董子宇，任新成，趙 曄，楊鵬舉，朱小敏

(延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，陜西 延安 716000)

近年來，粗糙面電磁散射研究在軍事領(lǐng)域和民用領(lǐng)域的運(yùn)用越來越廣泛，逐漸成為該領(lǐng)域?qū)W者關(guān)注的熱門課題[1-8]。自然界中的陸地面積雖然遠(yuǎn)小于海洋面積，但是陸地環(huán)境卻非常復(fù)雜，并且很多地面下都是由多種介質(zhì)組成的，比如植被及其下方的介質(zhì)，煤層及其上方、下方的介質(zhì)，雪覆蓋的土壤，油層及其上方、下方的介質(zhì)，還有常見的公路等諸多情形。因此，對于粗糙面下方有多種介質(zhì)情形的電磁散射研究具有重要的意義。

粗糙面下方有多層介質(zhì)情形的電磁散射研究中，大多數(shù)學(xué)者以研究植被、雪層覆蓋的土壤為主[9，10]，對路面系統(tǒng)的研究較少。王蕊等人運(yùn)用KA方法結(jié)合矩量法研究了兩層高斯粗糙表面的雙基地散射[11]；李娟等人用FDTD(時(shí)域有限差分)方法研究兩層粗糙面的電磁散射問題[12]；晁雪等人利用矩量法研究了非高斯分層粗糙面的電磁散射問題[13]。事實(shí)上，對瀝青混凝土路面的電磁散射的研究可以更好了解路面的粗糙程度，對于城鎮(zhèn)道路交通和飛機(jī)跑道的鋪設(shè)維護(hù)等方面具有重要的意義。

本文選用指數(shù)型分布表示由面層、基層、路基層構(gòu)成的瀝青混凝土路面的高度起伏，采用蒙特卡羅方法模擬瀝青混凝土路面，選取土壤四成分模型表示路基層介電常數(shù)，運(yùn)用FDTD方法研究了瀝青混凝土路面的電磁散射特性。

1 基本理論

1.1 粗糙面的生成

在實(shí)際情況中，粗糙面一般都是二維的，但是在進(jìn)行研究的時(shí)候?yàn)榱朔奖?，大多將其簡化成一維的。對于一維的隨機(jī)粗糙面可以使用蒙特卡羅方法進(jìn)行模擬。將隨機(jī)生成的粗糙面的長度定義為L，第n個(gè)離散點(diǎn)可以表示為xn=n△x(n=1，…，N)，其中△x表示為相鄰兩個(gè)離散點(diǎn)的距離，

(1)

f(xn)即模擬粗糙面的輪廓，其空間傅里葉變化為F(Kj)，定義為

F(Kj)=

(2)

Kj定義為離散波數(shù)Kj=2πj/L，W(Kj)表示粗糙面的功率譜密度，△k為波束差，N(0,1)為均值為0，方差為1的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)j<0時(shí)，為了減少譜重疊，有著F(Kj)=F(K-j)*的共軛對稱關(guān)系[14]。指數(shù)分布粗糙面的功率譜密度為：

(3)

1.2 路面下方介質(zhì)介電常數(shù)

通常我們常見的瀝青路面可以分為三層：第一層為瀝青混合物的面層，第二層為水泥碎石的基層，第三層為路基層，主要為土壤[15]。面層和基層的介電常數(shù)由文獻(xiàn)[16]給出，面層的介電常數(shù)實(shí)部為6，虛部為0.35，基層的介電常數(shù)的實(shí)部為13，虛部為2.78。路基層的介電常數(shù)通過土壤的四成分模型[17]計(jì)算得到，土壤類型為粉沙壤土[18]，含沙量為17.2%，黏土含量為19%，土壤復(fù)介電常數(shù)可表示為ε=ε′-jε″，其中ε′為復(fù)介電常數(shù)實(shí)部，ε″為復(fù)介電常數(shù)虛部。路基層的介電常數(shù)ε=16.19-5.86i(mv=0.3 g/cm3)。

1.3 入射波的引入

在水平線上引入入射波，入射角為θi，角頻率為ω，連接邊上的點(diǎn)r′=xx′+yy′在入射波方向上的投影為

d=xsinθi-ycosθi。

(4)

距離d的入射波可以通過以線性插值的方法得到，(5)式和(6)式中floor代表向下取整，

Einc(d)=

[1-d+floor(d)]Einc[floor(d)]+

[d-floor(d)]Einc[floor(d)+1]，

(5)

Hinc(d)=

[1-d+floor(d)]Hinc[floor(d)]+

[d-floor(d)]Hinc[floor(d)+1]。

(6)

邊界上入射波的場值表示為：

Ez(r′)=Einc(d)，

(7)

Hx(r′)=-Hinc(d)cosθi，

(8)

