王新寬, 姚彬彬

(陜西理工大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院, 陜西 漢中 723000)

稀布陣列天線(Sparse antenna array,SAA)是指天線單元在陣列的口徑范圍內(nèi)隨機(jī)分布的一類陣列結(jié)構(gòu)。與單元緊密排列的陣列天線相比，SAA能夠在不明顯降低天線的波束寬度、增益等指標(biāo)情況下，大幅改善天線的旁瓣性能，降低陣列的硬件成本，減輕天線單元之間的互耦效應(yīng)和T/R組件間的散熱問題[1]，故具有很好的工程應(yīng)用前景。與之相應(yīng)，SAA的設(shè)計(jì)及其方向圖綜合算法一直是陣列天線研究中的熱點(diǎn)問題[2]。然而，由于單元數(shù)目、陣列口徑、最小單元間隔等的限制，針對(duì)SAA的綜合通常是一個(gè)強(qiáng)烈的非線性、多約束問題。為此，以遺傳算法(Genetic algorithm,GA)[3-4]、粒子群算法(Particle swarm optimization,PSO)[5]、差分進(jìn)化算法(Differential evolution,DE)[6-8]等為代表的啟發(fā)式優(yōu)化算法被廣泛采用。

盡管如此，上述算法更多地被應(yīng)用于優(yōu)化稀布直線陣列天線(Sparse linear antenna array,SLAA)，以及單元數(shù)較少的稀布平面陣列天線[3](Sparse planar antenna array,SPAA)。當(dāng)SPAA含有較多單元時(shí)，采用此類算法通常會(huì)面臨較大的計(jì)算負(fù)擔(dān)，容易收斂到局部最優(yōu)解。以文獻(xiàn)[9]中采用GA優(yōu)化一個(gè)185單元的圓口徑陣列為例，所需耗時(shí)達(dá)23 h，才獲得了較低副瓣的目標(biāo)。

為了降低SPAA優(yōu)化的復(fù)雜度，可以考慮把SPAA的單元分置在以口徑中心為圓心的一系列同心圓環(huán)上，形成稀布圓平面陣列天線(Sparse circular planar array,SCPA)。這種陣列結(jié)構(gòu)只需考慮同一個(gè)圓環(huán)上相鄰單元落點(diǎn)位置的影響，是一個(gè)一維約束問題，因此受到了眾多研究者的關(guān)注。典型工作如：文獻(xiàn)[8]利用GA對(duì)一些圓口徑稀布陣列，以及具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的SCPA進(jìn)行了優(yōu)化;文獻(xiàn)[9]提出了基于修正GA的降維優(yōu)化算法，通過把二維平面陣列的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為虛擬的一維稀布直線陣，有效降低了算法的復(fù)雜度;文獻(xiàn)[10]給出了一種優(yōu)化SCPA的實(shí)數(shù)編碼遺傳算法，通過對(duì)相鄰圓環(huán)間距的合理設(shè)置并引入旋轉(zhuǎn)角變量，使得單元分布自動(dòng)滿足最小間隔約束條件且具有很好的隨機(jī)性，實(shí)現(xiàn)了單元數(shù)多達(dá)201的SCPA的低副瓣綜合;文獻(xiàn)[11]把多目標(biāo)粒子群(Multi-objective particles swarm optimization,MOPSO)與凸優(yōu)化結(jié)合，利用前者優(yōu)化單元位置，后者優(yōu)化單元權(quán)值，所得SCPA的旁瓣和柵瓣電平值均得到了有效抑制;文獻(xiàn)[12]根據(jù)第一類貝塞爾函數(shù)的特性，提出了降低SCPA旁瓣的確定性準(zhǔn)則，并設(shè)計(jì)了一種具有低旁瓣、寬帶特性和大角度掃描功能的SCPA來驗(yàn)證該準(zhǔn)則的有效性。

本文采用DE算法對(duì)含有較多單元的SCPA進(jìn)行方向圖綜合，針對(duì)啟發(fā)式算法在優(yōu)化此類問題時(shí)運(yùn)算負(fù)擔(dān)大的問題，提出部分密度錐削方案以產(chǎn)生更好的初始單元分布，并通過最小間距約束條件來大幅降低待優(yōu)化單元的數(shù)目，從而加快算法的收斂速度，實(shí)現(xiàn)以較小的硬件負(fù)擔(dān)，對(duì)含有較多單元的SCPA進(jìn)行快速綜合的目標(biāo)。

