楊 航, 榮國棟，黃守芳，崔雙燕，汪茂勝，張季謙

(安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖 241000)

近年來，人們對復雜網(wǎng)絡(luò)特別是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的集體動力學行為的演化規(guī)律及形成機理進行了廣泛的研究[1-4]。研究發(fā)現(xiàn)不僅可以觀察到同步態(tài)、非同步態(tài)外，還能夠觀察到相干態(tài)與非相干共存的奇異態(tài)這種特殊現(xiàn)象。同時，在一定條件下，人們還發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中可以產(chǎn)生完美奇異態(tài)、旅行奇異態(tài)、不完美旅行奇異態(tài)等不同演化特點的時空行為[5-6]。

眾所周知，人類大腦是由大量神經(jīng)元以及神經(jīng)元之間的突觸連接而成的，具有高度復雜拓撲結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，腦網(wǎng)絡(luò)的集體行為與腦功能和各種腦神經(jīng)疾病密切聯(lián)系[7]。例如，現(xiàn)有研究表明，神經(jīng)元的正常同步有助于大腦中諸如知覺、意識、記憶能力等各種認知行為及腦功能的執(zhí)行過程的順利進行[8]，而腦網(wǎng)絡(luò)的異常同步則會引起多種神經(jīng)性疾病。例如，同步減弱會導致精神分裂等疾病[9]，神經(jīng)元同步性異常增強則會誘發(fā)帕金森氏病或癲癇[10]。研究發(fā)現(xiàn)，臨床上誘發(fā)神經(jīng)性疾病有多種因素，其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的受損就是重要誘因之一。常見的有，腦外部受到機械性撞擊所導致的創(chuàng)傷性腦損傷，腦內(nèi)部中風、多發(fā)性硬化癥等因素所引起的腦損傷。很顯然，這些損傷會使得神經(jīng)元凋亡或神經(jīng)元之間的突觸連接受損，引起網(wǎng)絡(luò)的拓撲連接發(fā)生改變，從而導致腦功能受損，最終誘發(fā)相應(yīng)的神經(jīng)性疾病。例如，損傷神經(jīng)元的動作電位發(fā)射頻率和爆發(fā)活動會增加數(shù)倍，引起神經(jīng)元的超同步性放電，誘發(fā)癲癇病癥。突觸連接受損減弱神經(jīng)元同步放電過程，導致持續(xù)性的記憶能力發(fā)生中斷，從而引起認知障礙。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的集體狀態(tài)也會發(fā)生相應(yīng)變化，導致網(wǎng)絡(luò)動力學響應(yīng)行為減弱。神經(jīng)元損傷動力學行為的研究多基于神經(jīng)影像技術(shù)和臨床實驗數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)的獲得會受到臨床實驗條件的限制。因而利用復雜網(wǎng)絡(luò)理論進行仿真模擬，就成為近年來考察神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)受損對其動力學行為影響及發(fā)病機理的一個重要手段。因此，本文中，我們選取HR神經(jīng)元為研究對象，并以此為節(jié)點，構(gòu)建了一個由N個神經(jīng)元組成的環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)，每個神經(jīng)元通過電突觸耦合方式與周邊p個神經(jīng)元進行連接。分別考察了正常和受損網(wǎng)絡(luò)的動力學行為，以期了解網(wǎng)絡(luò)受到損傷時對神經(jīng)元放電模式以及信息同步傳遞的作用機理。接著，我們引入突觸耦合強度、受損程度等作為控制參數(shù)進行仿真模擬，并對結(jié)果進行分析，最后對研究結(jié)果進行了總結(jié)。

1 模型與方法

本文以三階HR神經(jīng)元模型為研究對象[11]，采用電突觸耦合的方式，構(gòu)建了一個環(huán)狀的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)，其方程形式如下所示：

(1)

式中xi,yi和zi分別為第i個神經(jīng)元的膜電壓、與膜運輸?shù)目焱ǖ?例如鈉)和慢通道(例如鉀)有關(guān)的變量。模型參數(shù)a=1,b=3,c=1,d=5,r=0.005,s=4，Iext為外部的刺激電流。σx為耦合強度，p為與第i個神經(jīng)元與兩邊最近鄰耦合神經(jīng)元的個數(shù)。(Aij)n×n為連接矩陣，如果i和j兩個神經(jīng)元相互連接則Aij=1，其它為Aij=0和Aii=0。圖1是神經(jīng)元耦合網(wǎng)絡(luò)示意圖，每個神經(jīng)元通過突觸耦合方式，既接收來自其它神經(jīng)元輸入的信號，同時也向其它神經(jīng)元輸出信號。