Hy(r′)=Hinc(d)sinθi。

(9)

為了解決人為發(fā)生的反射問題，通常會在入射波上附加高斯窗函數(shù)，

G(x,y)=

exp{-[(x-x0)2+(y-y0)2]·(cosθ/g)2}。

(10)

當(dāng)x0=y0=0，要使窗函數(shù)在總場邊緣處下降為中心的10-3，應(yīng)使

(11)

其中ρm為中心到邊緣的最小距離。

2 FDTD計(jì)算

2.1 二維FDTD差分公式

對于二維的麥克斯韋方程情況，其物理量與z坐標(biāo)無關(guān)。通常電磁波可分為TM波和TE波兩種，本文以TM波為例。TM波的二維FDTD差分公式可以寫為

(12)

(13)

(14)

式中的系數(shù)CA(m)，CB(m)，CP(m)，CQ(m)分別表示為

(15)

(16)

(17)

(18)

2.2 吸收邊界的選取

因?yàn)镕DTD只能在有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行，所以要對計(jì)算區(qū)域進(jìn)行截?cái)嗵幚恚簿褪切枰胛者吔鐥l件使其等效為無限區(qū)域，而近年來比較常見的吸收邊界方法有Mur吸收邊界，CPML層，UPML層等。本文運(yùn)用UPML吸收邊界來解決邊界問題。對于二維TM波，UPML的FDTD的推進(jìn)步驟為Hx,Hy→Pz′→Pz→Ez和Ez→Bx,By→Hx,Hy。其具體的時(shí)域形式以及PML層的設(shè)置可參照文獻(xiàn)[19]。

2.3 近—遠(yuǎn)場外推

因?yàn)镕DTD只能計(jì)算有限區(qū)域內(nèi)的電磁散射，所以若要計(jì)算遠(yuǎn)區(qū)的散射場時(shí)，就要通過外推邊界上的等效電磁流得到。波阻抗為Z，φ為散射波與水平軸的夾角，k為入射波數(shù)，當(dāng)FDTD計(jì)算達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，時(shí)諧場可外推得到遠(yuǎn)區(qū)散射場

(19)

遠(yuǎn)區(qū)場的雷達(dá)散射截面[20]為

(20)

遠(yuǎn)區(qū)場的散射系數(shù)為

σ=10lg(σRCS)。

(21)

3 計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析

本文采用FDTD方法計(jì)算三層瀝青混凝土路面的散射系數(shù)，選取30個(gè)粗糙面進(jìn)行計(jì)算，UPML層厚度選取10個(gè)網(wǎng)格，入射波波長λ=0.05 m，入射角大小θi=30°，各層隨機(jī)粗糙面的長度均為L=140λ，粗糙面網(wǎng)格大小dx=0.05λ，高度起伏均方根δ1=δ2=δ3=0.15λ，相關(guān)長度為l1=l2=l3=4λ，面層厚度h1=4λ，基層厚度h2=8λ，路基層厚度為無限大。

3.1 FDTD方法的驗(yàn)證

首先得驗(yàn)證FDTD算法計(jì)算單層隨機(jī)粗糙面電磁散射的有效性，λ=0.1 m，粗糙面長度L=100λ，入射角θi=20°，粗糙面參數(shù)δ=0.2λ，l=1.5λ，介質(zhì)相對介電常數(shù)ε=2.5-0.85i，粗糙面網(wǎng)格大小dx=0.05λ，選取了80個(gè)隨機(jī)粗糙面。如圖1所示?？梢钥闯?，由FDTD方法計(jì)算的雙站散射系數(shù)在整個(gè)散射角范圍內(nèi)和MoM計(jì)算結(jié)果吻合得很好，說明采用FDTD進(jìn)行有關(guān)計(jì)算是正確的。

圖1 FDTD與矩量法數(shù)值結(jié)果的比較

3.2 高度起伏均方根對散射系數(shù)的影響

圖2計(jì)算了粗糙面高度起伏均方根對散射系數(shù)的影響，計(jì)算時(shí)，三個(gè)粗糙面的高度起伏均方根相同，計(jì)算時(shí)分別取0.1λ，0.2λ，0.3λ。由圖2可以看出，在鏡反射方向處，散射系數(shù)取得最大值，有鏡向增強(qiáng)效應(yīng)，且在鏡反射方向臨近，散射系數(shù)隨高度起伏均方根的增大而減小，而鏡像處臨近以外的其它方向，散射系數(shù)隨高度起伏均方根的增大而增大。

