袁武，曾山

（1.武漢交通職業(yè)學院質量管理與評估處，湖北 武漢 430065；2.武漢輕工大學數(shù)學與計算機學院，湖北 武漢 430023）

近年來，得益于數(shù)字控制技術的發(fā)展和微處理器計算能力的指數(shù)性增加，模型預測控制（model predictive control，MPC）在電力電子領域得到越來越多的成功應用[1-2]，如電機驅動變頻器[3]、逆變器[4]、并網(wǎng)變流器[5]、電力電子變壓器[6]、模塊化多電平變換器[7]、儲能裝置[8]和矩陣轉換器[9]等。在眾多MPC方案中，有限集MPC因其在時間和控制動作上的離散性與電力電子設備之間有著更為內在的聯(lián)系，并同時具備處理各類系統(tǒng)約束、復雜控制目標和非線性因素的能力，故脫穎而出成為了應用最廣泛的MPC控制策略。同時，有限集MPC易于設計和實現(xiàn)，并可通過適當?shù)某杀竞瘮?shù)設計，降低建模誤差的影響，從而保持控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[10-11]。

有限集MPC中最主要的問題之一就是功率半導體器件的最終開關頻率非固定。若不采取措施，則電力電子設備的開關頻率將呈現(xiàn)隨機變化，對應產生較寬范圍的頻譜分布，進而導致復雜系統(tǒng)中諧振激勵難以避免，且濾波器的設計將變得更為復雜，進一步使得并網(wǎng)設備或電源設備的輸出電能質量不穩(wěn)定。另外，若缺乏對開關頻率的調節(jié)，將使得開關頻率上限高達采樣頻率的1/2，這是大功率半導體器件所不能承受的。對此，文獻[12]中將無差拍控制思路引入到MPC方案中，設計了一種低開關頻率的雙矢量MPC策略，但開關頻率依然是隨機的。文獻[13]中將特定諧波消除法結合到MPC中，以期降低開關頻率，但存在調制策略與MPC之間切換的問題，穩(wěn)定性有待驗證。文獻[14]針對電機驅動控制，設計了基于合成虛擬電壓矢量的MPC控制器，拓展了有限控制集，但存在應用對象局限的問題。文獻[15]將空間矢量調制中的扇區(qū)分配和最優(yōu)矢量選擇作用機理取代MPC中傳統(tǒng)成本函數(shù)計算機制，從而使開關動作規(guī)律化，但這摒棄了MPC中成本函數(shù)可處理多系統(tǒng)約束和多控制目標解耦的優(yōu)點。文獻[16-17]將不同傳統(tǒng)調制器并入MPC中，并對MPC輸出量進行再調制獲取了固定開關頻率，但這增加了計算負擔，且有限集MPC的優(yōu)點之一是沒有調制器，額外的調制器加入增加了控制器設計的復雜度。文獻[18]中設計了一種簡單的降頻方案，其通過在成本函數(shù)中設計開關動作次數(shù)相關項，使控制器盡可能選擇開關動作次數(shù)小的開關狀態(tài)輸出以降低開關頻率，但頻譜仍較為分散，并具備隨機性。文獻[19]在簡單降頻方案的基礎上引入了滑動濾波思路，即計算有限時間窗口內的平均開關頻率，再將平均開關頻率引入到成本函數(shù)中作為一個權衡因素，這有助于控制器分散開關動作次數(shù)以實現(xiàn)更均衡的性能，但窗口寬度的設計取決于實際控制對象，難以統(tǒng)一設置。

分析完上述文獻研究內容，本文設計了一種新穎的基于周期控制方法的有限集MPC開關頻率調節(jié)策略。新方案無需在MPC中設置調制器或其他類調制器的措施即可實現(xiàn)開關頻率調節(jié)。新方案實施也較為方便，直接包含在成本函數(shù)中即可實現(xiàn)，同時成本函數(shù)的計算量不會顯著增加，且不會與其他控制目標耦合。最后，對比仿真和實驗驗證了該策略的有效性。

1 有限集MPC

有限集MPC利用系統(tǒng)離散時間域模型預測其狀態(tài)變量的未來行為，并基于成本函數(shù)在有限的控制集合中選擇最優(yōu)的控制動作直接輸出。對于電力電子變換設備而言，有限的控制集合即是開關狀態(tài)的有限組合。

