潘禹妍

摘要：幾何學(xué)作為數(shù)學(xué)的一大分支，隨著時(shí)間的推移，越來越受到人們的重視。初等幾何變換思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng) 用較多，掌握初等幾何變換思想對(duì)學(xué)生解決平面幾何中的難題大有裨益。通過閱讀大量文獻(xiàn)并基于對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材的分 析，首先從概述和研究?jī)r(jià)值出發(fā)展開論述，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)初等幾何變換在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的重要地位;結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)中典 型的平面幾何題型，針對(duì)例題，分析解題思路;從學(xué)生、教師、教學(xué)效率等多方面考慮，提出幾點(diǎn)對(duì)初等幾何變換在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的思考。

關(guān)鍵詞：初等幾何;變換思想;小學(xué)數(shù)學(xué)

一、 初等幾何變換思想的概述

近年來，隨著新課改的實(shí)施，數(shù)學(xué)的應(yīng)用性愈加受 到重視，中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)也做出了相應(yīng)的調(diào)整， 初等幾何變換更深層次地融入數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中。初等 幾何變換作為數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的解題思路，其主要 特點(diǎn)是圖形變化。所以，在幾何問題的求解過程中，掌 握?qǐng)D形變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵所在。幾何變換是初等幾 何在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用最多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，小學(xué)數(shù)學(xué)中 常見的變換有：平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸反射變換，三 者都是全等變換，皆屬于初等幾何變換中的合同變換。

二、 初等幾何變換思想的研究意義

通過研究小學(xué)數(shù)學(xué)教材可以發(fā)現(xiàn)，在小學(xué)課本中已 經(jīng)早早地出現(xiàn)了幾何圖形的身影。然而，由于小學(xué)生的 認(rèn)知水平有限，小學(xué)課本中的幾何內(nèi)容的設(shè)置并不從幾 何的公理體系出發(fā)，而是以小學(xué)生們已有的經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)為 起點(diǎn)。以認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單的幾何形體為例，在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)正 方形、長(zhǎng)方形、圓形等幾何圖形時(shí)，教師們往往會(huì)引導(dǎo) 學(xué)生去聯(lián)想身邊的實(shí)物，譬如積木玩具、課桌黑板、各 類生活用具等，以此來啟發(fā)學(xué)生們將實(shí)物與幾何圖形相 互聯(lián)系、清晰概念。而平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱內(nèi)容的教學(xué) 過程，生動(dòng)、有趣、直觀地打破了學(xué)生頭腦中對(duì)幾何圖 形的靜態(tài)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生通過一系列的觀察、操作與理解， 不僅可以慢慢構(gòu)建、發(fā)展其空間觀念，還為他們創(chuàng)新意 識(shí)的激發(fā)與培養(yǎng)創(chuàng)造了條件。

對(duì)于小學(xué)生而言，他們剛剛接觸幾何變換，無法對(duì) 幾何變換做更加深入的解讀，在遇到幾何問題時(shí)，他們 并不能有意識(shí)地將題目與幾何變換的相關(guān)性質(zhì)相聯(lián)系， 很難理解并運(yùn)用幾何變換的思想解決幾何問題，這也就 導(dǎo)致了學(xué)生們解題時(shí)思維的固定性，加大了解題的難度。 因此，教師需要及時(shí)給學(xué)生灌輸初等幾何變換思想，幫助他 們深入理解并養(yǎng)成運(yùn)用幾何思想解決幾何問題的習(xí)慣，這一 點(diǎn)顯得尤為重要。

三、初等幾何變換思想的實(shí)際應(yīng)用

合同變換中的平移變換、旋轉(zhuǎn)變換與軸反射變換是小學(xué) 階段數(shù)學(xué)教學(xué)中的三類典型的幾何變換。對(duì)小學(xué)生而言，他 們已具備了一些日常生活的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于日常生活中的 平移變換、旋轉(zhuǎn)變換的現(xiàn)象已經(jīng)有了一定的了解。例如，電 梯的上下平移運(yùn)動(dòng)、鐘表上時(shí)針與分針的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)等。然而， 幾何變換的知識(shí)并未直接在教材中體現(xiàn)，這就需要教師在教 學(xué)平面幾何圖形時(shí)有意識(shí)地向?qū)W生滲透，幫助學(xué)生在面對(duì)較 為靈活的幾何題目時(shí)，合理運(yùn)用幾何變換思想，高效解決幾 何問題。

“變中藏不變”是幾何構(gòu)造的指導(dǎo)思想，找到運(yùn)動(dòng)過程 中的不變要素，如不變的位置、形狀、大小、關(guān)系等，這些 "不變”往往就是解題的突破口，而合同變換與這些"不變” 有著千絲萬縷的聯(lián)系。

