黃賢峰

(湖北民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 恩施 445000)

多屬性決策(Multi-attribute decision making，MADM)問題是指在考慮多個屬性的情況下，選擇最優(yōu)方案和對方案進行排序的決策問題，是現(xiàn)代決策科學的重要組成部分.

隨著MADM的發(fā)展，一系列的決策方法相繼提出，如TOPSIS方法[1]、VIKOR方法[2]、WAA方法[3]、ELECTRE方法[4]和TODIM方法[5]等.其中，TOPSIS方法是一種逼近正理想解的決策方法，借助多屬性決策問題中的正理想解(positive ideal solution，PIS)和負理想解(negative ideal solution，NIS)實現(xiàn)排序，但這種方法僅僅考慮到每個備選方案與PIS間的關系，存在一定的局限性；VIKOR方法注意到TOPSIS方法的這種不足.因此，VIKOR方法的優(yōu)勢在于同時考慮了每個備選方案與PIS和NIS之間的距離.此外，這些經(jīng)典的決策方法被進一步推廣到不同的決策背景，從而建立了基于不同決策背景的多屬性決策模型.如基于模糊集的多屬性決策模型[6]、基于猶豫模糊集的多屬性決策模型[7]、基于直覺模糊集的多屬性決策模型[8]和基于語言術語集的多屬性決策模型[9]等.同時，多屬性決策理論廣泛應用于各個領域，如供應鏈選擇[10]和人才選拔[11]等.然而，這些經(jīng)典的決策方法或多或少存在著一些不足，因此，本文將進一步結(jié)合優(yōu)勢關系的相關理論對TOPSIS方法進行進一步改進和完善.

在經(jīng)典粗糙集理論中往往借助等價關系(或不可區(qū)分關系)對各個備選方案進行研究.然而，在實際應用中這種關系往往過于嚴格且不具有容錯性，不能有效地解決問題.因此，Greco等[12]提出了基于優(yōu)勢關系的粗糙集理論，其主要利用優(yōu)勢關系代替條件屬性集或決策屬性集上的等價關系，但依然保持經(jīng)典粗糙集的主要性質(zhì).在優(yōu)勢關系的發(fā)展過程中，也衍生出許多研究成果，如Huang Q Q等[13]構(gòu)造一種基于復合優(yōu)勢關系的粗糙集模型，Chakhar等[14]提出了基于優(yōu)勢關系的粗糙聚合方法，Du W S和Hu B Q[15]建立了不完備序信息系統(tǒng)下基于優(yōu)勢關系的粗糙集模型.這些研究成果推動了優(yōu)勢關系在粗糙集領域的發(fā)展.因此，本文將基于優(yōu)勢關系提出一種新的決策方法從全局的角度判斷出各方案的優(yōu)劣.

本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)簡要回顧了與多屬性決策背景相關的基本概念和表示；第2節(jié)提出了基于優(yōu)勢關系的多屬性決策方法；第3節(jié)對所提出的決策方法進行了實驗分析，驗證了所提方法的合理性和有效性；第4節(jié)總結(jié)全文并提出未來可以研究的方向.

1 預備知識

主要介紹模糊信息系統(tǒng)(或模糊知識表達系統(tǒng))和TOPSIS(technique for order preference by similarity to ideal solution)方法的一些基本概念和表示.

1.1 模糊信息系統(tǒng)

模糊信息系統(tǒng)的數(shù)據(jù)常以關系表的形式給出.其中，關系表的行對應要研究內(nèi)容的對象，列對應要研究內(nèi)容的屬性，對象的各屬性值表示各對象的信息.

1.2 TOPSIS法

TOPSIS法[1]是一種逼近PIS的排序方法，它借助多屬性問題的PIS和NIS對方案集X中各方案排序.PISx+和NISx-都是方案集X中并不存在的虛擬的方案.其中，PISx+是方案集中虛擬的最佳方案；而NISx-是方案集中虛擬的最差方案.通過對方案集X中各方案和PIS及NIS的距離來進行比較，即對于方案集中既靠近PIS又遠離NIS的方案為最佳方案.

步驟1 求規(guī)范決策矩陣.設多屬性決策問題的決策矩陣為Y=(yij)n×m，則規(guī)范化決策矩陣Z=(zij)n×m.其中,

(1)

步驟2 構(gòu)成加權(quán)規(guī)范化矩陣X=(xij)n×m.

xij=wj·zij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m.

(2)

(3)

步驟4 計算各方案到PISx+和NISx-的距離.

備選方案xi到PISx+的距離為:

(4)

備選方案xi到NISx-的距離為:

(5)

步驟5 計算各方案的綜合評價值ηi.

(6)

步驟6 根據(jù)各方案的綜合評價值ηi由大到小進行排序.