1.1 離散時間域模型

設計有限集MPC的第一步是適當?shù)仉x散化系統(tǒng)動態(tài)方程以進行狀態(tài)預測，設系統(tǒng)當前狀態(tài)為 x（k），輸入為 u（t）=u（k），?t∈[kTs，（k+1）Ts]，其中Ts為采樣周期，k為當前采樣步長，則預測狀態(tài)為x（k+1）。離散化方法主要有兩種，一是采用零階保持器，主要用于線性系統(tǒng)；二是泰勒級數(shù)展開，并保留適當項，這可用于處理包含非線性的系統(tǒng)。這兩種離散化策略都需要基于連續(xù)時間域系統(tǒng)動態(tài)方程進行。

式中：Ad為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；Bd為系統(tǒng)輸入矩陣。

由式（1）可知，離散化需進行矩陣指數(shù)和矩陣求逆運算，當矩陣較大時，計算量將急劇增加?？紤]到許多實際系統(tǒng)中變量隨時間變化緩慢，每個采樣點的變量值可認為是不變的。因此，對于線性時不變系統(tǒng)或只具有少數(shù)變化緩慢變量的系統(tǒng)，可使用此離散化策略，因為模型預測所需的計算時間是可接受的。

對于非線性系統(tǒng)，其動態(tài)方程可描述為

式中：F（x，t）為非線性系統(tǒng)方程。

式（2）的泰勒離散化結構為

式中：x對應于系統(tǒng)所有狀態(tài)變量；Ts為采樣周期；n為截斷程度；i!為階乘運算。

在大多數(shù)情況下，只保留線性項即可，這對應即是Euler離散化。Euler離散化非常適用于非線性系統(tǒng)或多變量系統(tǒng)，可有效降低計算時間。

1.2 成本函數(shù)和最優(yōu)計算

對于每個可能的控制動作u，需將預測狀態(tài)x（k+1）與參考值xr進行比較以評估其性能。涉及到性能評估時，需構建與控制目標相關的成本函數(shù)J，成本函數(shù)的計算要考慮到系統(tǒng)各個誤差，而最優(yōu)的控制動作對應于使所設計的成本函數(shù)值最小的控制動作。通常，電能變換設備控制中最常用的成本函數(shù)設計主要有絕對值誤差|x（k+1）-xr|和平方誤差[x（k+1）-xr]2。而成本函數(shù) J中還可通過使用權重系數(shù)λ來綜合考量各個誤差在成本函數(shù)中的相關性和權重。

由于測量和執(zhí)行算法將導致延遲，這種延遲意味著測量時間點的系統(tǒng)狀態(tài)與執(zhí)行控制指令的狀態(tài)不匹配，從而將降低有限集MPC的性能。對此，可通過兩步預測來補償延遲，其中第一次預測基于第k個步長中測量的狀態(tài)x（k）來預測狀態(tài) x（k+1）以得到控制動作 uk，opt，將此控制動作在第k個步長中應用于系統(tǒng)，此時由測量或計算導致的延遲將最小。第二次預測采用狀態(tài)x（k+1）來預測狀態(tài) x（k+2）以得到最優(yōu)控制動作 uk+1，opt，并將其存儲以用于下一控制步長。圖1為本文所研究的有限集MPC控制結構。

圖1 有限集MPC控制框圖Fig.1 Control block diagram of the finite set MPC

1.3 三相逆變器系統(tǒng)模型

為了闡述所提出的有限集MPC開關頻率調節(jié)策略，以三相逆變器系統(tǒng)為研究對象，如圖2所示。

圖2 三相逆變器的電路圖Fig.2 Circuit diagram of three-phase inverter

圖2中的三相逆變器系統(tǒng)的動態(tài)方程為

式中：L，R分別為負載電感和電阻；Vdc為直流側電壓；ix為負載相電流；Sx為每相開關狀態(tài)。

式（4）寫成α-β坐標中的表達式為

為了建立預測模型，需對式（5）進行離散化?？紤]到式（5）為線性系統(tǒng)，故采用零階保持器即可得到離散時間域模型如下：

2 有限集MPC的開關頻率調節(jié)策略

若不考慮開關頻率調節(jié)，則有限集MPC總是選擇最優(yōu)開關狀態(tài)以校正誤差，從而導致隨機的開關狀態(tài)變化，這可能會導致?lián)p耗增大、諧振和電磁干擾等問題。因此，有必要在有限集MPC中增加開關頻率調節(jié)措施，而開關頻率調節(jié)方案的設計需符合以下設計原則：

