王優(yōu)琴

摘 要：數(shù)學(xué)教師要充分了解學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)其進(jìn)行客觀的分析，設(shè)計(jì)開(kāi)展有效的教學(xué)實(shí)踐。主要通過(guò)對(duì)“直角”這一概念的前測(cè)統(tǒng)計(jì)與分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)直角這一知識(shí)的難點(diǎn)、困惑點(diǎn)，教師通過(guò)利用豐富學(xué)材、多元聯(lián)動(dòng)、空間想象等方法尋找貼合學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)直角概念的認(rèn)知。

關(guān)鍵詞：前測(cè)分析;學(xué)習(xí)路徑;多元聯(lián)動(dòng)

一、課前思考：“認(rèn)識(shí)直角”一課的重要性

古文云：“離婁之明，公輸子之巧，不以規(guī)矩不能成方圓?！边@里的矩是指曲尺：一直一橫成直角的尺，是木匠打制方形門(mén)窗桌凳必備的角尺?？梢?jiàn)在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)并用到了直角。

直角是構(gòu)成生活中許多特殊圖形的基本要素，在認(rèn)識(shí)直角之前，學(xué)生對(duì)于三角形與四邊形的構(gòu)成要素（邊、角、頂點(diǎn)）已經(jīng)有所認(rèn)知，但尚未進(jìn)一步察覺(jué)其角度的特殊性，在引出直角概念之后，學(xué)生對(duì)這些圖形的構(gòu)成要素有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)：直角三角形有一個(gè)直角，長(zhǎng)方形、正方形有四個(gè)直角，生活中，很多物體表面都有直角。學(xué)習(xí)直角既是實(shí)際生活的需要，又是學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)：比直角小的角稱為銳角，比直角大的角稱為鈍角，此時(shí)的直角具有了工具性的作用，它被作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)、一種參照物區(qū)分銳角與鈍角，同時(shí)對(duì)于直角特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)也是學(xué)習(xí)垂直的基礎(chǔ)，平面上兩條直線的垂直關(guān)系的引出與直角息息相關(guān)。

小學(xué)階段對(duì)于直角的研究主要經(jīng)歷三個(gè)階段。一是定性研究階段。這是直角概念的啟蒙階段，這一階段對(duì)于直角僅是初步認(rèn)識(shí)，學(xué)生能描述像三角尺上的這樣的角就是直角即可。二是定量研究階段。這一階段，學(xué)生對(duì)直角的認(rèn)識(shí)由質(zhì)向量過(guò)渡，對(duì)于直角的認(rèn)識(shí)再不僅僅停留在表象階段，而且要從量的角度對(duì)直角進(jìn)行定義：90°角是直角。三是同一平面內(nèi)兩直線特殊位置關(guān)系階段。當(dāng)兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線互相垂直，在這一階段學(xué)生以交角是否是直角來(lái)衡量平面中兩條直線的位置關(guān)系。

二、學(xué)習(xí)前測(cè)，探底學(xué)生心中的直角

課前，我以問(wèn)卷調(diào)查的方法對(duì)城區(qū)兩個(gè)班級(jí)80個(gè)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)調(diào)查，探底學(xué)生心中的直角，了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和起點(diǎn)水平，以期更好地展開(kāi)教學(xué)。

（一）你聽(tīng)說(shuō)過(guò)直角嗎？

直角這一名稱對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，“直角轉(zhuǎn)彎”“直角尺”等在學(xué)生的生活學(xué)習(xí)中經(jīng)常被提及，因此有92.3%的學(xué)生都聽(tīng)說(shuō)過(guò)直角。

（二）判一判，是直角的請(qǐng)打“√”。

（三）你覺(jué)得下邊的三角尺上有直角嗎？（如果有，請(qǐng)你描一描。）

找三角尺上的直角對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度，64.1%的學(xué)生無(wú)法正確找到兩把尺子上的直角，如果將這兩把尺子斜放置，如：，能正確找到直角的學(xué)生更是寥寥無(wú)幾。

