陳潤(rùn)田,祝長(zhǎng)生

(浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院,浙江 杭州 310027)

0 引 言

電磁軸承通過可控電磁力支承轉(zhuǎn)子,具有無機(jī)械摩擦、無需潤(rùn)滑、復(fù)雜環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。另外,通過控制電磁力,它還可以主動(dòng)調(diào)節(jié)支承的動(dòng)力學(xué)特性,在保證轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮的同時(shí),可以抑制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)[1]。

目前,對(duì)電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及控制的研究,主要是在假設(shè)基礎(chǔ)處于不動(dòng)或忽略基礎(chǔ)激勵(lì)的條件下進(jìn)行的。但是,對(duì)于許多電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng),就必須考慮基礎(chǔ)激勵(lì)的影響,否則電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不僅不能穩(wěn)定工作,甚至?xí)霈F(xiàn)轉(zhuǎn)子與保護(hù)軸承碰撞或系統(tǒng)失穩(wěn)的現(xiàn)象[2-4]。因此,在存在基礎(chǔ)激勵(lì)的情況下,需要考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng),應(yīng)保持轉(zhuǎn)子和定子之間的相對(duì)位移小于安全氣隙,以免轉(zhuǎn)子碰撞保護(hù)軸承或系統(tǒng)失穩(wěn)。

按照激勵(lì)的特性,基礎(chǔ)激勵(lì)可以分為單頻激勵(lì)、多頻激勵(lì)、隨機(jī)激勵(lì)(包括地震激勵(lì))及其組合等形式。基礎(chǔ)可以為剛體,也可以為柔性體;柔性基礎(chǔ)的特性相對(duì)剛性基礎(chǔ)的特性更加復(fù)雜。對(duì)于剛性基礎(chǔ),基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用3個(gè)位移和3個(gè)角度變量來表示。按照基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),基礎(chǔ)激勵(lì)又可以分為平動(dòng)激勵(lì)、錐動(dòng)激勵(lì)[5]以及混合運(yùn)動(dòng)激勵(lì)[6]。其中,平動(dòng)激勵(lì)是基礎(chǔ)在某個(gè)方向上發(fā)生平動(dòng)運(yùn)動(dòng),也就是基礎(chǔ)的某個(gè)位移變量發(fā)生變化,而角度變量保持不變;錐動(dòng)激勵(lì)為基礎(chǔ)以其某一點(diǎn)為中心做角向運(yùn)動(dòng),某個(gè)角度變量發(fā)生變化,而這個(gè)中心點(diǎn)的位置變量保持不變;混合運(yùn)動(dòng)激勵(lì)基礎(chǔ)的位置和姿態(tài)都發(fā)生變化,是最一般的基礎(chǔ)激勵(lì)形式。目前,對(duì)基礎(chǔ)激勵(lì)的研究主要以平動(dòng)激勵(lì)為主。