1 稀布圓平面陣列天線模型

稀布圓平面陣列天線的模型如圖1所示。

圖1 稀布圓平面陣列結(jié)構(gòu)圖

若SCPA的中心存在一個(gè)單元，除此之外另含H個(gè)圓環(huán)，每個(gè)圓環(huán)的半徑、單元數(shù)分別記作rh、Nh(h=1,2,…,H)，則其方向圖可表示為

(1)

其中θ和φ分別表示俯仰角與方位角，k為波數(shù)，Ih,nexp(jψh,n)代表位于極坐標(biāo)位置(rh,φh,n)的單元激勵(lì)，rh和φh,n表示編號(hào)為h的圓環(huán)上，第n個(gè)單元的極徑和極角。若單元均勻激勵(lì)且相位為零，則Ih,n=1，ψh,n=0(h=1,2,…,H；n=1,2,…,Nh)。再令u=sinθcosφ，v=sinθsinφ，式(1)可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(2)

上式表明，單元均勻激勵(lì)時(shí)，SCPA的方向圖僅取決于單元的落點(diǎn)位置[8]。若主瓣指向(θ0,φ0),相應(yīng)在正弦坐標(biāo)系下，有u0=sinθ0cosφ0，v0=sinθ0sinφ0。

2 算法描述

為了在單元均勻激勵(lì)情況下，降低SCPA的旁瓣電平，第一步，對(duì)其初始單元分布采取部分密度錐削策略，這種策略實(shí)質(zhì)上是對(duì)密度錐削方案的改進(jìn)。當(dāng)單元分布滿足密度錐削方案時(shí)，有利于降低陣列的旁瓣電平，而提升陣列中心點(diǎn)附近的單元數(shù)目，是進(jìn)一步降低SCPA旁瓣電平的可行措施。但由于SCPA中心點(diǎn)附近的圓環(huán)半徑很小，在滿足最小間距(弧長(zhǎng)間距Δs=λ/2，λ為波長(zhǎng))約束條件下，能夠包含的單元數(shù)目很少，為此，對(duì)靠近SCPA中心的幾個(gè)圓環(huán)，設(shè)置圓環(huán)間距均等于半波長(zhǎng)，且每個(gè)圓環(huán)均為以Δs為周期的滿陣結(jié)構(gòu)。對(duì)處于SCPA外圍的圓環(huán)，使圓環(huán)間距從內(nèi)向外逐漸增大且均大于半波長(zhǎng)，并以Δs為間隔將這些圓環(huán)分別劃分為一系列柵格點(diǎn)，然后按照填充比(指圓環(huán)上實(shí)際填充的單元數(shù)目與該圓環(huán)包含的柵格總數(shù)的比值)依次遞減的方式，把天線單元隨機(jī)分配到這些柵格點(diǎn)上，從而滿足密度錐削的要求，形成有利于低副瓣實(shí)現(xiàn)的單元分布形式，這就是部分密度錐削的思想。

第二步，針對(duì)初始SCPA的所有圓環(huán)，設(shè)置一組(0,2π)間的旋轉(zhuǎn)角變量，利用DE對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化以降低SCPA的旁瓣電平。

第三步，選取上一步所得SCPA中，同一圓環(huán)上間距大于Δs的單元作為優(yōu)化對(duì)象，在滿足最小間距約束條件下，采用DE對(duì)這些單元的角位置進(jìn)行優(yōu)化，以進(jìn)一步降低SCPA的旁瓣電平。由于約束條件的限制，待優(yōu)化的單元數(shù)目通常少于單元總數(shù)的一半，使得DE算法的尋優(yōu)空間被大幅度壓縮，促進(jìn)了算法的加速收斂，減輕了算法的運(yùn)算負(fù)擔(dān)。

基于上述算法思想，以一個(gè)口徑半徑為R的SCPA綜合為例，對(duì)算法的過程進(jìn)行詳細(xì)闡述如下。

2.1 陣列口徑的柵格劃分和單元分布初始化

2.1.1 陣列口徑的柵格劃分

以口徑中心為圓心，把整個(gè)口徑劃分為H個(gè)同心圓環(huán)，口徑半徑R和H的關(guān)系需滿足

δ=R-H·0.5λ， s.t. 0.5λ≤δ≤1.5λ,

其中δ稱為口徑余量，表示把R截去H段長(zhǎng)度均為0.5λ的線段后的剩余量。以陣列中心為圓心，從內(nèi)向外依次劃分出H個(gè)圓環(huán)，前h0個(gè)圓環(huán)的半徑依次取rh=h·0.5λ，h=1,2,…,h0，且h0=int(H/2)，int代表向下取整函數(shù)。剩余的(H-h0)個(gè)圓環(huán)，需滿足相鄰間距從內(nèi)向外依次增大且均大于半波長(zhǎng)的條件。為此，把δ隨機(jī)劃分成不等間隔的(H-h0)份，記作ε={ε1,ε2,…,εH-h0}，且有