（四）你覺(jué)得一副三角尺上的兩個(gè)直角，它們一樣大嗎？

學(xué)生一致認(rèn)為不同的直角，邊的長(zhǎng)短不同，開(kāi)口方向不同，所以直角的大小也是不一樣的。

三、基于前測(cè)分析，尋找貼合學(xué)生的有效學(xué)習(xí)路徑

有效的學(xué)習(xí)路徑并不是指最特別的教學(xué)方法或者手段，而是教師根據(jù)不同學(xué)生設(shè)計(jì)的最適合他們的教學(xué)方案。從前測(cè)的數(shù)據(jù)分析來(lái)看，學(xué)生對(duì)于直角的認(rèn)識(shí)僅停留在放“正”的直角，他們對(duì)直角的判定容易受到開(kāi)口方向、邊的長(zhǎng)短等非本質(zhì)因素的影響。為了構(gòu)建完整的直角概念，豐富直角表象，凸顯直角的本質(zhì)特征，教師通過(guò)豐富學(xué)材、多元聯(lián)動(dòng)、空間想象、凸顯關(guān)系等教學(xué)方法，讓學(xué)生經(jīng)歷直角概念的形成過(guò)程。

（一）豐富學(xué)材，完整建立直角概念

為了讓學(xué)生體會(huì)直角是一類(lèi)特殊的角，直角有著所有角的構(gòu)成特點(diǎn)，但又有其特殊性——大小相等，建議教師舍棄教科書(shū)中的椅子和雙杠兩幅圖，增加兩個(gè)反例實(shí)物圖：鐘面和剪刀，然后從學(xué)生熟悉的國(guó)旗圖里直接引出不同方向的四個(gè)直角，初步建立直角表象。這樣的處理——從三類(lèi)角中提取出直角作為本節(jié)課的研究對(duì)象，使“直角”這一新概念在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到一個(gè)最佳的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，有利于讓學(xué)生了解角與直角的關(guān)系，體會(huì)直角是一類(lèi)特殊的角。

（二）多元聯(lián)動(dòng)，豐富直角表象

建立直角表象，感知直角的本質(zhì)特征，是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。學(xué)生對(duì)于直角的認(rèn)識(shí)僅停留在放“正”的直角，他們僅接受一邊是水平，另一邊呈鉛直情況的直角，傾斜擺置的直角不被認(rèn)可。針對(duì)這一學(xué)情，教師設(shè)計(jì)了有效的操作活動(dòng)，利用多元聯(lián)動(dòng)，豐富直角表象，構(gòu)建完整的直角概念。

1.疊一疊，比一比，揭示直角本質(zhì)特征

三角尺上的直角對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是最熟悉的，雖然說(shuō)有一部分學(xué)生能正確找出三角尺上的直角，但是對(duì)于直角的本質(zhì)特征：大小相同，學(xué)生并不接受。為了突破這一思維定式，教師安排了多個(gè)操作活動(dòng)：（1）找一找，老師手中一副大三角尺上的兩個(gè)直角，比一比這兩個(gè)直角的大小。（2）同桌互相找一找手中的一副小三角尺上的直角，比一比這兩個(gè)直角的大小。（3）比一比老師大尺子上的直角和學(xué)生小尺子上的直角的大小。（4）猜一猜全國(guó)各地小朋友手中三角尺上的直角是否一樣大？直角是一把“標(biāo)尺”，是衡量銳角和鈍角的依據(jù)。教師從學(xué)生最熟悉的三角尺上的直角入手，通過(guò)找三角尺上的直角，并通過(guò)多次比較、多次重疊，促使經(jīng)驗(yàn)不斷累積，讓體驗(yàn)更趨豐盈，用實(shí)踐揭示直角的本質(zhì)特征，明確所有的直角大小相同。

2.轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，指一指，豐富直角表象

從前測(cè)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于直角的表象只停留在“直的”“方方的”“一橫一豎的”，為了豐富直角表象，教師設(shè)計(jì)了不斷轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，讓學(xué)生找不同開(kāi)口方向的直角的活動(dòng)，逐步豐富學(xué)生的直角表象。

【課堂回顧一】

師：看，老師手里有一把三角尺，你能找到尺子上的直角，用手勢(shì)比劃出來(lái)嗎？

師：尺子轉(zhuǎn)了起來(lái)，你還能找到直角嗎？

在初步感悟?qū)嵨飯D中的直角后，教師充分利用三角尺，引發(fā)學(xué)生對(duì)三角尺上的直角的關(guān)注，讓學(xué)生尋找三角尺上的直角，然后轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，繼續(xù)讓學(xué)生尋找放置方式不同的三角尺上的直角，從而揭示出直角的概念，初步感悟直角變式圖，建立豐滿的直角表象。