平移變換思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用頗多，譬如平行四邊 形面積計(jì)算方法的推導(dǎo)教學(xué)就與平移變換思想息息相關(guān)。在 學(xué)習(xí)此知識(shí)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了長(zhǎng)方形的面積求解方法。 因此，在教學(xué)時(shí)，教師可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形 與已學(xué)習(xí)過的平面圖形建立聯(lián)系。學(xué)生動(dòng)手操作，探索交流， 易發(fā)現(xiàn)：截取平行四邊形的任意一條高，可將平行四邊形分 為一個(gè)直角三角形和一個(gè)梯形，或者分為兩個(gè)梯形，隨后通 過平移圖形，平行四邊形可轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)平行四 邊形的底和髙與轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之間的聯(lián)系，這樣 一來，平行四邊形面積的計(jì)算方法就呼之欲出。這一過程正 是運(yùn)用了平移變換的思想，使圖形與圖形之間構(gòu)建起了聯(lián)系。

平移變換思想的運(yùn)用不僅有助于面積計(jì)算公式的推導(dǎo)， 還可幫助學(xué)生開拓解題思維，創(chuàng)新解題方法。例如本題：如 圖1， 一塊草坪長(zhǎng)為42米，寬為25米，它被4條1米寬的小路平 均分成了9小塊，草坪的面積是多少平方米？

本題中，若學(xué)生固定思維，僅依靠原圖尋找解題突破點(diǎn)， 則較難解決問題，但若運(yùn)用平移變換的思想，將四條小路進(jìn)行 平移，如圖2所示，則9塊小草坪就可聚集為一個(gè)長(zhǎng)方形大草坪， 易得長(zhǎng)方形草坪的長(zhǎng)與寬，算得草坪的面積為：40X23=920 （平方米）。

除了平移變換思想，掌握并運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換與軸反射變換 思想對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)也有著不容小覷的作用?？紤]到小 學(xué)生的認(rèn)知水平有限，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教材僅加入了平移、 旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱的幾何變換理論知識(shí)，教師從學(xué)生實(shí)際生活出 發(fā)，結(jié)合生活中常見的平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱變換的現(xiàn)象，引 導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形的變換形成基本概念，為中學(xué)階段更深層次的 幾何學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。在教學(xué)過程中，若教師能有意識(shí)地滲透 變換思想，多方面地向?qū)W生展示旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱的變換實(shí)例， 則有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形變換的多樣性與幾何圖形的獨(dú)特美感， 有利于學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新思維、樹立空間觀念、感受并創(chuàng)造生活 中的美。

四、初等幾何變換在實(shí)際教學(xué)中的幾點(diǎn)思考

初等幾何變換在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用頗廣，如何及時(shí)、高效 地為學(xué)生滲透幾何變換思想，幫助學(xué)生理解并熟練掌握幾何 變換是對(duì)教師的一大考驗(yàn)。因此，筆者就小學(xué)幾何變換教學(xué)， 從學(xué)生與教師兩個(gè)角度出發(fā)，提出幾點(diǎn)教學(xué)思考。

（一）重視數(shù)字化的多媒體教學(xué)

與其他小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相比，初等幾何變換的教學(xué)內(nèi)容 有著明顯不同，其中一大難點(diǎn)在于它的抽象性，這就要求學(xué) 生具有較好的發(fā)散思維和聯(lián)想能力。若教師運(yùn)用傳統(tǒng)的填線 作圖方法，通過親自演示來進(jìn)行例題講解，不僅操作步驟復(fù) 雜，需要花費(fèi)一定時(shí)間，而且不利于學(xué)生觀察整個(gè)幾何變換 的過程，從而缺少對(duì)幾何圖形的整體認(rèn)知。相反，若借助一 些好的教學(xué)手段，則能達(dá)到事半功倍之效。

我國的信息技術(shù)發(fā)展已進(jìn)入新時(shí)期，將小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與 數(shù)字化的多媒體相結(jié)合逐漸成為一種主流的教學(xué)形式。譬如， 在面對(duì)部分涉及旋轉(zhuǎn)變換的例題時(shí)，小學(xué)生由于缺乏空間想 象能力，往往會(huì)表現(xiàn)得束手無策，對(duì)于變換后的整體圖形無 法完全理解，這就造成了解題上的巨大困難。針對(duì)此種困境， 幾何畫板充分發(fā)揮了作用。通過演示整個(gè)旋轉(zhuǎn)變換過程并對(duì) 比變換前后圖形的差異，期間配合教師的講解，學(xué)生很容易 就可以掌握解題思路。此種教學(xué)模式可以為學(xué)生提供一個(gè)動(dòng) 態(tài)的變換過程，讓學(xué)琳幾何變換有更加生動(dòng)的認(rèn)知，也可 以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，為以后的空間幾何學(xué)習(xí)打下基 礎(chǔ)。

（二） 重視自主探索的啟發(fā)式教學(xué)

