簡(jiǎn)思綦

摘要：本文探討了《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程內(nèi)容改革，一是采用一維化方法從一維實(shí)數(shù)空間的測(cè)度論開(kāi)始學(xué)習(xí)，二是采用測(cè)度的可數(shù)可加性？圯葉戈洛夫定理？圯有界收斂定理的學(xué)習(xí)路徑學(xué)習(xí)測(cè)度論，可測(cè)函數(shù)和積分論的性質(zhì)。此教學(xué)方案突出課程核心內(nèi)容，減輕了課程難度，適合數(shù)學(xué)類(lèi)和相關(guān)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：一維化方法；測(cè)度論；學(xué)習(xí)路徑

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）15-0068-02

一、引言

隨著大學(xué)教育跟國(guó)際接軌，在筆者所在首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)，高年級(jí)數(shù)學(xué)課程越來(lái)越受到重視?！秾?shí)變函數(shù)與泛函分析》（簡(jiǎn)稱(chēng)實(shí)變課程）課程不僅是數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)類(lèi)學(xué)生的必修課，也在經(jīng)濟(jì)、管理類(lèi)學(xué)生中受到歡迎。隨著學(xué)生范圍的擴(kuò)大，有必要針對(duì)學(xué)生背景改革實(shí)變課程的教學(xué)內(nèi)容和方法。

二、《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程教學(xué)改革建議

實(shí)變課程的主要內(nèi)容是通過(guò)n維歐式空間（簡(jiǎn)記為n維空間）上Lebesgue意義下測(cè)度、可測(cè)函數(shù)、積分論基本理論的學(xué)習(xí)，理解抽象測(cè)度論和n維空間結(jié)構(gòu)相互結(jié)合。n維空間上測(cè)度論是后繼課程《測(cè)度論》和《隨機(jī)過(guò)程》的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。由于測(cè)度論的抽象性，我們都是通過(guò)學(xué)習(xí)n維空間上測(cè)度論過(guò)渡到抽象測(cè)度論。n維空間上測(cè)度論包括許多抽象測(cè)度論的內(nèi)容，給出了抽象測(cè)度論具體實(shí)現(xiàn)的空間，也是對(duì)實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)更加深入的認(rèn)識(shí)。采用教材[1]得到啟發(fā)，筆者認(rèn)為可以在兩個(gè)大方面改善課程教學(xué)，第一個(gè)方面是在n維空間測(cè)度論學(xué)習(xí)中首先學(xué)習(xí)一維實(shí)數(shù)空間、R的測(cè)度論，從R的測(cè)度論出發(fā)再深入學(xué)習(xí)n維空間的測(cè)度論，第二個(gè)方面是在完成測(cè)度論學(xué)習(xí)后，采用抽象測(cè)度論的方法把測(cè)度、可測(cè)函數(shù)和積分論的性質(zhì)聯(lián)系在一起，具體學(xué)習(xí)路徑是：

測(cè)度的可數(shù)可加性？圯葉戈洛夫定理？圯有界收斂定理？圯Fatou引理？圯Lebesgue控制收斂定理。

我們從實(shí)變課程中測(cè)度、可測(cè)函數(shù)和積分論來(lái)討論以上兩個(gè)方面。

（一）學(xué)習(xí)n維空間測(cè)度論的新方法第一步，R實(shí)數(shù)空間。

我們知道測(cè)度論的學(xué)習(xí)一般分為兩個(gè)階段，第一階段《實(shí)變》課程學(xué)習(xí)n維空間上Lebesgue測(cè)度論，第二階段《測(cè)度論》課程學(xué)習(xí)抽象測(cè)度論。國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教材比如[2]，是直接學(xué)習(xí)n維歐式空間測(cè)度理論。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)系學(xué)生已經(jīng)對(duì)n維空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有比較深入的了解，此方法不無(wú)不可。而對(duì)財(cái)經(jīng)類(lèi)院校學(xué)生，對(duì)于n維空間不太熟悉，那么直接學(xué)習(xí)n維歐式空間測(cè)度理論有相當(dāng)難度。筆者翻閱了眾多教材，發(fā)現(xiàn)書(shū)[1]從n=1，即實(shí)數(shù)軸R上的測(cè)度論講起，非常方便數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生直接學(xué)習(xí)實(shí)變課程。我們敘述學(xué)習(xí)R上測(cè)度論的優(yōu)點(diǎn)：