1.3 熵權(quán)法

在1.2節(jié)主要討論TOPSIS方法的計算過程，然而沒有給出具體求權(quán)重的方法.為了確保屬性權(quán)重的合理性和準確性，本文將采用熵權(quán)法[16]對屬性權(quán)重進行計算，具體計算如下：

(7)

其中，zij表示規(guī)范化決策矩陣Z=(zij)n×m的元素,n表示備選方案的個數(shù).通過該方法求出的權(quán)重相較于主觀權(quán)重更加合理，有效地減少了決策者自身偏好的影響.

2 基于優(yōu)勢關系的決策方法

隨著MADM問題研究的不斷深入，一系列經(jīng)典的MADM方法相繼提出[1-5].然而，這些MADM方法仍然存在著諸多的缺陷，如考慮角度較局限，參數(shù)過多等.為了完善所存在的不足，本文將基于TOPSIS方法建立一種新的優(yōu)勢關系，進而提出一種新的決策方法.

2.1 基于TOPSIS方法的優(yōu)勢關系

TOPSIS方法，只考慮到所評價方案與PIS的距離，而忽略了與NIS的距離.同時，考慮到優(yōu)勢關系相較于經(jīng)典粗糙集理論中的等價關系而言，比較寬松和具有容錯性，因此，本文將結(jié)合TOPSIS方法建立一種新的優(yōu)勢關系.

定義2 設X={x1,x2,…,xm}是一個有限非空備選方案集，Y={y1,y2,…,ym}是一個屬性集.對于兩個方案xi和xj，若xi的綜合評價值不低于xj的綜合評價值，則認為方案xi優(yōu)于xj，記作xiR?xj；相反地，若xi的綜合評價值不高于xj的綜合評價值，則認為方案xi劣于xj，記作xiRxj.即:

R?={(xi,xj)∈X×X|ηi≥ηj},

R={(xi,xj)∈X×X|ηi≤ηj}.

(8)

分別表示優(yōu)勢關系和劣勢關系.

定義3 根據(jù)定義2所定義的優(yōu)勢關系R?和劣勢關系R，可以進一步定義xi∈X的優(yōu)勢集和劣勢集分別為:

[xi]R?={xj|xiR?xj∧xj∈X},

[xi]R={xj|xiRxj∧xj∈X}.

(9)

如果xj∈[xi]R?，即xiR?xj，說明xi優(yōu)于xj.同樣地，如果xj∈[xi]R，即xiRxj，說明xi劣于xj.

例1 一個投資公司打算選擇一些投資項目來利用其閑置的資金，有8個備選投資項目.其中，3個高科技項目(x1,x2,x3)，3個互聯(lián)網(wǎng)項目(x4,x5,x6)，2個文化教育項目(x7,x8).決策者將根據(jù)預期效益(y1)、環(huán)境影響(y2)、市場飽和(y3)、社會效益(y4)和節(jié)能(y5)這5個標準對備選投資項目進行評價.顯然，預期效益、社會效益和節(jié)能是效益標準.環(huán)境影響和市場飽和是本例中的成本標準.各屬性評價值為0和1之間的數(shù).評價結(jié)果見表1.

表1 評估矩陣Tab.1 Evaluation matrix

根據(jù)式(7)可知屬性權(quán)重向量為w={0.152 5 0.183 5 0.363 3 0.118 3 0.182 3}.同時，由式(4)和式(5)知方案xi(i=1,2,…,8)到PIS和NIS的距離如表2所示.

表2 方案xi(i=1,2,…,8)到PIS和NIS的距離Tab.2 Distance of alternative xi(i=1,2,…,8) to PIS and NIS

根據(jù)式(6)可知方案xi(i=1,2,…,8)的綜合評價值分別為0.746 8，0.505 5，0.303 5，0.739 4，0.406 7，0.181 1，0.140 5.同時，根據(jù)定義2和定義3，有：

[x1]R?={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x8},[x1]R={x1,x7},

[x2]R?={x2,x3,x5,x6,x8},[x2]R={x1,x2,x4,x7},

[x3]R?={x3,x6,x8},[x3]R={x1,x2,x3,x4,x5,x7},

[x4]R?={x2,x3,x4,x5,x6,x8},[x4]R={x1,x4,x7},

[x5]R?={x3,x5,x6,x8},[x5]R={x1,x2,x4,x5,x7},

[x6]R?={x6,x8},[x6]R={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},

[x7]R?={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8},[x7]R={x7},

[x8]R?={x8},[x8]R={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}.

2.2 相對優(yōu)于度

為了進一步從全局角度對每個方案進行研究，本文將在2.1節(jié)所定義優(yōu)勢集和劣勢集的基礎上，進一步定義每個方案的相對優(yōu)于度.

定義4 設(X,Y)是一個模糊信息系統(tǒng)，[xi]R?和[xi]R分別表示方案xi∈X的優(yōu)勢集和劣勢集.則方案xi(i=1,2,…,n)的相對優(yōu)于度(relative superior degree,RSD)為：

(10)

其中，|*|表示集合*的基數(shù).且RSD(xi)表示方案xi∈X優(yōu)于其他方案的相對程度.因此，RSD(xi)越大，說明方案xi越優(yōu).