現(xiàn)階段，多數(shù)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式仍是通過教師講解 例題引出知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生進(jìn)行課后習(xí)題訓(xùn)練鞏固所學(xué)知識(shí)的 形式來完成教學(xué)任務(wù)。此種模式下，學(xué)生需要通過大量的 課后訓(xùn)練、步步改錯(cuò)才能真正掌握幾何變換的知識(shí)點(diǎn)，而 且一旦脫離習(xí)題訓(xùn)練一段時(shí)間，遺忘的概率會(huì)顯著增加， 必須再次講解。如此反復(fù)，必將造成大量的教學(xué)時(shí)間的浪 費(fèi)。

“授人以魚，不如授人以漁?！迸c其直接傳授給學(xué)生 解題技巧，不如步步引導(dǎo)，讓學(xué)生嘗試著自己探索解題方 向。此種教學(xué)模式把學(xué)生作為主體，由學(xué)生控制課程進(jìn)度， 教師作為點(diǎn)撥人，可以充分發(fā)揮學(xué)生自身的主觀能動(dòng)性。 學(xué)生自己摸索出的解題方式是學(xué)生慣性思維的產(chǎn)物，再次 遇到相關(guān)的題目時(shí)能夠順其自然地出現(xiàn)在腦海里，印象深 刻且不易遺忘。

（三） 重視實(shí)踐運(yùn)用的趣味性教學(xué)

數(shù)學(xué)不同于語文、英語等文科，主體構(gòu)成是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃?維邏輯和正確的公式技巧，注重客觀實(shí)際的論證，而不是 主觀想象的臆斷，這在很大概率上會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)的枯燥 乏味。在幾何變換教學(xué)中，學(xué)生面對(duì)的都是形形色色的幾 何圖形，題目本身的抽象性會(huì)影響到學(xué)生的聽課興趣，使 得學(xué)生的注意力會(huì)時(shí)不時(shí)地轉(zhuǎn)移，一旦分神，大概率會(huì)影 響后續(xù)的聽課效果，很難再次跟上教師的節(jié)奏，興趣就更 小了。如此惡性循環(huán)，結(jié)果就是知識(shí)點(diǎn)把握不住。

興趣是學(xué)生最好的老師，對(duì)于幾何變換問題，教師更 要注重學(xué)生的聽課興趣，讓興趣去激發(fā)學(xué)生的求知欲?？?以給學(xué)生設(shè)置一種實(shí)際問題的場(chǎng)景，把抽象的幾何變換問 題變成聯(lián)系生活實(shí)際的趣味問題。除此以外，也可以考慮 不定期地在課前布置一道趣味奧數(shù)幾何題，激發(fā)學(xué)生的思考 興趣，為后續(xù)的教學(xué)開展做好鋪墊。

（四） 重視學(xué)生參與的互動(dòng)性教學(xué)

課堂教學(xué)不是教師一個(gè)人的講解專場(chǎng)，而是教師與學(xué) 生積極互動(dòng)的思維碰撞。傳統(tǒng)的幾何變換教學(xué)模式是一種 知識(shí)點(diǎn)的單向傳輸，學(xué)生只需不斷聽取，按部就班地去解 題，其中跳過了當(dāng)場(chǎng)反饋、困惑解答的過程，教師對(duì)于學(xué) 生的知識(shí)掌握情況也不能了解透徹，雙方之間缺少溝通互 動(dòng)的橋梁。

前文提到的幾何畫板，是一種可以提供互動(dòng)性教學(xué)的 平臺(tái)。一方面，幾何畫板的應(yīng)用改變了教學(xué)形式，讓學(xué)生 有更大的學(xué)習(xí)興趣;另一方面，教師可以邀請(qǐng)部分學(xué)生走上講臺(tái)使用幾何畫板，共同參與幾何變換的學(xué)習(xí)，針對(duì) 學(xué)生反映的問題集中解答。此外，互動(dòng)性教學(xué)還是改變 傳統(tǒng)師生關(guān)系的一項(xiàng)重要舉措，有利于形成亦師亦友的 新型師生關(guān)系，在這種關(guān)系下開展教學(xué)能夠有效地活躍 課堂氛圍，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

五、結(jié)束語

初等幾何變換作為小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，不僅 具有獨(dú)特的魅力，其實(shí)用性與重要性更是不容忽視。小 學(xué)生對(duì)幾何變換思想接觸尚淺，即便有了一定的理解， 遇到問題時(shí)，其應(yīng)用幾何變換思想的意識(shí)仍然較為薄弱， 這就需要教師做出適時(shí)、恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。興趣是學(xué)習(xí)的基 礎(chǔ)，教師應(yīng)從學(xué)生的心理層面出發(fā)，觀察學(xué)生接納知識(shí) 的能力與水平，因材施教，甄選出最適宜的教學(xué)模式，而 不是墨守陳規(guī)、刻板教學(xué)?？偠灾?，掌握初等幾何變換 思想，不僅能幫助學(xué)生高效率地解決幾何問題，其對(duì)學(xué)生 思維層面的開拓與升華更是大有裨益。

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（責(zé)任編輯：吳延甲）