KEOGH P S等[7]針對(duì)基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)下,給電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)帶來的不良影響,對(duì)諧波控制器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì),所設(shè)計(jì)的控制器可在有限時(shí)間內(nèi)抑制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。MURAL Y等[8]收集了地震波波形,并將其施加于電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng),對(duì)其振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了測(cè)試,但并未提出有效的控制方法。SUZUKI Y[9]根據(jù)電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)激勵(lì)條件下的振動(dòng)響應(yīng)特性,設(shè)計(jì)了一種基于FIR(finite impulse response)和IIR(infinite impulse response)的加速度前饋補(bǔ)償濾波器,用于抑制單個(gè)周期的正弦沖擊激勵(lì)和周期性正弦激勵(lì)給系統(tǒng)帶來的不良影響。COLE M O T等[10]將基礎(chǔ)激勵(lì)以位移的形式引入到電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中,提出了一種基于狀態(tài)反饋的自適應(yīng)Q控制方案,但這種控制方法對(duì)模型精確性要求較高。KASARDA M E等[11]搭建了一個(gè)小型的非旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)裝置,并對(duì)此進(jìn)行了測(cè)試,以研究正弦基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)對(duì)電磁軸承支撐目標(biāo)轉(zhuǎn)子質(zhì)量的影響;但是其缺陷是并未考慮轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)。KANG M S等[12]研究了不依賴被控模型的自適應(yīng)Fx-LMS的加速度前饋補(bǔ)償控制器,實(shí)現(xiàn)了對(duì)單自由度電磁懸浮系統(tǒng)的振動(dòng)控制。MARUYAMA Y等[13]利用干擾觀測(cè)器估算的干擾信號(hào)來補(bǔ)償定子運(yùn)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子帶來的影響,其補(bǔ)償?shù)男ЧQ于觀測(cè)器的估算精度。MARX S等[14]考慮了帶有兩個(gè)電磁軸承的四自由度剛性轉(zhuǎn)子模型,將PD反饋和最優(yōu)前饋控制程序進(jìn)行組合,有效地抑制了諧波基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有害影響。KAMEL M等[15]研究了在多參數(shù)激勵(lì)下,具有二次非線性和三次非線性的周期性時(shí)變剛度的電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振情況,并應(yīng)用多時(shí)標(biāo)技術(shù),求解了其控制系統(tǒng)的非線性微分方程。

在國(guó)內(nèi),黃春新[16]通過仿真,分析了電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)懸掛在機(jī)翼下和在地面上旋轉(zhuǎn)工作時(shí)的不平衡響應(yīng)和激勵(lì)響應(yīng)。祝長(zhǎng)生等[17]通過實(shí)驗(yàn),研究了電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中基礎(chǔ)的橫向振動(dòng)對(duì)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響,研究結(jié)果表明,傳統(tǒng)的PID控制器對(duì)電磁軸承基礎(chǔ)橫向振動(dòng)的抑制能力非常有限。HAN Qin-kai等[18]利用Lagrange方程和有限元法,建立了具有六自由度基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)和質(zhì)量不平衡的偏置單盤柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的一般表達(dá)式,發(fā)現(xiàn)時(shí)變基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)不僅在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上產(chǎn)生附加的參數(shù)時(shí)變阻尼和剛度效應(yīng),還會(huì)產(chǎn)生附加外激勵(lì)力。

針對(duì)基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)控制,筆者通過建立電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及狀態(tài)空間方程,提出一種基于LMS算法的,以基礎(chǔ)加速度為輸入信號(hào)的自適應(yīng)控制器,驗(yàn)證基于LMS算法的變步長(zhǎng)自適應(yīng)控制策略對(duì)基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)引起的系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的有效性。

1 基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)下電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型狀態(tài)方程

常見的電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子-基礎(chǔ)系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 柔性轉(zhuǎn)子基礎(chǔ)系統(tǒng)示意圖O(x0y0z0)—固定在地面的絕對(duì)坐標(biāo)系;Ob(xbybzb)—固定在基礎(chǔ)上的相對(duì)于地面的坐標(biāo)系;Or(xyz)—固定在轉(zhuǎn)子上的相對(duì)于基礎(chǔ)的坐標(biāo)系

本文主要研究電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的徑向振動(dòng)特性,而忽略軸向振動(dòng)及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響。

1.1 基礎(chǔ)靜止條件下柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

當(dāng)柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基礎(chǔ)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí),基礎(chǔ)和地面相對(duì)靜止,即有:

x=x0

(1)

式中:x—轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的位移矢量,m;x0—轉(zhuǎn)子相對(duì)于地面的位移矢量,m。

對(duì)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng),筆者利用有限元或集中參數(shù)法進(jìn)行建模,容易得到柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

(2)