【課堂回顧二】

（活動(dòng)一：不斷旋轉(zhuǎn)直角，請(qǐng)學(xué)生判斷轉(zhuǎn)動(dòng)后是不是直角）

（活動(dòng)二：拉動(dòng)直角的兩條邊，再次判斷是否還是直角）

教師將兩次操作活動(dòng)后的直角搬遷出來(lái)，并質(zhì)疑學(xué)生：第一次變出來(lái)的三個(gè)角都是直角，第二次卻不是了，為什么？學(xué)生交流釋疑：直角旋轉(zhuǎn)后，雖然開(kāi)口方向變了，但是它的大小沒(méi)變，但如果拉動(dòng)直角兩邊，就改變了角的大小，它就不是直角了。通過(guò)這一操作活動(dòng)，既豐富了直角表象，同時(shí)又凸顯了直角的本質(zhì)特征：直角都一樣大。

3.看一看，辯一辯，加深直角本質(zhì)認(rèn)識(shí)

能正確判斷斜放的直角是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。初步認(rèn)識(shí)了直角后，教師安排一道判斷直角的練習(xí)題（如下圖），以學(xué)習(xí)單的形式，先獨(dú)立判斷，然后尋找相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。對(duì)于直角的判斷，教師應(yīng)該讓學(xué)生自由發(fā)表意見(jiàn)，然后通過(guò)辯論交流，統(tǒng)一明確驗(yàn)證方法：借助三角尺中的直角進(jìn)行比對(duì)，通過(guò)觀察是否完全重合來(lái)確定是否是直角，讓學(xué)生感受到用三角尺比一比的需要，加深對(duì)直角本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

4.找一找，創(chuàng)一創(chuàng)，深化直角概念

空間觀念的形成不像拍照，想建立空間表象、幾何模型，必須有“動(dòng)手”的過(guò)程。在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了直角后，教師安排找一找身邊的直角，并通過(guò)擺一擺、拼一拼、折一折、畫(huà)一畫(huà)等創(chuàng)造直角活動(dòng)，學(xué)生在“找”“拼”“搭”“折”“畫(huà)”自由多樣的操作活動(dòng)中加深對(duì)直角的認(rèn)識(shí)，獲得深刻的體驗(yàn)，這不僅是動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程，更是嘗試、想象、推理、驗(yàn)證、反思的過(guò)程。

（三）空間想象，突破定勢(shì)，凸顯關(guān)系特征

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前很多學(xué)生對(duì)于直角的認(rèn)識(shí)往往都停留在直角是長(zhǎng)方形（正方形、三角形）的一部分，為了凸顯直角其實(shí)是兩線之間的一種特殊的位置關(guān)系，為垂直與平行服務(wù)，在練習(xí)環(huán)節(jié)安排了以下數(shù)直角練習(xí)。

【課堂回顧三】

師：你覺(jué)得老師畫(huà)的是直角嗎？（電腦驗(yàn)證后延長(zhǎng)直角的兩條邊）現(xiàn)在你能找到幾個(gè)直角呢？（生上臺(tái)指直角）

師：現(xiàn)在有幾個(gè)直角了呢？

生：8個(gè)。（上臺(tái)指一指）

平面上兩條直線的垂直關(guān)系的引出與直角息息相關(guān)，直角的學(xué)習(xí)最終是為垂直服務(wù)，在此之前，學(xué)生從來(lái)不會(huì)想到關(guān)注直角的兩條邊，一直將直角作為長(zhǎng)方形、三角形的一部分來(lái)進(jìn)行判斷，為了打破這一思維，教師將直角的兩條邊慢慢反向延長(zhǎng)，呈現(xiàn)兩條相交的直線，再請(qǐng)學(xué)生判斷有幾個(gè)直角，最后完整呈現(xiàn)正方形圖，學(xué)生找齊圖中的8個(gè)直角。這樣的安排，更加有利于學(xué)生對(duì)于兩條直線的位置關(guān)系的關(guān)注，為學(xué)習(xí)垂直做準(zhǔn)備。

參考文獻(xiàn)：

卡爾·B.數(shù)學(xué)史[M].秦傳安，譯.北京：中央編譯出版社，2012.