鄭 俊 哲，宋 占 魁

(大連工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,遼寧 大連 116034)

0 引 言

隨著科學(xué)的進(jìn)步、自動化技術(shù)的發(fā)展，四旋翼無人機(jī)逐步變得智能化、便利化。它可以用于輸電線路巡檢、運送快遞，還可以代替人力在危險系數(shù)較高的環(huán)境下進(jìn)行遠(yuǎn)程任務(wù)[1]。在無人機(jī)控制系統(tǒng)中，姿態(tài)控制是實現(xiàn)無人機(jī)自主飛行的基礎(chǔ)。比如，當(dāng)無人機(jī)在樹林或者叢林等環(huán)境下作業(yè)，需要靠自身變換姿態(tài)來避免與枝條發(fā)生碰撞，保證無人機(jī)安全作業(yè)。當(dāng)無人機(jī)需要在狹窄的環(huán)境勘察時，同樣也需要進(jìn)行姿態(tài)控制來規(guī)避障礙[2]。其中，姿態(tài)控制就是控制四旋翼無人機(jī)的3個姿態(tài)角(俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角)穩(wěn)定的跟蹤期望信號，并保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定[3]。由于無人機(jī)強(qiáng)耦合的特性，只有保證姿態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定控制，才能使其按照期望軌跡自主飛行。然而，四旋翼無人機(jī)在實際的飛行中，姿態(tài)會受到外界干擾或者微小故障的影響，會導(dǎo)致無人機(jī)飛行偏離期望軌道[4]。所以，需要設(shè)計控制器或者觀測器來對系統(tǒng)受到的總的不確定性因素進(jìn)行估計和補(bǔ)償，從而保證無人機(jī)在有外界干擾或者出現(xiàn)故障的情況下對姿態(tài)可以有效地控制跟蹤。

四旋翼無人機(jī)常見故障包括執(zhí)行器故障和傳感器故障[5]。其中，執(zhí)行器故障對無人機(jī)的自主飛行有著較大的影響，更難以解決[7-8]。

針對執(zhí)行器故障下姿態(tài)跟蹤控制的研究方法頗多。Sadeghzadeh等[9]采用線性二次調(diào)節(jié)器，分別加入自適應(yīng)算法和變增益PID算法。經(jīng)試驗，加入自適應(yīng)因子的控制器方便實現(xiàn)，后者變增益算法的抗干擾性較好，具有更好的魯棒性。但是線性控制器受到外界擾動的影響較大，系統(tǒng)難以在一定時間內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定。李煒等[10]將系統(tǒng)執(zhí)行器故障程度分段，分別設(shè)計不同的補(bǔ)償控制律。對無人機(jī)進(jìn)行實時故障檢測，并判斷其故障程度類型，從而調(diào)用對應(yīng)的控制律進(jìn)行補(bǔ)償故障損耗。調(diào)用控制律會增加控制器對突發(fā)狀況的響應(yīng)速度，導(dǎo)致跟蹤效果變慢。Chen等[11]提出了一種可重構(gòu)型飛行控制的理論框架，在控制系統(tǒng)中選擇合適的信號對故障進(jìn)行補(bǔ)償。其算法較為復(fù)雜，實現(xiàn)起來困難。劉凱悅等[12]基于滑?？刂扑惴?，設(shè)計了主動容錯控制器和被動容錯控制器，二者均有很好的容錯控制。但是對于外界擾動，主動容錯控制器的效果更好，被動容錯控制器受外部的環(huán)境影響，控制效果變差，而主動容錯控制需要實時的進(jìn)行故障檢測，較為復(fù)雜。孟慶霄等[13]利用擴(kuò)張觀測器(ESO)設(shè)計一種自抗擾控制算法。將無人機(jī)的不確定因素擴(kuò)張為系統(tǒng)狀態(tài)，利用有限的模型參數(shù)估計“集中擾動”，從而將無人機(jī)非線性系統(tǒng)近似化為線性系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤控制。但是，擴(kuò)張觀測器為了實現(xiàn)高精度觀測，需要較小的采樣時間。竇景欣等[14]在經(jīng)典控制自抗擾控制算法中，加入模糊誤差反饋控制器，使系統(tǒng)誤差超調(diào)量平均減少75%。Shi等[15]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)逼近外界擾動上界值，自適應(yīng)滑模策略實現(xiàn)了無人機(jī)在線估計并補(bǔ)償執(zhí)行器故障。其收斂速度快，跟蹤精度高。但是應(yīng)對突發(fā)嚴(yán)重失效的情況下，跟蹤誤差會有較大超調(diào)量。