圖1 神經(jīng)元環(huán)狀耦合網(wǎng)絡(luò)示意圖，其中紅線表示神經(jīng)元1的信號輸出，藍線表示信號接收。Fig.1 Schematic diagram of neuron ring coupling network,where red lines represent the signal output of neuron 1,and blue represent signal reception.

當神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)受到某種損傷因素作用時，可能會導致神經(jīng)元以及突觸連接都會受到一定程度的損害，而這種損傷將會分別影響到神經(jīng)元接收信號以及輸出信號的能力。為描述這種損傷作用，我們定義了損傷率η(η=損傷神經(jīng)元數(shù)/總神經(jīng)元數(shù))來表示網(wǎng)絡(luò)中損傷神經(jīng)元的比例，并假設(shè)受損神經(jīng)元在網(wǎng)絡(luò)中的位置是隨機分布的。同時，我們還引入損傷程度λ來表征神經(jīng)元或突觸連接受到損傷的程度。由于神經(jīng)元間的信息交流是通過突觸耦合來實現(xiàn)的，因此，當神經(jīng)元i和j相互連接時，神經(jīng)元及突觸受損的結(jié)果反映到連接矩陣Aij上，可用如下兩種情形描述：

當Aij=1-λ,i為受損神經(jīng)元，j為正常的神經(jīng)元，接受功能減弱；當Aji=1-λ,i為受損神經(jīng)元，j為正常的神經(jīng)元，輸出功能減弱；式中λ為損傷程度，且0<λ<1，λ越大，相應(yīng)的Aij越小，即損傷程度越嚴重，對應(yīng)的連接強度越弱。

為了描述網(wǎng)絡(luò)的集體響應(yīng)行為，引入同步因子R[12]，其定義式如下：

(2)

其中N為神經(jīng)元的個數(shù),<*>代表變量對時間求平均。完全同步時，R接近1，完全不同步時R接近0，介于0到1之間的為不完全同步態(tài)和奇異態(tài)，R越大表明網(wǎng)絡(luò)的同步程度越高。

2 數(shù)值模擬結(jié)果

本文采用四階龍格-庫塔法對方程(1)進行數(shù)值模擬，時間步長為0.001。神經(jīng)元個數(shù)N=300,p=40,Iext=3.25。各神經(jīng)元的初始條件設(shè)為[3]：當i=1,2,3,…,N/2，xi=0.01(i-N/2),yi=0.02(i-N/2),zi=0.03(i-N/2)。當i=N/2+1,N/2+2,N/2+3,…,N，xi=0.1(N/2-i),yi=0.12(N/2-i),zi=0.21(N/2-i)。

本文中，我們調(diào)控耦合強度，分兩種情形進行數(shù)值模擬：(1)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正常情形；(2)神經(jīng)元及突觸連接出現(xiàn)部分損傷?？疾煸诓煌膿p傷情況下，其對神經(jīng)元輸入、輸出信號響應(yīng)能力以及網(wǎng)絡(luò)同步行為的影響并進行對比分析。

2.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正常情形

作為對比，我們首先考察了網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元及突觸連接均正常的情形，當神經(jīng)元有相互連接時，連接矩陣Aij=1。調(diào)節(jié)耦合強度σx，記錄膜電壓并繪出網(wǎng)絡(luò)時空演化圖，以及任選1個神經(jīng)元膜電壓的時間序列圖，如圖2所示。當σx=0.05時，網(wǎng)絡(luò)處于完全不同步的狀態(tài)，神經(jīng)元呈現(xiàn)出方波爆發(fā)的放電模式(圖2a,2d)；當σx增大到σx=0.83時，網(wǎng)絡(luò)處于旅行奇異態(tài)，并且神經(jīng)元的放電模式為高原爆發(fā)放電(圖2b,2e)；進一步增大耦合強度到σx=2.5時，網(wǎng)絡(luò)處于完全同步的狀態(tài)，神經(jīng)元的放電模式為周期性的尖峰放電模式(圖2c,2f)。數(shù)值模擬結(jié)果表明，對于正常的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，調(diào)節(jié)耦合強度σx可以有效地控制神經(jīng)元的放電模式以及同步行為，耦合強度越大，網(wǎng)絡(luò)的同步程度越高。