式中:M—轉(zhuǎn)子4n×4n維的質(zhì)量矩陣,kg;G—轉(zhuǎn)子4n×4n維的陀螺效應(yīng)矩陣;K—轉(zhuǎn)子4n×4n維的等效剛度矩陣,N/m;C—轉(zhuǎn)子4n×4n維的等效阻尼矩陣,N/m·s-1;F—轉(zhuǎn)子受到的除基礎(chǔ)激勵(lì)外的激勵(lì)力矢量,N;ω—轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速,r/min。

1.2 基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基礎(chǔ)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)后,柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程仍然與式(2)類似,但系統(tǒng)中與剛度和阻尼相關(guān)的力,將和轉(zhuǎn)子與基礎(chǔ)之間的相對(duì)位移和相對(duì)速度相關(guān),而非轉(zhuǎn)子相對(duì)于地面的絕對(duì)位移和絕對(duì)速度。

設(shè)基礎(chǔ)相對(duì)于地面的位移矢量為xb,代入式(2),可得到用柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)后用相對(duì)于地面的位移表示的動(dòng)力學(xué)方程,即:

(3)

當(dāng)基礎(chǔ)相對(duì)于地面在平動(dòng)方向上發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí):一方面只能測(cè)量轉(zhuǎn)子相對(duì)于運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)的位移,而不是轉(zhuǎn)子相對(duì)于地面的位移;另一方面,轉(zhuǎn)子相對(duì)于運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)的位移遠(yuǎn)比轉(zhuǎn)子相對(duì)于地面的位移更有意義。

在考慮柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基礎(chǔ)受外部激勵(lì)只是在平動(dòng)方向上產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的條件下,轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的位移矢量x為:

x=x0-xb

(4)

將式(4)代入式(3),就可以得到柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)后,用相對(duì)于運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)的位移表示的動(dòng)力學(xué)方程,即:

(5)

可見,對(duì)于柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言,由于陀螺效應(yīng)的影響,基礎(chǔ)的平動(dòng)激勵(lì)不僅產(chǎn)生了一個(gè)與基礎(chǔ)加速度相關(guān)的激勵(lì)項(xiàng),而且還出現(xiàn)了一個(gè)與基礎(chǔ)速度有關(guān)的激勵(lì)項(xiàng)。這也是基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與一般非旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型上的差異。

1.3 基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng),電磁軸承只是安裝在有限的節(jié)點(diǎn)。為方便起見,此處假設(shè)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上都安裝有電磁軸承及存在不平衡力。電磁軸承對(duì)轉(zhuǎn)子的作用按照一個(gè)外激勵(lì)力進(jìn)行處理。

電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中電磁軸承處的電磁力矢量如果采用線性化模型,則可以表示為:

FAMB=Kxx+Kii

(6)

式中:Kx—4n×4n維的電磁軸承位移剛度系數(shù)矩陣,N/m;Ki—4n×4n維的電磁軸承電流剛度系數(shù)矩陣,N/A;i—控制電流矢量,A。

Ki均為對(duì)角矩陣,對(duì)角線上的元素為各電磁軸承的位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù)。

在恒速情況下,電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子的不平衡激勵(lì)力矢量為:

Fu=εMω2sin(ωt+φ)

(7)

式中:ε—每個(gè)節(jié)點(diǎn)的不平衡偏心率;φ—每個(gè)節(jié)點(diǎn)的不平衡相位角,°。

由此,可以得到基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下,電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程:

(8)

據(jù)式(8),可得到基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下,電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的狀態(tài)空間方程:

(9)

2 控制器設(shè)計(jì)

與傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同,在電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中,可以利用電磁軸承對(duì)基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)導(dǎo)致的振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)控制。

從基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以發(fā)現(xiàn),基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響可以等效為由基礎(chǔ)加速度和基礎(chǔ)速度導(dǎo)致的附加激勵(lì)力。不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下,等效的激勵(lì)力不僅含有與轉(zhuǎn)速同頻的成分,而且還含有基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)頻率的成分,是一個(gè)多頻激勵(lì)問題[19,20]。