現(xiàn)有對故障無人機(jī)飛行控制的研究多數(shù)都是針對定值故障和擾動進(jìn)行研究控制，當(dāng)執(zhí)行器出現(xiàn)故障時，系統(tǒng)為了維持正常飛行會增加故障執(zhí)行器的控制力矩，從而更容易導(dǎo)致已經(jīng)故障的執(zhí)行器發(fā)生更嚴(yán)重的失效損耗。

本研究從控制算法的角度，針對時變故障和外界擾動問題，設(shè)計一種自適應(yīng)滑模容錯控制器。針對姿態(tài)模型中的不確定項，引入Nussbaum增益函數(shù)；針對外界擾動，設(shè)計自適應(yīng)因子對其進(jìn)行補(bǔ)償；針對輸出受限問題，利用障礙李雅普諾夫函數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明，保證姿態(tài)角滿足約束條件。通過與不同方法進(jìn)行仿真實驗對比，驗證所設(shè)計控制器的優(yōu)越性和魯棒性。

1 建模與設(shè)計方案

描述四旋翼無人機(jī)模型，須建立慣性坐標(biāo)系{xe，ye，ze}和體坐標(biāo)系{xb，yb，zb}，如圖1所示。其中{F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4}和{ω1，ω2，ω3，ω4}分別是無人機(jī)4個電機(jī)向上的升力和轉(zhuǎn)速，{φ，θ，ψ}分別表示無人機(jī)的橫滾角、俯仰角、偏航角。

圖1 四旋翼無人機(jī)坐標(biāo)體系示意圖Fig.1 Diagram of coordinate system of four-rotor UAV

忽略空氣阻力，參考文獻(xiàn)[16]引入模型：

(1)

式中：Ix、Iy、Iz分別為坐標(biāo)系x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量，l為旋轉(zhuǎn)子與無人機(jī)質(zhì)心之間的距離，m為無人機(jī)的質(zhì)量，g為重力加速度，di(i=1，2，…，6)為不確定的外部干擾，Ui(i=1，2，3，4)分別為高度、橫滾、俯仰和偏航通道上的控制力矩。

假設(shè)1無人機(jī)整體幾何中心是無人機(jī)的重心，其飛行速度低，不考慮氣動效應(yīng)的影響。

假設(shè)3系統(tǒng)中的所有狀態(tài)參數(shù)均可測量。

當(dāng)四旋翼無人機(jī)在長時間處于飛行模式，容易引起故障，此時外界的干擾會加劇系統(tǒng)的不穩(wěn)定[17]。當(dāng)無人機(jī)出現(xiàn)故障的情況下，由此引起執(zhí)行器機(jī)構(gòu)的失效。把機(jī)構(gòu)失效間接轉(zhuǎn)化為控制輸入的損失，將其作為故障因子以乘積的形式加到無人機(jī)模型中[18]。將式(1)改進(jìn)后得到

(2)

式中：狀態(tài)x1=[x11，x12，x13]，x2=[x21，x22，x23]；擾動d=[d1，d2，d3]。bi(i=1，2，3)為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的效率損失折合為控制輸入的損失系數(shù)，0