1.R上容易證明以下命題。

命題1（[1]Propostion1 P31）：R上區(qū)間的外測(cè)度是其長(zhǎng)度。

2.R上容易證明以下命題。

命題2（[1]Propostion8 P38）：R上每個(gè)區(qū)間是可測(cè)的。

在抽象測(cè)度論方面，我們引入Caratheodory條件定義可測(cè)集。測(cè)度就是外測(cè)度在可測(cè)集上的限制?？蓽y(cè)集滿(mǎn)足？滓-代數(shù)性質(zhì)，且測(cè)度具有可數(shù)可加性，上、下連續(xù)性。關(guān)鍵在R上我們可以比較容易地證明每個(gè)區(qū)間都是可測(cè)的，避免n維空間上結(jié)果的技術(shù)細(xì)節(jié)，從而通過(guò)區(qū)間生成Borel可測(cè)集和Lebesgue可測(cè)集。

3.R的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，我們有如下命題。

命題3（[1]Propostion9 P17）：R的非空開(kāi)集是可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間的并集，非空閉集是可數(shù)個(gè)閉區(qū)間的并集。

R上拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是開(kāi)、閉區(qū)間概念的直接推廣，直接引入了拓?fù)涓拍?。我們可以用開(kāi)集、閉集逼近可測(cè)集，便于理解拓?fù)渑c測(cè)度的關(guān)系（[1]P40）。

學(xué)習(xí)n維空間測(cè)度論的新方法第二步，n維空間。

在具體學(xué)完R上測(cè)度后，我們對(duì)抽象測(cè)度論有一定理解，只需拓展以上三個(gè)命題就可以理解n維空間上Lebesgue測(cè)度論，大大減輕了學(xué)習(xí)難度。

命題1 （[1]例P62）：n維空間上矩體的外測(cè)度是其體積。

命題2 （[1]定理2.9 P74）：n維空間上每個(gè)開(kāi)矩體是可測(cè)的。

命題3 n維空間上每個(gè)開(kāi)集是可數(shù)個(gè)開(kāi)矩體的并集。

命題1在書(shū)[2]中并沒(méi)有給出詳細(xì)證明，其具體證明細(xì)節(jié)把命題1的證明推廣到多維。命題2比命題2的證明復(fù)雜。

（二）對(duì)于R上的可測(cè)函數(shù)類(lèi)，我們可以比較簡(jiǎn)單地證明Littlewood三原則（[1]P64）。①每個(gè)可測(cè)集幾乎是有限個(gè)區(qū)間的并集（[1]Theorem12 P41）。②每個(gè)可測(cè)函數(shù)幾乎是連續(xù)的，即魯津定理（[1]P66）。③函數(shù)列點(diǎn)態(tài)收斂幾乎是一致收斂，即葉戈洛夫定理（[1]P64）。其中葉戈洛夫定理的證明用到了Lebesgue測(cè)度的連續(xù)性，即測(cè)度可數(shù)可加性的一個(gè)推論，聯(lián)系了測(cè)度和可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)（[1]Remark P78）。

（三）對(duì)于R上的可測(cè)函數(shù)的Lebesgue積分。我們利用葉戈洛夫定理證明有界收斂定理，聯(lián)系了可測(cè)函數(shù)和積分的性質(zhì)（[1]Remark P78），進(jìn)而證明Fatou引理，單調(diào)收斂定理，Lebesgue控制收斂定理。

以上（二），（三）部分參考學(xué)習(xí)路徑，屬于抽象測(cè)度論的內(nèi)容，其結(jié)果可以平行地推廣到Rn空間中。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，以上《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程關(guān)于一維化方法和測(cè)度、可測(cè)函數(shù)、積分論學(xué)習(xí)路徑的建議是適應(yīng)課程面向大眾化的改革方案，突出核心內(nèi)容，極大減輕了教學(xué)內(nèi)容的難度，便于學(xué)生學(xué)習(xí)。根據(jù)學(xué)生情況，課程還可以增加弱收斂、度量空間、拓?fù)淇臻g、Banach空間、Hilbert空間等內(nèi)容。

致謝：本文得到2017年首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)教育教學(xué)改革項(xiàng)目“《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程與先修課程《數(shù)學(xué)分析》和《高等代數(shù)》一體化教學(xué)研究”的資助，特此表示感謝！

參考文獻(xiàn)：

[1]H.Royden，P.Fitzpatrick.Real Analysi，F(xiàn)ourth Edition[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

[2]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].第2版.北京大學(xué)出版社，2008.