圖2 神經(jīng)元及突觸連接正常,單個神經(jīng)元膜電壓的時間序列圖(左側(cè))和時空演化圖(右側(cè))。(a,d)σx=0.05;(b,e)σx=0.83;(c,f)σx=2.5。Fig.2 Neurons and synaptic connection are normal,the time series diagram of the membrane voltage of a single neuron (left) and the time-space evolution diagram (right).(a,d)σx=0.05;(b,e) σx=0.83;(c,f) σx=2.5。

2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)損傷時的情形

(i)固定損傷率，考察不同耦合強度下的影響

當網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)一定的損傷，例如η=20%,λ=0.5時，我們選取幾個有代表性的耦合強度σx=0.05,0.83,2.5，分別研究神經(jīng)元損傷導致接收以及輸出功能受損時對放電模式和網(wǎng)絡(luò)同步的影響。神經(jīng)元輸入端功能受損對應(yīng)的結(jié)果如圖3所示。當σx=0.05時，正常神經(jīng)元為方波爆發(fā)以及尖峰放電共存的放電模式，損傷神經(jīng)元則為周期性的尖峰放電模式，網(wǎng)絡(luò)處于完全不同步的狀態(tài)(圖3a,3d);當σx=0.83時，正常神經(jīng)元與損傷神經(jīng)元具有相同的放電頻率，但放電模式卻不相同，分別為高原爆發(fā)放電模式以及方波爆破模式，此時網(wǎng)絡(luò)為不完全同步的狀態(tài)(圖3b,3e)；當σx=2.5時，兩類神經(jīng)元的放電模式基本一致，并且網(wǎng)絡(luò)趨于完全同步的狀態(tài)(圖3c,3f)。

圖3 網(wǎng)絡(luò)受損引起神經(jīng)元接收功能變化,正常與損傷神經(jīng)元放電模式圖(左側(cè))和網(wǎng)絡(luò)的時空演化圖(右側(cè))，η=20%,λ=0.5.(a,d) σx=0.05;(b,e) σx=0.83;(c,f) σx=2.5。Fig.3 Changes in neuron receiving function caused by network damage,normal and injured neuron firing patterns (left) and network spatiotemporal evolution diagram (right),η=20%,λ=0.5.(a,d) σx=0.05;(b,e)σx=0.83;(c,f)σx=2.5.

網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元輸出信號功能受損的結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出，當σx=0.05時，不論是正常神經(jīng)元還是損傷神經(jīng)元，放電模式都為方波爆發(fā)以及尖峰放電共存，但放電頻率有所不同，此時網(wǎng)絡(luò)處于完全不同步的狀態(tài)(圖4a,4d)；當σx=0.83時，兩種神經(jīng)元放電行為趨于一致，都為高原爆發(fā)放電模式，網(wǎng)絡(luò)處于不完全同步的狀態(tài)(圖4b,4e)；當進一步增加耦合強度到σx=2.5時，兩種神經(jīng)元的放電模式都為完全相同的混合放電模式，網(wǎng)絡(luò)處于完全同步狀態(tài)(圖4c,4f)。

圖4 網(wǎng)絡(luò)受損引起神經(jīng)元輸出功能變化,正常與損傷神經(jīng)元放電模式圖(左側(cè))和網(wǎng)絡(luò)的時空演化圖(右側(cè)),η=20%,λ=0.5.(a,d)σx=0.05;(b,e)σx=0.83;(c,f)σx=2.5。Fig.4 Changes in neuron output function caused by network damage,normal and injured neuron firing patterns (left) and the spatiotemporal evolution of the network (right),η=20%,λ=0.5.(a,d) σx=0.05;(b,e)σx=0.83;(c,f)σx=2.5.

