劉 碩，張師源，林 朗

（中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長沙 410083）

0 引言

芯片固化環(huán)節(jié)是半導(dǎo)體芯片生產(chǎn)的一個(gè)關(guān)鍵過程，該環(huán)節(jié)需要在固化爐內(nèi)進(jìn)行。在固化過程中，環(huán)氧樹脂等材料通常需要特定的固化溫度，以及穩(wěn)定均勻的溫度場分布[1]。因此，對(duì)固化爐溫度場的分析與控制有很高的要求，而分析與控制的關(guān)鍵，就是對(duì)爐內(nèi)溫度場建立一個(gè)準(zhǔn)確、可靠的模型。

固化爐的熱動(dòng)態(tài)過程屬于典型的非線性分布參數(shù)系統(tǒng)（Distributed Parameter System，DPS），通常用偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）來表示[2]。DPS具有無限維時(shí)空動(dòng)態(tài)特性以及非線性特性，因此精確的PDE很難獲得。在工程應(yīng)用中，通常將無限維DPS近似為有限維的常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）[3]，所以模型的降階技術(shù)是非常重要的。

對(duì)于模型已知的DPS，鄧華[4]等提出了一種基于譜近似的智能建模方法，將譜方法用于時(shí)空分離和模型降維，得到低階ODE模型，并設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器用于ODE的狀態(tài)估計(jì)；蔣勉[5]將譜方法所得到的基函數(shù)進(jìn)行展開和截?cái)喃@得系統(tǒng)的最優(yōu)基函數(shù)，并通過傳統(tǒng)智能方法來近似系統(tǒng)時(shí)間動(dòng)態(tài)，得到了熱軋過程的時(shí)空耦合模型。但是由于在工程中很難確定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，所以上述方法不便于對(duì)實(shí)際工業(yè)過程應(yīng)用。

對(duì)于模型未知的DPS，基于數(shù)據(jù)的Karhunen-Loève（KL）方法已經(jīng)被廣泛使用。NejibSmaoui[6]對(duì)兩個(gè)偏微分方程的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行KL分解，得到其數(shù)據(jù)系數(shù)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測數(shù)據(jù)系數(shù)，得到了一個(gè)智能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；Qi C等結(jié)合KL與傳統(tǒng)的集中參數(shù)方法，提出了KL-Hammerstein模型[7]、KL-Wiener模型[8]、KL-Volterra模型[9]；Liu Z[10]等提出了一種適用于鋰離子電池溫度分布在線估計(jì)的KL-極限學(xué)習(xí)機(jī)（Extreme LearningMachines，ELM）模型，使用ELM對(duì)時(shí)間系數(shù)進(jìn)行擬合。傳統(tǒng)的時(shí)空分離建模中，KL方法是一種線性降維方法，其得到的空間基函數(shù)不能完全精確的表達(dá)系統(tǒng)的非線性特征。

本文提出一種基于局部切空間排列（Local Tangent Space Alignment，LTSA）[11]的爐溫時(shí)空建模方法，該方法是一種基于數(shù)據(jù)的非線性建模方法，利用LTSA對(duì)芯片固化溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)空分離和降維，得到的空間基函數(shù)可以更精確地表達(dá)系統(tǒng)的非線性特征。然后將時(shí)空數(shù)據(jù)投影到空間基函數(shù)上，得到低階的時(shí)間系數(shù)。利用一種智能學(xué)習(xí)算法徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）擬合低階時(shí)間系數(shù)，該方法能夠處理系統(tǒng)內(nèi)部的非線性規(guī)律，并且可以克服局部最小的問題[13,14]。最后通過時(shí)空合成，得到固化溫度場的全局時(shí)空溫度分布。通過在實(shí)驗(yàn)室簡易固化爐上采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，并與傳統(tǒng)的KL時(shí)空建模進(jìn)行比較。結(jié)果表明該方法擬合效果比較準(zhǔn)確，對(duì)于工業(yè)熱過程的分析與控制具有良好的意義。