圖2 高度起伏均方根對散射系數(shù)的影響

隨著高度起伏均方根的增大，粗糙面的高度起伏就越明顯，粗糙面就越粗糙，從而導(dǎo)致散射在非相干散射方向上增大，在相干散射方向上減小。

3.3 相關(guān)長度對散射系數(shù)的影響

圖3表示了相關(guān)長度對散射系數(shù)影響的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算時(shí)，三個(gè)粗糙面的相關(guān)長度相同，計(jì)算時(shí)分別取1λ，4λ，7λ。從圖3可以看出，在鏡反射方向處，散射系數(shù)取得最大值，有鏡向增強(qiáng)效應(yīng)(下同)，在鏡反射方向臨近，散射系數(shù)隨相關(guān)長度的增大而增大，而在鏡像處臨近以外的其它方向，散射系數(shù)隨相關(guān)長度的增大而減小，但變化不是太大。

圖3 相關(guān)長度對散射系數(shù)的影響

隨著相關(guān)長度的增大，粗糙面的高度起伏就越不明顯，粗糙面就越不粗糙，從而導(dǎo)致散射在非相干散射方向上減小，在相干散射方向上增大。

3.4 面層厚度對散射系數(shù)的影響

圖4計(jì)算了面層厚度對散射系數(shù)的影響，計(jì)算時(shí)，面層厚度h1分別取0.5λ、4λ和6λ。由圖4能夠看出，當(dāng)-80°<θS<-10°時(shí)，散射系數(shù)隨面層厚度的增大而減小，并且變化較為明顯；在-10°<θS<40°時(shí)，散射系數(shù)隨面層厚度的增大而減小，但是變化不太明顯；在40°<θS<90°時(shí)，散射系數(shù)隨面層厚度的變化不明顯，而且無固定的規(guī)律可循。

圖4 面層厚度對散射系數(shù)的影響

3.5 基層厚度對散射系數(shù)的影響

圖5為基層厚度對散射系數(shù)的影響的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算時(shí)，基層厚度h2分別取為5λ，8λ，11λ。從圖5可以看出，散射系數(shù)隨基層厚度的變化并無明顯規(guī)律可言，這說明基層厚度對散射系數(shù)的影響很小。

圖5 基層厚度對散射系數(shù)的影響

3.6 路基層濕度對散射系數(shù)的影響

圖6計(jì)算了路基層濕度對散射系數(shù)的影響，計(jì)算時(shí)，用土壤的四成分模型計(jì)算路基層的介電常數(shù)，考察路基層介電常數(shù)對散射系數(shù)的影響實(shí)際上就歸結(jié)為考慮路基層濕度對散射系數(shù)的影響，路基層濕度mv分別取0.3 g/cm3，0.35 g/cm3，0.4 g/cm3。由圖6能夠看出，散射系數(shù)隨路基層濕度的變化并無明顯的規(guī)律變化，說明路基層的濕度對散射系數(shù)無明顯影響。

圖6 土壤濕度對散射系數(shù)的影響

3.7 入射波頻率對散射系數(shù)的影響

圖7為當(dāng)入射波頻率f分別為1 GHz，2 GHz，6 GHz時(shí)對散射系數(shù)影響的計(jì)算結(jié)果。由圖7不難看出，除了θS<-40°范圍內(nèi)散射系數(shù)隨入射波頻率的變化沒有明顯的變化外，在散射角變化的其它范圍，散射系數(shù)隨入射波頻率的變化有明顯的變化，在鏡像處，散射系數(shù)隨入射波頻率的增大而增大，其它部分散射系數(shù)都隨入射波頻率的增大而減小，總體看來，入射波頻率對散射系數(shù)的影響較大。這是因?yàn)槿肷洳l率的變化，即入射波波長的變化，導(dǎo)致了粗糙面高度起伏均方根和相關(guān)長度相對值的改變，即粗糙程度的改變，再加上路基層土壤的介電常數(shù)同時(shí)也發(fā)生了變化，因此入射波頻率對散射系數(shù)的影響較大。

圖7 不同入射波頻率對散射系數(shù)的影響

4 結(jié)論

本文運(yùn)用FDTD方法研究了瀝青混凝土路面的電磁散射問題，計(jì)算結(jié)果可用于研究多層均勻介質(zhì)粗糙面的電磁散射問題，同時(shí)對于地面平整度的檢測具有重要的意義。本文使用的FDTD方法相較于其它數(shù)值計(jì)算方法更具有應(yīng)用性，并且還可以節(jié)約運(yùn)算和存儲空間，還具有較高的準(zhǔn)確性，同時(shí)在建立粗糙面模型時(shí)運(yùn)用四成分模型計(jì)算路基層的介電常數(shù)，因此，本文理論上在瀝青混凝土路面的電磁散射問題上更加貼近于實(shí)際情況。當(dāng)然，本文研究的瀝青混凝土路面為一維的，還未涉及到二維的路面系統(tǒng)電磁散射問題和瀝青混凝土路面與目標(biāo)的復(fù)合散射問題，而這些問題還需要今后更進(jìn)一步的研究。