模擬結(jié)果表明，網(wǎng)絡(luò)受損存在部分缺陷時，神經(jīng)元輸入和輸出信號的能力均有一定程度的減弱，放電模式也同正常情形下的有所不同，但調(diào)節(jié)合適的耦合強度依然可以起到控制神經(jīng)元放電模式以及同步行為的作用。

(ii)固定耦合強度，考察不同損傷程度下的影響

為進一步研究網(wǎng)絡(luò)受損所帶來的影響，我們分別固定耦合強度，研究不同的損傷條件下對網(wǎng)絡(luò)同步行為的影響，結(jié)果如圖5所示。

當σx=0.05時，我們選取有代表性的四種程度損傷率η=5%，20%，35%，50%分別進行分析。從圖5(a)中可以看出，當η=5%時，網(wǎng)絡(luò)中損傷程度不大，受損的神經(jīng)元和突觸數(shù)量較少，此時體系中的神經(jīng)元放電模式與正常情形下的基本相同，并且由于耦合強度較小，因此R隨著損傷度λ增加而有所降低，但下降比較平緩(黑色線)。當損傷率η增加到20%時，R隨λ增加而迅速減小，當λ增加到0.2附近時，R減小到接近0，表明同步性能變差(紅色線)。當損傷率η進一步增加時，這種變化趨勢更加明顯，網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)為完全不同步的狀態(tài)。

當增加耦合強度到σx=0.83時，在一定的損傷程度范圍內(nèi)(0<λ<0.5)，R值出現(xiàn)上下震蕩的變化，結(jié)合時空圖可知，隨著損傷程度λ的加大，網(wǎng)絡(luò)在旅行奇異態(tài)以及不完全同步態(tài)之間交替變化。當損傷程度達到一定強度時，網(wǎng)絡(luò)的同步程度呈現(xiàn)下降趨勢，網(wǎng)絡(luò)處于不完全同步的狀態(tài)，如圖5(b)所示。

當耦合強度σx=2.5時，對于損傷率較小的情形(η=5%)，R隨損傷程度變化較小，網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性較高，同步程度較大；當損傷率增加到η=20%時，由于損傷的神經(jīng)元個數(shù)增加，隨著損傷程度λ的加大，網(wǎng)絡(luò)由完全同步態(tài)向旅行奇異態(tài)轉(zhuǎn)變，并隨著λ的增大，R逐步減小，表明體系的同步性能有所降低，如圖5(c)中紅色曲線所示。若在保持損傷程度λ～0.5條件下，繼續(xù)增大損傷率，由于耦合強度較大，R降低速度有所減慢，最終基本穩(wěn)定在R≈0.95的較高水平。但當損傷程度λ超過一定值且接近1.0時，即使繼續(xù)增大耦合強度，都無法使系統(tǒng)同步。這表明，網(wǎng)絡(luò)損傷程度較小時，雖然對神經(jīng)元放電模式改變較大，但在較高的耦合強度下，系統(tǒng)還能維持較好的同步性能。

圖5 在不同損傷率η下,同步因子R隨損傷程度λ的變化圖。Aij=1-λ,(a)σx=0.05;(b)σx=0.83;(c)σx=2.5。

3 結(jié)論

本文基于HR神經(jīng)元構(gòu)建了一個環(huán)狀神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)，考察了受損的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對體系中神經(jīng)元放電模式及網(wǎng)絡(luò)同步性能的影響。研究發(fā)現(xiàn)，其一，當神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正常時，適當?shù)鸟詈蠌姸龋梢哉{(diào)控神經(jīng)元的放電模式，增加網(wǎng)絡(luò)的同步程度。并能使網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出完全不同步態(tài)、旅行奇異態(tài)以及完全同步態(tài)等不同的響應(yīng)行為。其二，當網(wǎng)絡(luò)中部分正常神經(jīng)元或突觸連接受到損傷時，會引起輸入及輸出信號的性能減弱，導致網(wǎng)絡(luò)的同步性能隨損傷程度增加呈現(xiàn)一定程度的下降，不過，當耦合強度較大時，網(wǎng)絡(luò)受損雖然對神經(jīng)元放電模式影響較大，體系的同步行為雖有所下降，但卻能穩(wěn)定在一定的同步水平，這表明較強耦合條件下，體系對部分神經(jīng)元出現(xiàn)損傷具有較強的魯棒性。上述研究結(jié)果有助于進一步了解網(wǎng)絡(luò)缺陷與體系同步性能之間的關(guān)系，對揭示神經(jīng)性疾病的內(nèi)在形成機理有一定的理論指導作用。