1）開關頻率調節(jié)需與其他多個控制目標共存，即調節(jié)開關頻率的策略都不應以犧牲其他控制目標為代價，或者盡量減小對其他開關頻率的影響。2）MPC本身屬于一種計算密集型的控制策略，故應對開關頻率調節(jié)算法的計算量進行評估，若計算負擔太大則將增加硬件負擔。3）設計開關頻率調節(jié)策略時還必須考慮是否易于實施和是否具備一定的靈活性。若算法過于復雜，則編程困難，難以實施。同時開關頻率調節(jié)應和其他控制目標綜合考慮，不能太過于偏重單一目標，即需具備一定的靈活性以保證最后的控制效果。

下面將對主要的傳統(tǒng)開關頻率調節(jié)策略進行回顧，并基于此提出基于周期控制方案的新型開關頻率調節(jié)策略。

2.1 傳統(tǒng)開關頻率調節(jié)策略

1）簡單降頻方案。為了實現(xiàn)更小的開關頻率，簡單降頻方案在成本函數(shù)中增加了新的元素Jf如下所示[18]：

式中：λf為Jf所配置的權重系數(shù)；Sk為當前步長開關動作；Sk-1為前一個步長開關動作；ΔSk=|Sk-Sk-1|為開關動作次數(shù)。

Jf的加入將使得當其他誤差較小時，控制器會盡可能選擇開關動作次數(shù)小的開關狀態(tài)輸出，從而降低開關頻率和系統(tǒng)損耗，但設備的輸出電壓和電流頻譜仍分散在一個范圍內，并具備隨機性。

2）滑動濾波降頻方案。文獻[19]在簡單降頻方案的基礎上引入了滑動濾波思路，即計算有限時間窗口內的平均開關頻率，再將平均開關頻率引入到成本函數(shù)中作為一個控制因素進行綜合考慮。將有限時間滑動窗口內的開關動作次數(shù)相加并對整個滑動窗口時間平均化可得：

式中：λs為Js所配置的權重系數(shù)；Σk為當前步長開關動作次數(shù)累加值；Σr為開關動作次數(shù)參考值；fr，fs分別為參考頻率和采樣頻率；Tw為滑動窗口的時間；Ts為采樣周期。

滑動濾波降頻方案的實施需在控制器中開辟一個循環(huán)緩沖區(qū)以快速計算平均開關頻率。對比式（10）和式（13）可發(fā)現(xiàn)，該方案是簡單降頻方案的擴展，滑動窗口的設計有助于實現(xiàn)更均衡的降頻。

2.2 基于周期控制方法的開關頻率調節(jié)策略

2.2.1 瞬時頻率測量

有限集MPC的特點之一是，開關動作只能在采樣周期Ts的倍數(shù)上發(fā)生，這也是高采樣頻率可改善控制性能的原因。同時，有限集MPC實施時無需存儲消耗，即在每個采樣周期內測量相關變量，并使用系統(tǒng)模型預測不同控制動作產生的系統(tǒng)行為。最后，有限集MPC還具備的一個特點是，系統(tǒng)具有足夠高的采樣頻率，可通過Euler離散化。

頻率是根據(jù)一定時間內發(fā)生的事件數(shù)量而定義的變量，若不考慮過去的系統(tǒng)行為，就不具備意義，故需基于存儲實現(xiàn)對頻率的測量，但可通過選擇單個事件來測量瞬時頻率，這使得對過去事件的回溯減少到最小值。就開關頻率而言，所選事件為功率開關器件的門極驅動信號的下降沿，從而可得到如圖3所示的瞬時頻率計算法。圖3中，門極驅動信號的上升沿是不予考慮的。

圖3 瞬時頻率測量示意圖Fig.3 Schematic diagram of instantaneous frequency measurement

2.2.2 控制對象

基于周期控制方法的開關頻率調節(jié)著重于對相似開關事件的周期進行控制，相似開關事件的定義如圖4所示。相似開關事件是指具有相同的下降沿或上升沿，即圖4中下降沿周期Td和上升沿周期Tu，這對于傳統(tǒng)的脈寬調制而言，也即是開關周期。對Td和Tu進行跟蹤和周期控制的目的在于產生類調制的開關行為。

圖4 相似開關事件的定義Fig.4 Definition of similar switching events

2.2.3 成本函數(shù)設計

與有限集MPC中的其他控制目標類似，將Td和Tu與參考周期Tr進行比較，并配以適當?shù)臋嘀叵禂?shù)以實現(xiàn)所需的開關頻率調節(jié)能力。其中參考周期Tr為所需開關頻率的倒數(shù)，即Tr=1/fr。下式為所設計成本函數(shù)中的新增元素：