接下來進(jìn)行柵格點(diǎn)劃分，對(duì)每個(gè)圓環(huán)，均從x軸正半軸(如圖2所示)算起，以半波長(zhǎng)的弧長(zhǎng)間隔進(jìn)行劃分。因此，半徑為rh的圓環(huán)上柵格點(diǎn)數(shù)目為

圖2 SCPA中待優(yōu)化單元的選取方式、移動(dòng)范圍示意圖

2.1.2 單元分布初始化

ρh0+i=τi+randi·Δτ,i=1,2,…,H-h0。

到此，完成了對(duì)初始SCPA的構(gòu)造。圖2以一個(gè)口徑半徑為2.5λ、4圓環(huán)劃分的SCPA為例，對(duì)前述步驟進(jìn)行了說明?！?”代表空的柵格點(diǎn)，“°”和“·”均代表所在柵格點(diǎn)存在填充單元，圖中編號(hào)依次為1th～17th的單元(用符號(hào)“·”表示)被選中，作為待優(yōu)化的對(duì)象，而符號(hào)“°”代表未被選中的單元?？梢钥闯?，4個(gè)圓環(huán)的半徑依次為0.5λ、1.0λ、1.72λ和2.5λ，內(nèi)部?jī)蓚€(gè)圓環(huán)都被填滿，外部?jī)蓚€(gè)圓環(huán)的填充比分別為0.476和0.387，滿足對(duì)SCPA口徑劃分與單元初始化的要求。

2.2 不同圓環(huán)旋轉(zhuǎn)角度的優(yōu)化

從圖2可以看出，不同圓環(huán)上的初始化柵格劃分均以x軸正向?yàn)槠瘘c(diǎn)，若劃分的起點(diǎn)不同，則可影響到SCPA中的單元分布及其方向圖。因此針對(duì)每個(gè)圓環(huán)，設(shè)置一個(gè)(0,2π)間變化的旋轉(zhuǎn)角變量，對(duì)包含H個(gè)圓環(huán)的SCPA來說，這些變量可記作ξ={ξ1,ξ2,…,ξH}。取適應(yīng)度為陣列的旁瓣電平值，則目標(biāo)函數(shù)為

minSLL=f(ξ1,ξ2,…,ξH)，

利用DE進(jìn)行優(yōu)化后，把得到的最佳個(gè)體記作ξ0。

2.3 待優(yōu)化單元的選取及單元位置的優(yōu)化

2.3.1 待優(yōu)化單元的選取及單元移動(dòng)范圍的確定

針對(duì)上述得到的SCPA，從第h0+1個(gè)圓環(huán)算起，以x軸正向?yàn)槠瘘c(diǎn)，沿逆時(shí)針方向，依次選取圓環(huán)上弧長(zhǎng)間距大于半波長(zhǎng)的單元作為優(yōu)化對(duì)象，選取結(jié)束后再進(jìn)入第h0+2個(gè)圓環(huán)，直到第H個(gè)圓環(huán)為止。將所有被選中的單元按照選取順序的先后依次排列并編號(hào)，得到待優(yōu)化單元的集合。假定有L個(gè)單元被選中，這些單元的初始位置用向量d0={d1,d2,…,dL}表示。規(guī)定這些單元可以在其初始位置附近沿著圓環(huán)移動(dòng)，但移動(dòng)后仍需滿足弧長(zhǎng)間隔不小于0.5λ的約束條件。據(jù)此，重新定義這些單元的位置向量為χ={χ1,χ2,…,χL}，并把其繞圓環(huán)移動(dòng)范圍的上限(沿逆時(shí)針方向移動(dòng))記作dmax={d1,max,d2,max,…,dL,max}，下限(沿順時(shí)針方向移動(dòng))記作dmin={d1,min,d2,min,…,dL,min}，從而有

dl,min≤χl≤dl,max,l=1,2,…,L。

根據(jù)柵格的填充情況及約束條件，可以確定dmax和dmin的值。以編號(hào)分別為(l-1)th、lth，初始位置為dl-1和dl的兩個(gè)單元為例，若單元之間存在空的柵格，則這兩個(gè)單元可以相向移動(dòng)，且相向移動(dòng)的最大距離(均指弧長(zhǎng)距離，以下同)相等。即(l-1)th單元逆時(shí)針可移動(dòng)到的最大位置點(diǎn)dl-1,max與其初始位置dl-1之間的差值，和lth單元的初始位置dl與其順時(shí)針可移動(dòng)到的最大位置點(diǎn)dl,min之間的差值相等。并且，為了滿足最小間隔條件，dl,min與dl-1,max之間的差值為0.5λ。公式表示為

通過上述方法，依次確定出每個(gè)單元可移動(dòng)范圍的上、下限，為下一步的位置優(yōu)化做好準(zhǔn)備。圖2用雙箭頭標(biāo)出了所有被選中單元的可移動(dòng)范圍。

2.3.2 基于DE的單元位置優(yōu)化

固定ξ0，以待優(yōu)化單元的位置向量χ={χ1,χ2,…,χL}作為DE的個(gè)體向量，建立如下目標(biāo)函數(shù):

minSLL=f(ξ0，χ1,χ2,…,χL)。

采用DE算法對(duì)χ進(jìn)行優(yōu)化后，把得到的最佳結(jié)果保留，這樣就結(jié)束了一次完整的數(shù)值試驗(yàn)。圖3所示為算法流程圖。

圖3 算法流程圖

3 數(shù)值試驗(yàn)與結(jié)果分析

在所有數(shù)值試驗(yàn)中，算法的運(yùn)行次數(shù)均為50次，種群規(guī)模和進(jìn)化代數(shù)均為30，縮放因子和交叉概率分別取0.8和0.9。

為了和已有結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，考慮SCPA的口徑半徑為5.0λ，單元總數(shù)(用N表示)等于201，圓環(huán)數(shù)目為9個(gè)，編號(hào)按照從內(nèi)向外的順序依次記為1th～9th。根據(jù)本文算法得到的結(jié)果，1th～4th圓環(huán)的間距為0.5λ，且圓環(huán)上所有的柵格均被填滿，從而在0λ～2.0λ的口徑范圍內(nèi)，形成一個(gè)單元數(shù)等于61的滿陣結(jié)構(gòu)。剩余5個(gè)圓環(huán)的半徑，按照間距逐漸增大的要求，依次等于2.506λ、3.035λ、3.592λ、4.239λ和5.0λ，填充比分別為94.16%、81.03%、67.46%、49.19%和38.71%。圖4(a)給出了所得陣列的單元分布圖。該陣列的旁瓣電平為-24.78 dB，方向性系數(shù)等于28.49 dB。與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果相比，旁瓣降低1.84 dB，方向性系數(shù)提升1.11 dB。與文獻(xiàn)[10,13]的結(jié)果相比，陣列的旁瓣電平分別降低約1.04 dB和0.57 dB。圖4(b)給出了算法不同階段得到的適應(yīng)度收斂曲線，可以看出，執(zhí)行完算法的第三步后，個(gè)體適應(yīng)度有了明顯降低。

(a) 單元分布 (b) 適應(yīng)度收斂曲線圖4 口徑半徑為5.0λ，201單元填充的SCPA的綜合結(jié)果

類似地，若SCPA的口徑半徑等于4.5λ，填充單元數(shù)為185，利用本算法得到的陣列單元分布及其3D方向圖如圖5所示。該陣列的旁瓣電平等于-25.03 dB，方向性系數(shù)為28.27 dB。與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果相比，旁瓣電平降低2.59 dB，方向性系數(shù)增高1.1 dB；與文獻(xiàn)[14]的結(jié)果相比，旁瓣電平降低約1.29 dB。表1給出了本算法和已有算法的對(duì)比結(jié)果，可以看出，本算法可以更有效地應(yīng)用于含有較多單元的稀布圓平面陣列的低副瓣綜合。上述所有數(shù)據(jù)均在硬件環(huán)境為I7-6700處理器、內(nèi)存8 GB的PC上完成，這些算例的運(yùn)行機(jī)時(shí)約在6.5～7.5 h之間。

表1 不同算法的對(duì)比結(jié)果

4 結(jié)束語

由于對(duì)初始單元分布采取部分密度錐削的策略，通過預(yù)設(shè)的約束條件，待優(yōu)化的單元數(shù)目?jī)H占單元總數(shù)的一小部分，使得算法兼顧了單元分布的多樣性和快速收斂性，具備較好的全局尋優(yōu)能力。數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明，和已有算法相比，采用本算法得到的SCPA，旁瓣電平至少降低了1 dB以上，方向性系數(shù)提升約1.1 dB。類似地，若在初始柵格劃分中，設(shè)定柵格間的弧長(zhǎng)間距大于半波長(zhǎng)，將進(jìn)一步提高陣列的稀疏率和單元分布的多樣性，有助于獲得更為優(yōu)異的結(jié)果。本算法的思路也可為矩形稀布平面陣列的設(shè)計(jì)提供參考。