1 問題描述

芯片固化爐的熱動(dòng)態(tài)過程是一個(gè)二維的分布參數(shù)系統(tǒng)，其分布在x和y方向上的熱過程可以表述為：

其中，T（x，y，t）為時(shí)空分布的溫度，℃；ρ為爐內(nèi)傳熱氣體的密度，kg/m3；cρ為傳導(dǎo)介質(zhì)的比熱容，J/（kg.℃）；λx和λy為傳熱介質(zhì)在x和y方向的傳導(dǎo)率，W/（m.℃）；Q（x，y，t）為熱源，W/m3；h為對(duì)流傳熱的傳導(dǎo)率，W/（m.℃）；Tair為環(huán)境大氣的溫度，℃；x，y為爐室內(nèi)的坐標(biāo)，m；t為時(shí)間變量，s。

2 基于LTSA的時(shí)空建模策略

提出了一種基于LTSA的時(shí)空建模策略，通過非線性降維方法局部切空間排列（LTSA）來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的KL方法對(duì)模型進(jìn)行降維，獲得空間基函數(shù)和低階時(shí)間系數(shù)，利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFNN）對(duì)時(shí)間系數(shù)進(jìn)行建模，通過時(shí)空合成，得到全局的固化爐溫度場時(shí)空分布。

在基于數(shù)據(jù)的時(shí)空分離框架下，將時(shí)空變量T（S，t）寫成時(shí)空分離的形式，如下：

得到空間基函數(shù)之后，將時(shí)空分布的數(shù)據(jù)T（S，t）向基函數(shù)上投影，即可獲得對(duì)應(yīng)的時(shí)間系數(shù)：

括號(hào)表示內(nèi)積，得到時(shí)間系數(shù)之后，對(duì)其使用基于數(shù)據(jù)的方法建模，建模預(yù)測時(shí)間系數(shù)為得到后，進(jìn)行時(shí)空重構(gòu)，獲得全局的溫度場時(shí)空分布：

2.1 局部切空間排列

局部切空間排列算法（LTSA）是一種局部非線性降維方法，在降維過程中可以保留系統(tǒng)的非線性特征。算法主要思想是利用樣本點(diǎn)鄰域的局部切空間來表征局部的幾何性質(zhì),然后將局部切空間進(jìn)行排列得到全局的低維坐標(biāo) 。算法的主要步驟如下：

1）局部坐標(biāo)擬合

將Xi中心化，得到為鄰域矩陣中心點(diǎn)，對(duì)中心化鄰域矩陣進(jìn)行奇異值分解，其前d個(gè)最大的奇異值對(duì)應(yīng)的左右奇異向量構(gòu)成的矩陣為Qi、Vi。所以局部切空間中樣本點(diǎn)的局部坐標(biāo)矩陣為：

2）局部坐標(biāo)排列

其中，Li為待定的映射矩陣；為重構(gòu)誤差；是τi的中心化矩陣。記則式(8)可以被轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

極小化重構(gòu)誤差來保證局部坐標(biāo)的低維特征：

2.2 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFNN）是一種可靠的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，一般具有三層的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，能夠處理系統(tǒng)內(nèi)部難以理解的復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，可以找到系統(tǒng)的最佳逼近，很好的逼近任意非線性函數(shù)。RBFNN具有訓(xùn)練速度快、逼近效果好等優(yōu)點(diǎn)，且不會(huì)陷入局部最小的麻煩。RBFNN的基本結(jié)構(gòu)分為三層：輸入層、輸出層和隱含層，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 RBFNN基本結(jié)構(gòu)

其中輸入層、隱含層、輸出層的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為m、n、k，xi表示輸入層第i（i=1，…，m）個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入信號(hào)，yj表示輸出層第j（i=1，…，k）個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出信號(hào)，hs（X）為隱含層第s（s=1，…，n）個(gè)節(jié)點(diǎn)的激活函數(shù)，wsj表示連接第s個(gè)隱含節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的權(quán)值。