式中：JT為成本函數(shù)中新增元素；λT為JT所配置的權重系數(shù)。

為了降低計算量，可基于采樣周期Ts的整數(shù)倍來表達Td和Tu，進而重寫式（14）為

其中 Ku=Tu/TsKd=Td/TsKr=Tr/TsλK=λTT2s

式中：Ku，Kd為整數(shù)形式；Kr，λK為非整數(shù)形式。

2.2.4 有限集MPC算法流程圖

圖5為增加周期控制方法來調節(jié)開關頻率的有限集MPC算法流程圖。

圖5 增加周期控制的有限集MPC算法流程圖Fig.5 Flow chart of finite control set MPC algorithm with period control

對三相系統(tǒng)而言，Ku=[KuaKubKuc]T，Kd=[KdaKdbKdc]T，S=[SaSbSc]T。圖5中延遲補償環(huán)節(jié)中，當脈沖的跳變沿未發(fā)生時，將Ku和Kd的值加1，并在發(fā)生相應的跳變沿時將其重置為1，即和只在跳變沿發(fā)生時才為0，從而復位計數(shù)。圖5中預測環(huán)節(jié)中，采用了和延遲補償環(huán)節(jié)類似的邏輯，區(qū)別僅在于跳變沿發(fā)生時，計算保持不變，而不是復位，圖 5 中 Sp，j，Kup，j和 Kdp，j為對應的預測值。

圖6為在參數(shù)Kr分別設置為15，20和25時，成本函數(shù)計算值隨實際參數(shù)Ku變化時的結果，采用Ku作為橫坐標變量不失一般性，因為Kd變化時的結果也是一樣的。圖6中顯示，當Ku的值顯著小于參考值時，開關狀態(tài)保持不變則計數(shù)器加1，則此時對應成本函數(shù)的增量為圖6中一個較大負值ΔJ1，這使得控制器最優(yōu)開關狀態(tài)的選擇很大概率與前一步長保持不變。而當Ku的值與參考值接近時，開關狀態(tài)保持不變則計數(shù)器加1，則此時對應成本函數(shù)的增量為圖6中一個較小值ΔJ2，這意味著控制器最優(yōu)開關狀態(tài)的選擇與前一步長不同的代價較小，從而有一定概率將改變開關狀態(tài)輸出。最后，當Ku的值顯著大于參考值時，開關狀態(tài)保持不變則計數(shù)器加1，則此時對應成本函數(shù)的增量為圖6中一個較大正值ΔJ3，這表明控制器已經過很長時間都沒有改變開關狀態(tài)，因而繼續(xù)保持開關狀態(tài)將使得成本函數(shù)值增大很多，從而使得控制器大概率改變開關狀態(tài)輸出。

圖6 有限集MPC開關頻率調節(jié)原理分析Fig.6 Analysis of switching frequency regulation principle for finite control set MPC

3 仿真分析

在Matlab/Simulink仿真平臺上搭建了三相逆變器及其有限集MPC控制系統(tǒng)仿真模型，用于驗證所設計的基于周期控制方法的開關頻率調節(jié)策略。仿真系統(tǒng)參數(shù)如下：負載電阻R=10 Ω，負載電感L=10 mH，直流側電壓Vdc=200 V，額定頻率ωn=50 Hz，額定電流Ir=5 A，采樣頻率fs=80 kHz，參考開關頻率fr=1 kHz，頻率調節(jié)權重系數(shù)λK=20，電流調節(jié)權重系數(shù)λI=100。

將基于周期控制方法的開關頻率調節(jié)策略引入到三相逆變器有限集MPC后的完整成本函數(shù)設計為

式中：JJ為總成本函數(shù)；λI為電流跟蹤控制權重系數(shù)；ik+1為第k+1步長的電流矢量；i*為電流矢量參考。

圖7為仿真結果，其中圖7a和圖7b分別為逆變器A相輸出電流波形和電壓波形，從波形圖可看出加入開關頻率調節(jié)策略后的輸出電壓波形和采用開關頻率固定的傳統(tǒng)PWM調制策略的輸出電壓波形類似。圖7c示出了逆變器A相輸出電流的頻譜，可以看出，50 Hz基頻點處的幅值為5.009 1 A，而參考值為5 A，故跟蹤誤差僅為0.18%。而諧波主要集中在參考開關頻率1 kHz附近邊帶，以及參考開關頻率整數(shù)倍頻附近邊帶，這進一步驗證了加入開關頻率調節(jié)策略后的有限集MPC產生了穩(wěn)態(tài)下類PWM調制策略的諧波分布。

