x1＜x0＜a，則數(shù)列{xn}發(fā)散。

（2）當(dāng)x0＞a時，若a＜x1≤x0，則數(shù)列{}xn收斂于a；若a＜x0＜x1，則數(shù)列{xn}發(fā)散。分析：對單調(diào)上升函數(shù)f(x)，其迭代數(shù)列一定是單調(diào)數(shù)列。數(shù)列{xn}收斂性判別主要是通過比較x0與不動點a的大小。分兩種情況：一種是數(shù)列{xn}在不動點a的左側(cè)變化，另一種是數(shù)列{xn}在不動點a的右側(cè)變化，再根據(jù){xn}的單調(diào)性，若xn變化逐漸靠近a，則{xn}收斂于a，若xn變化逐漸遠離a，則{xn}發(fā)散。

證明：（1）設(shè)數(shù)列xn+1=f(xn)，n=0，1，2，…。由于f(x)是單調(diào)上升函數(shù)，所以其迭代數(shù)列{xn}一定是單調(diào)數(shù)列，并且a是其唯一不動點。當(dāng)x0＜a且x0≤x1＜a時，就有x1=f(x0)＜f(x1)=x2，用數(shù)學(xué)歸納法可知，數(shù)列{xn}是單調(diào)上升且以a為上界的，所以數(shù)列{xn}收斂于這唯一不動點a。當(dāng)x0＜a且x1＜x0＜a，數(shù)列{xn}是單調(diào)下降不能收斂于a，而f(x)在(-∞,x0)上無其他不動點，所以數(shù)列{xn}發(fā)散。

對于（2）的證明與（1）相似，在此省略。

命題3 若連續(xù)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)下降且有唯一不動點a，函數(shù)f(x)依初值x0生成的迭代數(shù)列{xn}，那么

（1）不論x0＞a或x0＜a，當(dāng)x0位于x2=f[f(x0)]與a之間時，則數(shù)列{xn}發(fā)散。

（2）如果a也為f[f(x)]的唯一不動點，不論x0＞a或x0＜a，當(dāng)x2=f[f(x0)]位于x0與a之間時，則數(shù)列{xn}收斂。

分析：這種類型是針對連續(xù)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)下降且有唯一不動點a的情形。通過比較x0，x2=f[f(x0)]，a之間的大小，分兩種情況：當(dāng)x0位于x2與a之間和x2位于x0與a之間進行考慮。

證明：（1）當(dāng)a＜x0＜x2=f[f(x0)]時，則數(shù)列{xn}滿足：

…≤x2k+1≤…≤x3≤x1≤a＜x0＜x2≤x4≤…≤時，則數(shù)列{xn}與上述情況類似，因此數(shù)列{xn}發(fā)散。

（2）當(dāng)a＜x2=f[f(x0)]＜x0時，則數(shù)列{xn}滿足：則數(shù)列{x2n+1}單調(diào)上升有上界，數(shù)列{x2n}單調(diào)下降有下界，所以均收斂。

注1：命題2、命題3結(jié)論對在一般區(qū)間上也是成立的。

2.3 初始值法

命題4 若連續(xù)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)下降且f[f(x)]有唯一不動點a，則當(dāng)且僅當(dāng)

（1）x2=f[f(x0)]位于x0與x1之間時，迭代數(shù)列{xn}收斂。

（2）x0位于x1與x2=f[f(x0)]之間時，迭代數(shù)列{xn}發(fā)散。

注2：命題4的證明方法與命題3類似，不再重復(fù)。

3 具體應(yīng)用

4 結(jié)論

有些數(shù)列是以函數(shù)y=f(x)所確定的遞推數(shù)列x n+1=f(x n)，n=0,1,2,…的形式給出的，其通項公式一般不易求出，但當(dāng)函數(shù)y=f(x)滿足單調(diào)性條件時，即使沒有通項公式，其數(shù)列{}x n的收斂性也可判別，本文深入探討了這類函數(shù)對應(yīng)的遞推數(shù)列的通項公式的求法，總結(jié)了判別方法的一般規(guī)律，對該類問題的研究有一定的實際意義。