為了解決基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下,電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)控制,筆者提出一種基于LMS算法的,以基礎(chǔ)加速度為參考信號(hào)的變步長(zhǎng)自適應(yīng)控制器。

2.1 基于變步長(zhǎng)LMS算法的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

基于LMS算法的自適應(yīng)控制器主要包括輸入信號(hào)延遲環(huán)節(jié)、權(quán)矢量矩陣以及輸出信號(hào),其結(jié)構(gòu)原理圖如圖2所示。

圖2 基于LMS算法的自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)原理圖

根據(jù)圖2,輸入信號(hào)as經(jīng)過P個(gè)延時(shí)單元,構(gòu)成控制器的參考信號(hào)S(n)為:

S(n)=[as(n)as(n-1) …as(n-p)]T

(10)

每個(gè)延時(shí)位置均有一個(gè)權(quán)系數(shù),構(gòu)成權(quán)矢量W(n)為:

W(n)=[w0w1…wp]T

(11)

控制器的輸出信號(hào)out(n)為:

out(n)=WT(n)S(n)

(12)

誤差信號(hào)e(n)為期望信號(hào)ε(n)與輸出信號(hào)out(n)的差值,即:

e(n)=ε(n)-out(n)=ε(n)-WT(n)S(n)

(13)

自適應(yīng)過程即為調(diào)節(jié)權(quán)矢量,改變輸出信號(hào)out(n),使得誤差信號(hào)e(n)的絕對(duì)值最小的過程。由于絕對(duì)值函數(shù)難以進(jìn)行參數(shù)迭代和目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu),此處采用MSE(mean square error)為目標(biāo)函數(shù):

MSE=ξ(n)=e2(n)

(14)

目標(biāo)函數(shù)的梯度為:

(15)

根據(jù)最速梯度下降法,可得到權(quán)矢量W(n)的更新公式為:

(16)

式中:μ—迭代步長(zhǎng)。

對(duì)于定步長(zhǎng)LMS算法而言,在保證算法收斂的情況下,步長(zhǎng)μ越大,收斂速度越快,但也會(huì)造成穩(wěn)態(tài)誤差的增大;步長(zhǎng)μ越小,穩(wěn)態(tài)誤差越小,但收斂速度減慢。

為解決收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾,筆者利用tanh函數(shù),提出一種變步長(zhǎng)迭代方法:

μ=αtanh2{βe(n)}.

(17)

步長(zhǎng)μ隨不同α及β值與誤差信號(hào)間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 步長(zhǎng)μ隨不同α及β值與誤差信號(hào)間的關(guān)系

圖3中,當(dāng)β不變,α越大,步長(zhǎng)的變化范圍越大;當(dāng)α不變,β越大,步長(zhǎng)隨誤差的變化曲線斜率越大;可通過調(diào)整α來控制步長(zhǎng)μ的取值范圍,調(diào)整β控制步長(zhǎng)μ衰減速度。

由此可知,采用式(17)中的變步長(zhǎng)算法,可使W(n)在誤差較大時(shí)迭代步長(zhǎng)大,速度快;在誤差較小時(shí)迭代步長(zhǎng)小,速度慢。

2.2 基于自適應(yīng)控制器的基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)振動(dòng)抑制系統(tǒng)模型

基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)下,基于自適應(yīng)控制器的振動(dòng)響應(yīng)抑制系統(tǒng)模型如圖4所示。

圖4 基于自適應(yīng)控制器的基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)抑制系統(tǒng)模型加速度傳感器測(cè)得的基礎(chǔ)加速度;xE—期望位移;x—相對(duì)位移;xDS—期望位移與相對(duì)位移之差;out(n)—控制器輸出信號(hào)

自適應(yīng)控制器的參考信號(hào)S(n)為基礎(chǔ)在平動(dòng)方向上的加速度,即:

(18)

誤差信號(hào)e(n)為:

e(n)=xE(n)-x(n)=xDS(n)

(19)

