李煜彥，王奇臨

(隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)信學(xué)院,甘肅 隴南 742500)

擴(kuò)張環(huán)和模的相關(guān)問題在環(huán)模理論中扮演著重要角色.稱M是擴(kuò)張模,如果M的任意子模是其直和因子的本質(zhì)子模.眾所周知,內(nèi)射模、連續(xù)模和擬連續(xù)模等都是擴(kuò)張模.Birkenmeier等[1]對擴(kuò)張環(huán)和模進(jìn)行了推廣,提出了FI-擴(kuò)張模的概念.稱M是FI-擴(kuò)張模,如果M的任意全不變子模是其直和因子的本質(zhì)子模.近年來,一些作者借助于Gomez[2]引入的τ-本質(zhì)子模,對擴(kuò)張模進(jìn)行了更廣泛地推廣.Charalambides等[3]提出了τ-擴(kuò)張模和強(qiáng)τ-擴(kuò)張模的概念,討論了τ-擴(kuò)張模的性質(zhì),直和分解以及若干等價刻畫.Abbas等[4-5]分別研究了相關(guān)于撓理論的奇異模和非奇異模,討論了τ-奇異模和τ-擴(kuò)張模之間的緊密聯(lián)系.Albu[6]利用τ-本質(zhì)子模證明了Osofsky-Smith定理.Asgari等[7-10]把對擴(kuò)張模的研究推廣到Goldie撓理論的范疇,其中特別引入并研究了τ-FI-擴(kuò)張模.李煜彥等[11-13]從撓理論的角度分別研究了Rickart模和Baer模,Rickart模和Baer模都是與擴(kuò)張模有著緊密聯(lián)系的模類.

受上述啟發(fā),本文提出了τ-FI-擴(kuò)張模的概念,研究了τ-FI-擴(kuò)張環(huán)和模的性質(zhì),給出了τ-FI-擴(kuò)張模關(guān)于直和因子封閉的局部條件,證明了右τ-FI-擴(kuò)張環(huán)上的某些循環(huán)模仍是τ-FI-擴(kuò)張模,討論了τ-FI-擴(kuò)張模以及右τ-FI-擴(kuò)張環(huán)關(guān)于本質(zhì)擴(kuò)張的遺傳性質(zhì).

1 預(yù)備知識

引理1[3]設(shè)M是模,K,N≤M.則以下幾條成立:

1)N≤τ-eM當(dāng)且僅當(dāng)N∈Dτ(M),且對任意0≠m∈M,N∩Rm≠0;

2)若K≤N,則K≤τ-eM當(dāng)且僅當(dāng)K≤τ-eN且N≤τ-eM;

3)若N≤τ-eM,則N∩K≤τ-eK;

4)若N≤τ-eM,K≤τ-eM,則N∩K≤τ-eM;

6)若N≤τ-eM,則對任意m∈M,(N:m)={r∈R|rm∈N}≤τ-eR;

7)對任意模族{Mi|i∈I},若Ni≤τ-eMi(i∈I),則⊕INi≤τ-e⊕IMi.

由文獻(xiàn)[3，14]和[15],易得下面結(jié)論.

引理2 設(shè)K,N≤M,K是模M的直和因子.則K是N在M中的τ-補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng)K∩N=0,且K⊕N≤τ-eM.

定義1[3]稱M是τ-擴(kuò)張模,如果對任意N≤τ-dM,存在M的直和因子K,使得N≤τ-eK.

引理3 設(shè)M是模,則以下條件等價:

1)對任意N?τ-dM,存在M的直和因子K,使得N≤τ-eK.;

2)對任意N?τ-dM,存在M的直和因子K,使得K∩N=0,且K⊕N≤τ-eM;

3)對任意N?τ-dM,存在N在M中的τ-補(bǔ)K,使得K是M的直和因子.

證明由引理1,引理2易證.

下面給出τ-FI-擴(kuò)張模的定義.

定義2 稱M是τ-FI-擴(kuò)張模,如果M滿足引理3中的任何一個條件.稱R是右τ-FI-擴(kuò)張環(huán),如果RR是τ-FI-擴(kuò)張模.

引理4 設(shè)R是環(huán),I是R的τ-稠密雙邊理想.則以下成立:

2 主要結(jié)論

性質(zhì)1M是τ-FI-擴(kuò)張模當(dāng)且僅當(dāng)對任意A?τ-dM,存在e2=e∈EndR(Eτ(M)),使得A≤τ-ee(Eτ(M)),且e(M)≤τ-dM.