圖7 穩(wěn)態(tài)仿真結果Fig.7 Steady-state simulation results

圖8為不同調制比下，引入基于周期控制方法的開關頻率調節(jié)策略下的有限集MPC與傳統(tǒng)PWM的輸出電壓和輸出電流THD分布，其中有限集MPC的等效調制比從0到1的變化是通過逐漸增加電流參考值來實現(xiàn)的。從對比結果可看出，加入新型開關頻率調節(jié)措施后，有限集MPC的輸出THD隨調制比變化曲線和傳統(tǒng)PWM方案基本接近，其中輸出電流THD在參考電流較小時較PWM方案惡化是因為固定采樣頻率使得有限集MPC可達到的占空比受到限制。

圖8 輸出電壓和電流THD對比Fig.8 Comparison of output voltage and current THD

圖9為參考電流值從1 A階躍變化至5 A的動態(tài)仿真結果，其中圖9a反應了未加入開關頻率調節(jié)的有限集MPC的電流調節(jié)動態(tài)性能，圖9b為引入新型開關頻率調節(jié)的有限集MPC的電流調節(jié)動態(tài)性能，對比兩者可看出，設置頻率調節(jié)權重系數(shù)λK為20后，電流達到穩(wěn)定狀態(tài)較無開關頻率調節(jié)時約耗時三倍，但仍具有快速的時間響應。這表明，即使實現(xiàn)了類調制的諧波特性，控制器仍保持了有限集MPC最重要的優(yōu)點，即具有快速的電流控制動態(tài)響應。

圖9 動態(tài)仿真結果Fig.9 Dynamic simulation results

4 實驗驗證

進一步，為了驗證前述理論設計和仿真分析，在實驗室搭建了小功率三相逆變器及其控制系統(tǒng)開展了實驗研究。其中控制器基于德州儀器公司的DSP芯片（型號為TMS320F28335）及其開發(fā)板實現(xiàn)，逆變器主體由英飛凌公司的EconoPIM逆變器集成模塊（型號為FP100R06KE3）構建，逆變器輸出帶10 mH電感濾波，負載為純電阻負載，阻值為10 Ω，其他實驗系統(tǒng)參數(shù)和上文仿真參數(shù)一致。

圖10為穩(wěn)態(tài)實驗結果，其中圖10a為逆變器A相輸出電流波形，圖10b為逆變器A相輸出電壓波形，圖10c為輸出電流FFT分析及其頻譜，其中THD為13.7%，實驗結果和圖7中仿真結果吻合，驗證了仿真分析，也說明了加入新型開關頻率調節(jié)后的有限集MPC與PWM調制的諧波分布類似。

圖10 穩(wěn)態(tài)實驗結果Fig.10 Steady-state experimental results

圖11為參考電流值從1 A階躍變化至5 A的動態(tài)實驗結果，這與圖9b中的仿真結果是匹配的，即電流動態(tài)調節(jié)時間為2 ms，這驗證了在設置開關頻率調節(jié)的同時依然保持了控制器較快速的動態(tài)響應。

圖11 動態(tài)實驗結果Fig.11 Dynamic experimental results

5 結論

圍繞有限集MPC在使用時存在的開關頻率不固定問題，基于對開關周期的測量和控制，設計了一種類PWM諧波特性的有限集MPC開關頻率調節(jié)策略，經理論分析、仿真和實驗總結如下：

1）通過分析傳統(tǒng)開關頻率調節(jié)策略，總結了開關頻率調節(jié)方案設計原則，并指導了新型的基于開關周期方法的開關頻率調節(jié)策略設計。

2）新型開關頻率調節(jié)策略通過在成本函數(shù)引入適當變量，即具有對開關頻率調節(jié)的功能，且其不增加系統(tǒng)剛性約束，具備一定的靈活性，同時對其他系統(tǒng)控制目標無較大影響，在實施性方面僅需要簡單的計算即可輕松實現(xiàn)對開關頻率的控制。

3）仿真和實驗結果表明，不同于傳統(tǒng)開關頻率調節(jié)策略，新方案可表現(xiàn)出類PWM的輸出諧波特性，這有利于經典的濾波器設計，同時保留了MPC控制器優(yōu)良的動態(tài)性能。

4）進一步的研究的方向是針對更復雜的系統(tǒng)，如多電平變換器，或接入非線性負載等情況下的開關頻率調節(jié)策略設計。