則權(quán)值更新公式為:

W(n+1)=W(n)+μxDS(n)S(n)

(20)

3 仿真及結(jié)果分析

3.1 基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)特性

仿真中使用的柔性轉(zhuǎn)子模型如圖5所示。

圖5 仿真中使用的柔性轉(zhuǎn)子模型

其中,轉(zhuǎn)子的具體參數(shù)如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)子的具體參數(shù)

轉(zhuǎn)子在自由狀態(tài)下的剛體平動(dòng)模態(tài)頻率約為18 Hz,一階彎曲模態(tài)頻率約為78 Hz。調(diào)整PID控制器參數(shù),使得柔性轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運(yùn)行,在水平x方向上施加等幅、不同頻的正弦基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)。

為簡(jiǎn)化分析,筆者不考慮傳感器和執(zhí)行器不同位的影響,認(rèn)為傳感器和電磁軸承的軸向位置重合。由于左、右兩個(gè)傳感器位置處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性及變化規(guī)律相似,這里僅給出了左端傳感器A處轉(zhuǎn)子的計(jì)算結(jié)果。

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中,由于陀螺效應(yīng)的影響,基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)不僅產(chǎn)生了一個(gè)與基礎(chǔ)加速度相關(guān)的激勵(lì)項(xiàng),還出現(xiàn)了一個(gè)與基礎(chǔ)平動(dòng)速度有關(guān)的激勵(lì)項(xiàng);基礎(chǔ)平動(dòng)速度信號(hào)由基礎(chǔ)加速度信號(hào)處理得到。

根據(jù)得到的基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程、PID主控制器及所設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)控制器,筆者在MATLAB/Simulink中搭建了系統(tǒng)的仿真模型。

在PID主控制器下,轉(zhuǎn)子的位移剛度kx為2.205×106N/m,電流剛度ki為716.2 N/A。

當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為6 000 r/min時(shí),筆者在基礎(chǔ)的x方向施加幅值A(chǔ)b為5 m·s-2、頻率fb為5 Hz、相位為0的單頻正弦基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)。

傳感器A處轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示。

圖6 傳感器A處轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖6的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡可見,當(dāng)在基礎(chǔ)的x方向施加基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)時(shí),轉(zhuǎn)子在激勵(lì)方向上的振動(dòng)明顯增大,而對(duì)在非激勵(lì)的y方向的振動(dòng)幾乎沒有影響。

3.2 轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)與基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)頻率的變化關(guān)系

給基礎(chǔ)施加不同頻率、幅值相等(5 m·s-2)、相位為0的基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì),激勵(lì)頻率對(duì)電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)傳感器A處轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)特性曲線的影響,如圖7所示(圖7中的曲線為轉(zhuǎn)子在無基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)情況下的位移響應(yīng)曲線)。

圖7 激勵(lì)頻率對(duì)電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)傳感器A處轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)特性曲線的影響

根據(jù)圖7(b)可知:基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)頻率的改變不會(huì)導(dǎo)致非施加基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)方向上轉(zhuǎn)子振動(dòng)的變化。

與3.2其他條件相同的情況下,在基礎(chǔ)水平方向上施加不同幅值、頻率相同(5 Hz)、相位為0的正弦平動(dòng)激勵(lì),可得到不同激勵(lì)幅值下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)位移響應(yīng)特性曲線,如圖8所示。

圖8 不同激勵(lì)幅值下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)位移響應(yīng)特性曲線

根據(jù)圖8(a)可知:在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi),當(dāng)基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)的頻率不變時(shí),施加基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)方向上轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)幅值隨平動(dòng)激勵(lì)幅值的增大而增大;

根據(jù)圖8(b)可知:激勵(lì)幅值的改變不會(huì)導(dǎo)致非施加基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)方向上轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)的變化。

在其他條件相同的情況下,在基礎(chǔ)水平方向上施加幅值和頻率相同(5 m·s-2,5 Hz)、相位不同的正弦平動(dòng)激勵(lì),可得到不同相位差下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)曲線,如圖9所示。