充分性 設(shè)A?τ-dM,則由引理1知,A≤τ-eM∩e(Eτ(M))=eM.因為eM是M的直和因子,所以M是τ-FI-擴(kuò)張模.

稱模M是τ-補(bǔ)有界的,如果M的任意τ-補(bǔ)子模都包含M的一個非零的τ-全不變子模.

性質(zhì)2 設(shè)模M是τ-補(bǔ)有界的.則M是τ-FI-擴(kuò)張模當(dāng)且僅當(dāng)對任意A?τ-dM,存在M的直和因子D,使得A?τ-dD,并且對任意K?τ-dM,如果K∩D≠0,那么K∩A≠0.

證明必要性 設(shè)M是τ-FI-擴(kuò)張模,則對任意A?τ-dM,存在M的直和因子D,使得A?τ-eD.設(shè)K?τ-dM,使得K∩D≠0,則K∩A≤τ-eK∩D≠0,故K∩A≠0.

充分性 設(shè)A?τ-dM,則存在M的直和因子D,使得A?τ-dD.

下面只需證A≤eD.

反設(shè)A不是D的本質(zhì)子模,則A在D中存在非零的τ-補(bǔ),設(shè)其為L.因為M是τ-補(bǔ)有界的,所以存在0≠K?τ-dM,使得K?L,并且K∩D=K≠0,由條件知,K∩A≠0.而0≠K∩A?L∩A=0,矛盾.

文獻(xiàn)[1]中,作者提出問題:FI-擴(kuò)張模的直和因子是否仍是FI-擴(kuò)張模?若不是,請舉出反例.類似地,對于τ-FI-擴(kuò)張模,我們也無法解決類似的問題.下面我們將從局部情形討論上述問題.為此考慮如下條件:

(*)設(shè)M=M1⊕M2,若N1?M,則N1⊕M2?M.

下面給出了模M滿足(*)條件的例子.

例1 若以下條件成立,則模M滿足(*)條件:

1)M=M1⊕M2,且Mi(i=1,2)是M的全不變子模;

2)M=R,且R=I1⊕I2,其中Ii(i=1,2)是環(huán)R的雙邊理想;

3)M=M1⊕M2,N1?M,且TrM1(M2)?M1.

其中TrM1(M2)=∑{Imh|h∈Hom(M2,M1)}.

證明1)和2)都是易證的.下面只證明3).

f(N1⊕M2)=f11(N1)+f12(M2)+f21(N1)+f22(M2)?N1⊕M2.

即N1⊕M2?M.

稱模M滿足SIP性質(zhì),如果M的任意兩個直和因子的交仍是M的直和因子.

性質(zhì)3 設(shè)M滿足(*)條件和SIP性質(zhì).如果M是τ-FI-擴(kuò)張模,則對任意M的直和因子M1,M1是τ-FI-擴(kuò)張模.

因為M滿足SIP性質(zhì),所以M1∩K是M的直和因子.設(shè)M=(M1∩K)⊕L,則M1=M1∩((M1∩K)⊕L)=(M1∩K)⊕(M1∩L),即M1∩K是M的直和因子,所以M1是τ-FI-擴(kuò)張模.

引理5[1]設(shè)M是模,N是M的直和因子,K是M的內(nèi)射子模.若N∩K=0,則N⊕K是M的直和因子.

推論1 設(shè)模M滿足(*)條件和(C3)條件.N是M的直和因子.若M是τ-FI-擴(kuò)張模,則N是τ-FI-擴(kuò)張模.

由性質(zhì)4的證明過程知,N是τ-FI-擴(kuò)張模.

令Zτ(M)={m∈M|ann(m)≤τ-eRR}={m∈M|?L≤τ-eRR,mL=0}.由文獻(xiàn)[5]知,Zτ(M)是M的τ-奇異子模.若Zτ(M)=M(Zτ(M)=0),則稱M是τ-奇異(非奇異)模.

1)I是τ-FI-擴(kuò)張模右R-模;

證明1)易證.

3)跟2)是類似的.

下面討論τ-FI-擴(kuò)張模以及右τ-FI-擴(kuò)張環(huán)關(guān)于本質(zhì)擴(kuò)張的遺傳性質(zhì).設(shè)R是環(huán),稱環(huán)S是環(huán)R的右本質(zhì)擴(kuò)張,如果RR≤eSR.

定理2 設(shè)R是環(huán),S是R的右本質(zhì)擴(kuò)張環(huán).若R是右τ-FI-擴(kuò)張環(huán),則S是右τ-FI-擴(kuò)張環(huán).

證明設(shè)L?τ-dM,D=N∩L.則對任意f∈End(N),有: