董紹江，穆書鋒，湯寶平，梁 天

（1.重慶交通大學(xué)機電與車輛工程學(xué)院，重慶400074；2.重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶400030）

1 引言

工業(yè)機器人配備的諧波減速器主要有鋼輪、柔輪和波發(fā)生器三個部件組成，而波發(fā)生器中柔性支撐的薄壁軸承作為關(guān)鍵零部件，對諧波減速器的運轉(zhuǎn)平穩(wěn)性、傳動精度以及復(fù)雜工況下工作的整體可靠性等關(guān)鍵性能指標(biāo)具有重要影響。

國內(nèi)外對薄壁軸承接觸問題進(jìn)行了許多相關(guān)研究。國內(nèi)：文獻(xiàn)[1]較早提出并推導(dǎo)了一種計算安裝在薄壁支座中的向心軸承在受載后各滾動體負(fù)荷的力學(xué)模型和計算方法；文獻(xiàn)[2-3]根據(jù)諧波傳動中薄壁軸承受載工況，提出薄壁軸承載荷分布計算模型；文獻(xiàn)[4-6]利用ANSYS 軟件面-面接觸方式中柔-柔接觸對推力球軸承赫茲接觸問題進(jìn)行求解，指出不考慮套圈變形進(jìn)行薄壁軸承力學(xué)特性計算時，誤差較大。國外：文獻(xiàn)[7]對柔性結(jié)構(gòu)的軸承支座系統(tǒng)，提供一種標(biāo)準(zhǔn)有限元法中的剛度矩陣來分析滾動軸承的載荷位移和應(yīng)力分布；文獻(xiàn)[8-9]考慮軸承柔性外圈和橢圓內(nèi)圈情況下，對軸承滾動體載荷-變形進(jìn)行了數(shù)值分析。因此，對柔性套圈的薄壁軸承的接觸載荷問題一直以來都是工程研究的熱點問題。

擬以某工業(yè)機器人諧波減速器薄壁軸承為例，利用ANSYS軟件建立薄壁軸承柔-柔接觸有限元三維模型，模擬諧波減速器中薄壁軸承受載工況，對其套圈變形后滾動體接觸載荷-應(yīng)力分布進(jìn)行仿真分析，并與基于柔性套圈變形假設(shè)得到的薄壁軸承接觸載荷-應(yīng)力數(shù)值計算結(jié)果進(jìn)行比較。

2 薄壁軸承接觸載荷-應(yīng)力計算模型

當(dāng)軸承的一個或兩個套圈為柔性時，為了確定滾動體接觸載荷分布，必須確定承載套圈圓周各點的變形[10-11]。根據(jù)薄壁圓環(huán)平面彎曲撓性變形理論[9-10]，得到環(huán)件相對圓心φ 處力矩M 作用下彎曲徑向位移u的微分方程：

式中：I—慣性矩；E—彈性模量；R—套圈中性軸半徑。

由于諧波減速器中薄壁軸承內(nèi)外套圈為薄壁設(shè)計，故取軸承一部分作為研究對象。薄壁軸承變形可分為兩部分[2]：第一部分是薄壁軸承外圈在柔輪與鋼輪嚙合力作用下發(fā)生的撓性變形ω，內(nèi)圈與剛性凸輪發(fā)生的彈性變形u；第二部分是內(nèi)外套圈與滾動體表面之間的彈性變形為δir、δor。薄壁軸承柔性套圈變形示意圖，如圖1 所示。

圖1 薄壁軸承柔性套圈變形示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Deformation of Thin-Walled Bearing Flexible Ferrule

根據(jù)薄壁軸承的柔性套圈在滾動體角度ψi處的變形協(xié)調(diào)條件，可得方程：

假設(shè)軸承有N 個滾動體，由式（2）可建立N 個非線性方程組，利用Newton-Raphson 法求解得到薄壁軸承載荷分布Qi。由于滾子與滾道接觸為非理想接觸用傳統(tǒng)切片法并不能充分估算接觸應(yīng)力，需先確定軸承載荷分布才能完成接觸應(yīng)力分析[11]。根據(jù)Harris[11-12]得到彈性半空間表面點（x′，y′）的法線接觸壓力和（x，y）點變形之間的關(guān)系：

圖2 接觸表面劃分若干小矩形片示意圖Fig.2 Schematic Diagram of the Contact Surface Divided into Several Small Rectangular Pieces

通過改變的值，式（4）和式（5）可以用來精確計算非理想接觸應(yīng)力，直至在可接受誤差范圍內(nèi)式（6）得到滿足為止。

3 柔性套圈的薄壁軸承有限元模型

本研究選用某六自由度工業(yè)機器人J5 關(guān)節(jié)配備的國產(chǎn)諧波減速器，其理論計算和仿真分析采用的薄壁軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料屬性，如表1、表2 所示。實物，如圖3（a）所示。

表1 薄壁軸承各項主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Main Structural Parameters of Thin-Walled Bearing

表2 薄壁軸承材料屬性Tab.2 Material Properties of Thin-Wall Bearing

3.1 薄壁軸承柔-柔接觸有限元模型

利用ANSYS APDL 的Modeling 建立薄壁軸承有限元模型，考慮到薄壁軸承的倒角、邊棱和保持架等對軸承接觸區(qū)域的接觸載荷、應(yīng)力、變形的影響相對較小，故建模時將其忽略，最終確定整個模型包含內(nèi)外套圈、23 個滾動體共25 個零件，如圖3（b）所示。ANSYS 軟件可提供包括點-點接觸、點-面接觸、面-面接觸三種方式模擬實際的接觸行為，考慮薄壁軸承柔性套圈屬性，薄壁軸承滾動體與內(nèi)外套圈滾道接觸采用面-面接觸中的柔-柔接觸。薄壁軸承滾動體相對于套圈較剛，故將滾動體作為柔性目標(biāo)面，將內(nèi)圈滾道表面與外圈滾道表面作為柔性接觸面。在各個接觸對中，為確保非線性摩擦接觸收斂以及接觸滲透值較小保證足夠的計算精度，最終確定滾動體與軸承內(nèi)外套圈接觸摩擦系數(shù)設(shè)置為0.15，法向接觸剛度因子設(shè)置為0.8，接觸算法使用增強拉格朗日法。

3.2 單元選擇與網(wǎng)格劃分

對薄壁軸承內(nèi)外套圈以及滾動體進(jìn)行網(wǎng)格劃分時，選擇可以模擬大變形的20 節(jié)點SOLID186 六面體單元，將整個薄壁軸承模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解為規(guī)則的幾何體，并運用掃略法和映射法實現(xiàn)對整體模型的網(wǎng)格劃分。并對接觸區(qū)域進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化，接觸區(qū)域的目標(biāo)面采用TARGE170 單元，而接觸面采用CONTA174 單元，從而保證計算效率和計算精度。經(jīng)反復(fù)調(diào)試，最終確定網(wǎng)格數(shù)量340458，為保證計算效率運用T7910 移動工作站，至強E5 處理強，32G 內(nèi)存。

3.3 邊界條件與載荷施加

根據(jù)薄壁軸承實際受載工況，對薄壁軸承外圈表面施加壓強為4MPa 的對稱載荷；又因薄壁軸承內(nèi)圈隨剛性凸輪發(fā)生強制變形，故內(nèi)圈約束方程設(shè)置為：ω=0.324cos（2φ），其中，φ＝（0～2）π。對薄壁軸承滾動體在柱坐標(biāo)下約束切向位移來模擬保持架約束；對薄壁軸承內(nèi)、外套圈側(cè)面施加軸向約束模擬薄壁軸承在實際過程中，不能發(fā)生軸向運動。

4 薄壁軸承接觸載荷-應(yīng)力計算與仿真

根據(jù)提取的ANSYS 薄壁軸承內(nèi)外套圈仿真變形曲線，如圖4 所示?？芍?，裝配受載的薄壁軸承發(fā)生較大撓曲變形且最大變形發(fā)生在凸輪長軸左右，薄壁軸承滾動體也發(fā)生較大剛性位移，滾動體-滾道接觸已經(jīng)并非為理想接觸，這有別于剛性套圈得到的軸承變形規(guī)律。

圖4 薄壁軸承內(nèi)外套圈變形曲線Fig.4 Deformation Curve of Inner and Outer Rings of Thin-Walled Bearing

圖5 薄壁軸承接觸壓力與載荷分布Fig.5 Thin-Walled Bearing Contact Pressure and Load Distribution

文獻(xiàn)[11-12]通過切片法給出剛性套圈假設(shè)下理想滾動體-滾道接觸區(qū)域每個切片的載荷分布為：

總的滾動體載荷為：

ANSYS 仿真可得到的薄壁軸承滾動體接觸壓力云圖，如圖5（a）所示。通過APDL 命令流提取接觸面、目標(biāo)面節(jié)點接觸壓力進(jìn)行積分即可求得滾動體接觸載荷。如圖5（b）所示可知，基于柔性套圈假設(shè)得到的薄壁軸承滾動體接觸載荷與ANSYS 仿真結(jié)果更加接近，此時用剛性套圈假設(shè)分析諧波減速器中柔性套圈的薄壁軸承的載荷分布已不再適用，如式（8）所示。

同理，可得到薄壁軸承滾動體接觸區(qū)域應(yīng)力分布云圖和三維曲面分布圖，如圖6（a）～圖6（c）所示。仔細(xì)觀察接觸區(qū)域輪廓近似橢圓，符合Hertz 接觸理論規(guī)律。從圖6（d）可知，用滾動體-滾道非理想接觸得到的應(yīng)力計算結(jié)果相對于傳統(tǒng)理想接觸切片法（式（7））估算軸承接觸應(yīng)力更加精確、合理，誤差相對較小。具體理論計算數(shù)值解和仿真結(jié)果，如表3 所示?？砂l(fā)現(xiàn)仿真結(jié)果和理論計算結(jié)果誤差相對較小，從而驗證用ANSYS 模擬薄壁軸承柔性接觸問題的合理性、有效性。

圖6 薄壁軸承接觸區(qū)域內(nèi)滾動體的接觸應(yīng)力Fig.6 Contact Stress of Rolling Elements in Contact Area of Thin-Walled Bearing

表3 理論數(shù)值解與仿真結(jié)果對比Tab.3 Comparison of Theoretical Numerical and Simulation

5 結(jié)論

基于柔性套圈假設(shè)得到諧波減速器中薄壁軸承接觸載荷-應(yīng)力計算模型，并建立薄壁軸承柔-柔接觸有限元仿真模型，通過理論計算與仿真分析結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，兩者誤差相對較小，為薄壁軸承設(shè)計以及壽命評估提供參考。結(jié)論如下：（1）裝配受載后諧波減速器中的薄壁軸承內(nèi)外套圈發(fā)生變形，最大變形發(fā)生在凸輪長軸附近。（2）薄壁軸承套圈的變形使?jié)L動體發(fā)生剛性移動，滾動體與內(nèi)外套圈的接觸為非理想的柔性接觸，用ANSYS 和柔性套圈假設(shè)模擬計算薄壁軸承的柔-柔接觸載荷-應(yīng)力有一定的合理性。（3）采用傳統(tǒng)剛性套圈假設(shè)以及切片法分析薄壁軸承接觸載荷-應(yīng)力誤差相對較大，有一定的局限性。