圖9 不同相位差下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)曲線

根據(jù)圖9(a)可知:在剛體臨界轉(zhuǎn)速附近時(shí),相同轉(zhuǎn)速下相位的改變會(huì)引起較大的轉(zhuǎn)子振幅波動(dòng);而在一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近時(shí),相同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子振幅幾乎不隨激勵(lì)相位的改變而改變。

由此,將轉(zhuǎn)子設(shè)定在不同轉(zhuǎn)速(剛體臨界轉(zhuǎn)速之下,剛體臨界轉(zhuǎn)速和一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速之間,一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速之上)下,保持基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)的幅值、頻率不變,只改變激勵(lì)的相位,可得到不同轉(zhuǎn)速頻率下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅值和激勵(lì)相位的變化結(jié)果,如圖10所示。

圖10 不同轉(zhuǎn)速頻率下傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅值和激勵(lì)相位的變化結(jié)果

結(jié)合圖9和圖10可知:當(dāng)基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)頻率較低,與旋轉(zhuǎn)頻率相差不大時(shí),激勵(lì)相位的改變會(huì)引起較大的振幅波動(dòng);當(dāng)旋轉(zhuǎn)頻率與基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)頻率相差較大時(shí),激勵(lì)相位的改變對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的影響較小;激勵(lì)相位的改變不會(huì)導(dǎo)致非施加基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)方向上轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)的變化。

綜上所述:基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)僅對(duì)轉(zhuǎn)子在激勵(lì)方向上的位移產(chǎn)生影響,不會(huì)影響與其垂直方向上的位移響應(yīng);當(dāng)激勵(lì)頻率較低,且幅值較大時(shí),轉(zhuǎn)子的最大位移響應(yīng)幅值遠(yuǎn)大于基礎(chǔ)靜止?fàn)顟B(tài)下的幅值,這時(shí)如果不施加必要的控制,轉(zhuǎn)子極易與備用軸承發(fā)生碰撞,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。

3.3 基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)下柔性轉(zhuǎn)子的振動(dòng)抑制

3.3.1 單頻正弦激勵(lì)時(shí)柔性轉(zhuǎn)子的振動(dòng)抑制

對(duì)轉(zhuǎn)子施加頻率為5 Hz、幅值為5 m·s-2、相位為0的正弦基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì),可得到無基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)、有基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)和對(duì)基礎(chǔ)的平動(dòng)激勵(lì)進(jìn)行控制后傳感器A處轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果,如圖11所示。

圖11 無基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)、有基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)和對(duì)基礎(chǔ)的平動(dòng)激勵(lì)進(jìn)行控制后傳感器A處轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)

由圖11可知:在無基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)時(shí),傳感器A處轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的最大幅值出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子的一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近;當(dāng)基礎(chǔ)受到單頻平動(dòng)激勵(lì)時(shí),傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)基本上按照一個(gè)常增量增大,這是因?yàn)檎麄€(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為線性系統(tǒng),其振動(dòng)響應(yīng)為基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)和不平衡激勵(lì)的疊加,轉(zhuǎn)速的變化會(huì)帶來不平衡激勵(lì)的變化;而式(8)中,陀螺效應(yīng)項(xiàng)相對(duì)于阻尼項(xiàng)很小,基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)所引起的轉(zhuǎn)子振動(dòng)分量幾乎不會(huì)使振動(dòng)位移基本按照常增量增大;最大幅值出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子的一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近,最大振幅約為0.5 mm,由于一般的電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)備用支承的間隙不會(huì)超過0.5 mm,基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)可能會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與備用軸承相碰。

在使用了自適應(yīng)控制后,轉(zhuǎn)子的位移迅速減小,并接近無基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)曲線?？梢姴捎米赃m應(yīng)控制時(shí),在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)都十分有效。