例2(例1續(xù)) 根據(jù)例1，得出每個方案的優(yōu)勢集和劣勢集，進而可以借助定義4計算出每個方案的相對優(yōu)于度.計算結(jié)果如表3所示.

表3 方案xi(i=1,2,…,8)的相對優(yōu)于度Tab.3 Relative superiority of scheme xi(i=1,2,…,8)

根據(jù)表3，有8.00 0>3.500 0>2.000 0>1.250 0>0.800 0>0.500 0>0.285 7>0.125 0，則：

x7>x1>x4>x2>x5>x3>x6>x8.

因此，按照相對優(yōu)于度大小得出的最優(yōu)方案為x7.

3 實驗分析

為了說明所提出方法的合理性和有效性，本文將進一步將所提方法和經(jīng)典的決策方法進行比較分析，如TOPSIS方法，VIKOR方法和WAA方法等.同時，為了進一步說明所提出方法的有效性，本文將選取UCI數(shù)據(jù)庫(http://archive.ics.uci.edu/ml/)中的兩個數(shù)據(jù)集(Algerian Forest Fires和Lymphography)進行數(shù)據(jù)集實驗.

3.1 比較分析

MADM作為一門成熟的領域，目前提出了一系列合理且有效的決策方法.因此，為了說明所提方法的合理性，本文將所提方法和3種經(jīng)典決策方法(TOPSIS方法[1]、VIKOR方法[2]和WAA方法[3])進行比較.得到的排序結(jié)果如表4所示.根據(jù)表4，可以看出本文所提出的方法和經(jīng)典決策方法的排序結(jié)果類似，但本文所提出的方法相較于經(jīng)典決策方法考慮得更具有全局性，不單單考慮每個備選方案自身的因素.因此，本文所提出的方法存在著一定的合理性，可以有效地實現(xiàn)對所有方案的排序.

表4 不同方法的排序結(jié)果Tab.4 Ranking results of different methods

3.2 數(shù)據(jù)集實驗

為了進一步說明所提方法的有效性和優(yōu)越性，本文將借助UCI數(shù)據(jù)庫(http://archive.ics.uci.edu/ml/)中的兩個數(shù)據(jù)集(Algerian Forest Fires和Lymphography)進行數(shù)據(jù)集實驗.對于Algerian Forest Fires而言，根據(jù)實驗需要僅保留4個屬性：正午溫度 (效益型屬性),相對濕度 (成本型屬性),風速(成本型屬性) 和降水量(成本型屬性).同時，對于Lymphography數(shù)據(jù)集而言，保留屬性lymphatics,lym.nodes dimin ,lym.nodes enlar ,changes in lym,defect in node,changes in node and special forms，且均為成本型屬性.實驗結(jié)果和最優(yōu)方案如圖1和表5所示.

圖1 數(shù)據(jù)集Algerian Forest Fires和Lymphography對比結(jié)果Fig.1 Comparison results of data sets Algerian Forest Fires and Lymphography

表5 不同數(shù)據(jù)集在不同決策方法下的最優(yōu)方案Tab.5 Optimal solutions for different data sets under different decision methods

從圖1可以看出，本文所提方法所得實驗結(jié)果和經(jīng)典的決策方法非常相似.同時，借助表5可知最優(yōu)方案完全一致，充分說明本文所提方法的有效性和合理性.此外，相較于經(jīng)典決策方法只單純從每個方案自身出發(fā)，考慮自身的優(yōu)越性，而未考慮到各方案與其他方案之間的聯(lián)系.因此，基于兩個數(shù)據(jù)集實驗可以看出本文所提決策方法的有效性和優(yōu)越性.

4 結(jié)論

基于TOPSIS方法，提出了一種新的多屬性決策方法.通過考慮各方案與其他方案之間的關系，從全局的角度對每個備選方案進行綜合評價.通過案例分析和實驗分析對所提方法的合理性和有效性進行驗證.同時，本文的主要貢獻如下：

1) 基于TOPSIS方法，本文定義了一種新的優(yōu)勢關系和劣勢關系，可以有效地避免不可區(qū)分關系過于嚴厲和不具有容錯性的缺陷.

2) 通過借助優(yōu)勢關系和劣勢關系從全局角度對每個備選方案進行研究，可以有效考慮到各方案與其他方案之間的關系，更高效的實現(xiàn)決策.

此外，考慮到MADM的發(fā)展，在未來的研究中，可以進一步將本文所提出的方法結(jié)合不同的信息系統(tǒng)下展開研究，如直覺模糊信息系統(tǒng)[17]和不完備信息系統(tǒng)等.同時，可以結(jié)合機器學習[18]、主動學習[19]及概念分析[20]等領域展開研究.