為了便于后續(xù)研究，將轉(zhuǎn)動慣量和損失系數(shù)的乘積g(x)bi看作一個整體未知參變量G(x)。將式(2)整理后得

(3)

為了解決不確定矩陣G(x)，在控制器引入Nussbaum增益函數(shù)。

任意連續(xù)函數(shù)N(s)，滿足下列屬性，就稱其為Nussbaum增益函數(shù)。

(4)

(5)

選擇如下形式的Nussbaum增益函數(shù)：

(6)

引理1[19]?tf∈R，在區(qū)間[0，tf)內(nèi)定義光滑函數(shù)V(·)和ζ(·)，且V(t)≥0，?t∈[0，tf)，N(·)是光滑的Nussbaum增益函數(shù)。如果滿足不等式

(7)

引理3[21]對于任意正數(shù)Kb∈R，任意矩陣Z∈R，且滿足∣Z∣

(8)

控制目標(biāo)：在G(x)和d未知的情況下，設(shè)計一個自適應(yīng)滑?？刂破?，使輸出狀態(tài)x1能夠跟蹤期望信號xd，并保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界且系統(tǒng)誤差e1=x1-xd滿足范圍內(nèi)約束。其設(shè)計自適應(yīng)滑模控制器的算法流程如圖2所示。

圖2 算法流程圖Fig.2 The flow chart of algorithm

2 自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計

為了實現(xiàn)控制目標(biāo)，將系統(tǒng)誤差定義為

e1=x1-xd

(9)

式中：對于期望給定信號xd=[xd1，xd2，xd3]，存在正常數(shù)kdi(i=1，2，3)滿足|xdi|

根據(jù)系統(tǒng)模型見式(3)，系統(tǒng)誤差一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)為

(10)

(11)

設(shè)計一個滑模參量r來描述系統(tǒng)誤差變化，將r定義為

(12)

式中：ε為滑模參變量，ε>0。

對式(12)進(jìn)行時間求導(dǎo)得

(13)

為了設(shè)計滑模參變量控制器，選用李雅普諾夫函數(shù)：

(14)

給出的李雅普諾夫函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)為

(15)

代入式(10)～(13)得

(16)

根據(jù)young不等式[21]，可建立以下關(guān)系：

(17)

(18)

(19)

(20)

式(16)進(jìn)一步可表達(dá)為

(21)

控制器選擇為

(22)

(23)

(24)

(25)

式中：c2>0、γ>0、σ1>0是待設(shè)計參數(shù)，將式(22)～(25)帶入式(21)得

(26)

(27)

帶入式(26)化簡：

[α(x)N(ζ)+1]

(28)

為了分析方便，定義：

(29)

(30)

利用c3、c4定義簡化(28)式可得

(31)

在區(qū)間[0，t]內(nèi)積分得：

(32)

綜上所述，閉環(huán)系統(tǒng)的信號均為有界的，可以得出結(jié)論，閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3 跟蹤誤差的穩(wěn)定性分析

定理1執(zhí)行器故障下的無人機(jī)系統(tǒng)模型，設(shè)計控制器如式(22)～(25)所示，若滿足假設(shè)1～3，則系統(tǒng)滿足輸出約束條件且所有信號均有界。

證明定理：

為了系統(tǒng)初始誤差滿足|e1i(0)|

(33)

根據(jù)式(12)可得

(34)

對式(33)進(jìn)行時間求導(dǎo)，將式(34)帶入，得

(35)

(36)

對式(36)進(jìn)行積分：

(37)

將式(33)帶入式(37)得

(38)

求得誤差界限為

(39)

已知期望信號xd的給定范圍為|xd|

-Kb-Kd

(40)

定義Kb+Kd=A，狀態(tài)x1范圍表示為|x1|

由式(39)可知，跟蹤誤差的精度取決于參數(shù)ε，當(dāng)參數(shù)ε選取較大時，跟蹤誤差將會很小，但過大的參數(shù)ε又會引發(fā)控制信號的幅值增大和高頻振動，在實際應(yīng)用時需要通過試湊法找到滿足控制精度同時又不會導(dǎo)致控制信號高頻振動的參數(shù)ε。

4 Simulink仿真

使用Simulink仿真平臺，來驗證本文設(shè)計的控制器的有效性和自適應(yīng)能力。其中，所設(shè)計的控制器仿真需要的具體參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)以及初始化參數(shù)Tab.1 Model parameters and initial parameters

目前針對四旋翼無人機(jī)的容錯控制以及抗擾動研究的主流控制算法有魯棒控制算法[3]、自適應(yīng)控制算法[7-8]以及滑?？刂扑惴╗12，15]，其中基于滑模算法的相關(guān)控制方法對系統(tǒng)參數(shù)變化和外界擾動不靈敏，無須系統(tǒng)在線辨識。便于工程實際應(yīng)用且算法復(fù)雜度低容易實現(xiàn)，更具有代表性。所以，將設(shè)計的基于Nussbaum增益函數(shù)的自適應(yīng)滑?？刂破?SMC+Nussbaum)與Shi等[15]提出的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑模控制器(SMC+RBF)和劉凱悅等[12]使用的滑?？刂破?SMC)進(jìn)行仿真對比，觀察不同控制器對期望信號(Reference Signal)的跟蹤軌跡和跟蹤誤差。

為了證明控制器在應(yīng)對突發(fā)時變故障時跟蹤效果的優(yōu)越性。選擇相同期望信號角度：φd=0.8×sin(0.7t)×sin(0.4t)；θd=0.8×sin(0.7t)；ψd=0.5×[1-sin(0.6t)]×sin(0.7t)。控制器參數(shù)：ε=1.5，c2=3.5，σ1=10，γ=1.5。

主要研究內(nèi)容是控制器在時變故障下能更好地適應(yīng)環(huán)境，在較短時間內(nèi)對其做出估計和補(bǔ)償，使誤差保持在平衡點附近鄰域[-0.1，0.1]內(nèi)，恢復(fù)控制系統(tǒng)進(jìn)行有效跟蹤。針對上述3個控制器，分別做兩個仿真實驗，通過增加故障和外界干擾程度，來觀察每個控制器的跟蹤效果。

仿真1在執(zhí)行機(jī)構(gòu)小部分失效和存在較小的外部干擾的情況下：

(41)

(42)

仿真將模型始終處在時變擾動中，在第10 s，執(zhí)行器出現(xiàn)部分失效。圖3表示3種方法對期望信號的跟蹤軌跡對比。圖4分別表示3個通道的跟蹤誤差。從圖5可以看到，所設(shè)計的控制器在開始跟蹤時有較大的超調(diào)量，但是可以在有限時間內(nèi)快速做出響應(yīng)達(dá)到跟蹤穩(wěn)定。在出現(xiàn)突發(fā)故障時，跟蹤誤差始終保持在平衡點附近的鄰域內(nèi)。

(a) 橫滾角

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑?？刂扑惴?，在開始跟蹤時，跟蹤速度較快，更能達(dá)到無誤差效果。但是當(dāng)突發(fā)時變故障時，跟蹤效果變差，出現(xiàn)較大的波動。而自適應(yīng)滑模算法在出現(xiàn)故障時，跟蹤誤差同樣存在較大超調(diào)量，跟蹤速度較慢。

表2為出現(xiàn)故障時，3種控制算法分別對3個通道跟蹤誤差的超調(diào)量數(shù)值。由表2的數(shù)據(jù)可以看出發(fā)生突變故障時所提出的控制算法超調(diào)量較小，對{φ，θ，ψ}的跟蹤上有著更好的效果。

表2 輕微故障和擾動下誤差超調(diào)量Tab.2 Error overshoot under minor faults and perturbations rad

仿真2在執(zhí)行機(jī)構(gòu)大部分失效和存在較大的外部干擾的情況下：

(a) 橫滾角

(43)

(44)

仿真依舊將模型始終處在時變擾動中，在第10 s開始執(zhí)行器開始部分失效。此次，增大了外界擾動和失效程度。圖5表示在嚴(yán)重故障失效和干擾的情況下，無人機(jī)的跟蹤軌跡情況，圖6表示3個通道的跟蹤誤差。

(a) 橫滾角

在開始跟蹤時，所設(shè)計的控制器跟蹤效果雖有小幅度波動，但是在5 s左右消除外界干擾的影響，恢復(fù)穩(wěn)定的跟蹤控制。在故障出現(xiàn)初期，有較大的跟蹤誤差，主要由于控制力矩不能完全作用于無人機(jī)上，但通過短時間的調(diào)整，系統(tǒng)跟蹤誤差又回到了設(shè)計精度范圍內(nèi)，這主要是由于控制器中的Nussbaum增益發(fā)揮了功效，補(bǔ)償了系統(tǒng)所丟損失掉的功率。而在受到突變故障時，帶有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑模算法的跟蹤誤差有著較大的超調(diào)量。自適應(yīng)滑模算法響應(yīng)速度過慢、跟蹤誤差變大，已經(jīng)無法準(zhǔn)確跟蹤到期望信號。相比之下，所設(shè)計的控制算法，在受到嚴(yán)重失效的狀態(tài)下，可以在短時間內(nèi)做出相應(yīng)。依舊保證3個通道的誤差精度在平衡點附近鄰域內(nèi)。表3表示出現(xiàn)嚴(yán)重失效故障時每種控制算法對3個通道跟蹤誤差的超調(diào)量數(shù)值。可見，所提出的控制器其適應(yīng)外界突發(fā)狀況的能力相比之下更優(yōu)越。

(a) 橫滾角

表3 嚴(yán)重故障和擾動下誤差超調(diào)量Tab.3 Error overshoot under maximum faults and disturbances rad

和仿真1的圖表對比，可以看出即便是增加了外界干擾和失效程度。在開始跟蹤時，所設(shè)計的控制器仍舊在5 s左右實現(xiàn)穩(wěn)定控制。系統(tǒng)在設(shè)定10 s開始引入部分失效時，系統(tǒng)可以在短時間內(nèi)調(diào)整，使得跟蹤誤差一直在平衡點附近的鄰域內(nèi)，不影響無人機(jī)正常運作。由兩個仿真情況對比可以得出，所設(shè)計的控制器相比另外兩種方法，在突發(fā)時變故障情況下有著較強(qiáng)的適應(yīng)突發(fā)故障的能力和良好的跟蹤效果。

5 結(jié) 論

為了解決時變故障下無人機(jī)姿態(tài)跟蹤的問題，設(shè)計一種自適應(yīng)滑模容錯控制器。引入Nussbaum增益函數(shù)和自適應(yīng)滑模因子來補(bǔ)償無人機(jī)系統(tǒng)故障所損失掉的功率和外界的干擾，從而實現(xiàn)無人機(jī)的姿態(tài)跟蹤。通過增加故障和外界干擾程度，將設(shè)計的控制器同其他現(xiàn)有控制算法同時進(jìn)行仿真實驗。所設(shè)計的控制器在5 s左右可消除外界的擾動，恢復(fù)系統(tǒng)的正常跟蹤。當(dāng)出現(xiàn)突發(fā)故障時，系統(tǒng)能短時間做出響應(yīng)，4 s左右恢復(fù)正常跟蹤。且跟蹤誤差保持在平衡點附近鄰域[-0.1，0.1]內(nèi)，保證無人機(jī)不受故障影響，安全飛行。所設(shè)計的控制器有良好的容錯能力和較強(qiáng)的魯棒性。該研究結(jié)果將對無人機(jī)飛行控制系統(tǒng)領(lǐng)域提供理論依據(jù)。