3.3.2 多頻正弦激勵(lì)時(shí)柔性轉(zhuǎn)子的振動(dòng)抑制

為驗(yàn)證自適應(yīng)控制器對(duì)多頻激勵(lì)的控制效果,筆者再施加包含5 Hz、10 Hz、15 Hz頻率分量的多頻基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì),其幅值分別為5 m·s-2、2 m·s-2、1 m·s-2,相位均為0,得到無基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)、多頻基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)和對(duì)基礎(chǔ)的平動(dòng)激勵(lì)進(jìn)行控制后傳感器A處轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果,如圖12所示。

圖12 無基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)、多頻基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)和對(duì)基礎(chǔ)的平動(dòng)激勵(lì)進(jìn)行控制后傳感器A處轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)

由圖12可知:當(dāng)基礎(chǔ)受到多頻平動(dòng)激勵(lì)時(shí),傳感器A處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)也基本上按照一個(gè)常增量增大,多頻基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下振幅的常增量比單頻基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下振幅的常增量大,最大幅值同樣出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子的一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近,最大振幅約為0.8 mm,所以基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)將會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與備用軸承相碰,使系統(tǒng)不能正常工作;

在使用了自適應(yīng)控制后,轉(zhuǎn)子位移迅速減小,并接近無基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)曲線?？梢姴捎米赃m應(yīng)控制時(shí),在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)都十分有效。

筆者將轉(zhuǎn)子設(shè)定在6 000 r/min穩(wěn)定轉(zhuǎn)速下,施加多頻基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì),并開啟自適應(yīng)控制。

在開啟自適應(yīng)控制前后,傳感器A處轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)的FFT分析結(jié)果如圖13所示。

圖13 控制前后傳感器A處轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)的FFT分析結(jié)果

將全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)自適應(yīng)控制前后轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的控制效果和圖13進(jìn)行對(duì)比可知:

(1)所設(shè)計(jì)的基于LMS算法的變步長(zhǎng)自適應(yīng)控制器可以有效地抑制基礎(chǔ)單頻及多頻平動(dòng)激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移的影響;

(2)根據(jù)3.2中的結(jié)論和實(shí)際情況下轉(zhuǎn)子運(yùn)行轉(zhuǎn)速較高,旋轉(zhuǎn)頻率與基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)頻率差值較大的情況,因此不考慮二者頻率相同的情況。

4 結(jié)束語

在基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下,筆者首先建立了電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)方程及狀態(tài)空間模型;然后基于LMS算法,設(shè)計(jì)了變步長(zhǎng)自適應(yīng)控制器;最后,利用MATLAB/Simulink仿真工具,分析了在PID主控器下全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下的振動(dòng)特性,驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器在基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)條件下,對(duì)電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的控制效果,得到如下結(jié)論:

(1)基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)僅對(duì)激勵(lì)方向上轉(zhuǎn)子的振動(dòng)產(chǎn)生影響,不會(huì)影響與其垂直方向上轉(zhuǎn)子的振動(dòng);基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)的頻率越低,轉(zhuǎn)子的振動(dòng)越大,基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)的頻率越高,轉(zhuǎn)子的振動(dòng)越小;轉(zhuǎn)子在基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)方向上的振動(dòng)隨平動(dòng)激勵(lì)幅值的增大而增大;

(2)當(dāng)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速較低,基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)與不平衡激勵(lì)力的相位相差不大時(shí),基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)相位的改變會(huì)引起較大的轉(zhuǎn)子振幅波動(dòng);當(dāng)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速較高,基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)與不平衡激勵(lì)力的相位相差較大時(shí),基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)相位的改變對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響較小;

(3)所設(shè)計(jì)的基于LMS算法的變步長(zhǎng)自適應(yīng)控制器,能夠有效地抑制基礎(chǔ)單頻及多頻平動(dòng)激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響,使轉(zhuǎn)子的振動(dòng)接近無基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)時(shí)的水平。