胡 玲，吳 俊

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

本文中的環(huán)都是指含單位元的結(jié)合環(huán)，環(huán)上的模都是酉模。設(shè)R為環(huán)，Id(R)Nil(R)、U(R)、J(R)分別表示R的冪等元之集、詣零元之集、可逆元之集、R的Jacobson根。Cm表示m階循環(huán)群，m表示整數(shù)環(huán)模m的剩余類環(huán)，Mn(R)表示環(huán)R上的n階矩陣環(huán)，表示集合{a∈R|a2∈J(R)}。

2012年，Lee與Zhou在文[5]中引入了clean指數(shù)的概念。設(shè)是R環(huán)，a∈RC(a)={e∈R|e=e2,a-e∈U(R)}，稱in(R)=Sup{|C(a)|:a∈R}為R的clean指數(shù)。容易看出，環(huán)R是唯一clean的當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R是clean的且clean指數(shù)為1。隨后，Basnet在文[6]中定義了詣零-clean指數(shù)的概念。記η(a)={e∈R|e=e2,a-e∈Nil(R)}，稱Nin(R)=Sup{|η(a)|:a∈R}為R的詣零-clean指數(shù)。近幾年關(guān)于clean環(huán)類的指數(shù)研究吸引了眾多代數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注。

引理1.2設(shè)R是環(huán)且a,b,e∈R，有：

(1)若a∈J(R)，則|γ(a)|=1；

(4)e∈γ(a)當(dāng)且僅當(dāng)(1-e)∈γ(1-a)，因而|γ(a)|=|γ(1-a)|；

(5)若a-b∈J(R)，則|γ(a)|=|γ(b)|；

(7)若σ是環(huán)R的自同構(gòu)，則e∈γ(a)當(dāng)且僅當(dāng)σ(e)∈γ(σ(a))，因而|γ(a)|=|γ(σ(a))|,|γ(a)|=|γ(uau-1)|，任意u∈U(R)。

(3)若u是中心可逆元，u=e+j，則e=u-j∈U(R)，e=0。反之顯然。

(6)-(7)是顯然的。

證明令

命題1.4令I(lǐng)是環(huán)R的理想且I?J(R),n為正整數(shù)。則

因此|γ(α)|≥mn+|M|-1。

因此|γ(α)|≥2mn。結(jié)論成立。

(?)由引理1.8可得。

上述命題的逆命題未必成立。

命題3.5設(shè)R=Mn(S)，S是有單位元的結(jié)合環(huán)，n是大于等于2的正整數(shù)，則：

(3)(M,+)?C2⊕C2，且滿足下述之一：

所以γ(Q)≥5，矛盾。因此(3)(b)成立。類似的可證(3)(c)成立。