輸入層主要作用為輸入信息到系統(tǒng)中，與隱含層之間沒有權(quán)值連接，不改變數(shù)據(jù)，輸入信號(hào)需要進(jìn)行歸一化處理。

隱含層主要作用是通過激活函數(shù)對(duì)輸入信息進(jìn)行處理，并將處理后的數(shù)據(jù)傳遞到輸出層，其神經(jīng)元個(gè)數(shù)根據(jù)實(shí)際需要來具體確定。激活函數(shù)為徑向基函數(shù)，通常使用高斯徑向基函數(shù)。高斯徑向基函數(shù)是一個(gè)非線性函數(shù)，可以將系統(tǒng)輸入變換到高維進(jìn)行處理，具有局部響應(yīng)的特征，其表達(dá)式如下，其中，cs和δs為第s個(gè)神經(jīng)元激活函數(shù)的中心和寬度：

輸出層主要作用是通過線性函數(shù)對(duì)隱含層的輸出進(jìn)行響應(yīng)。其每個(gè)節(jié)點(diǎn)和隱含層各個(gè)節(jié)點(diǎn)有權(quán)值連接，通過加權(quán)求和得到徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最終輸出，如下：

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文利用實(shí)驗(yàn)室自制芯片固化爐進(jìn)行固化熱過程的實(shí)驗(yàn)，利用dSPACE實(shí)時(shí)半實(shí)物仿真平臺(tái)進(jìn)行加熱板控制信號(hào)的傳送和固化爐溫度數(shù)據(jù)的采集。

3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

芯片固化爐的結(jié)構(gòu)如圖2所示，四個(gè)相同的700W加熱板均勻分布在其內(nèi)部，每個(gè)加熱板由一個(gè)脈寬調(diào)制信號(hào)（PWM）控制，引線框架水平面上均勻的布置16個(gè)相同的傳感器，負(fù)責(zé)采集溫度信息。傳感器的平面位置分布如圖3所示。

圖2 芯片固化爐結(jié)構(gòu)圖

圖3 熱電偶傳感器的平面分布

dSPACE實(shí)時(shí)系統(tǒng)是由德國dSPACE公司研發(fā)的一套基于MATLAB/Simulink的實(shí)時(shí)控制與測試平臺(tái)。該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了與MATLAB/Simulink的無縫連接，并可以進(jìn)行代碼的自動(dòng)生成，無需編程即可實(shí)現(xiàn)控制策略的測試與應(yīng)用，已廣泛的應(yīng)用到機(jī)器人、工業(yè)控制、無人等領(lǐng)域。

本文所使用的dSPACE實(shí)驗(yàn)平臺(tái)以DS1006板卡為dSPACE系統(tǒng)的處理器，與主控計(jì)算機(jī)相連并進(jìn)行數(shù)據(jù)交換。通過MATLAB/Simulink制定合適的控制策略，并通過DS2103板卡和繼電器將控制信號(hào)PWM波輸出到加熱板上。通過熱電偶傳感器采集固化爐溫度信號(hào)，經(jīng)過DS2002板卡傳輸?shù)絛SPACE系統(tǒng)，并輸入到控制計(jì)算機(jī)中。圖4為dSPACE實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的硬件框圖。

圖4 dSPACE實(shí)驗(yàn)平臺(tái)硬件框圖

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)通過dSPACE系統(tǒng)控制固化爐溫度到190℃左右，然后輸入隨機(jī)的PWM占空比信號(hào)，其中第三個(gè)加熱板的輸入信號(hào)如圖5所示。采集2800組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采樣間隔為10s，其中前1400組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練模型，后1400組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用于測試模型的效果和精度。

圖5 加熱板3 PWM輸入信號(hào)

對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)使用LTSA算法進(jìn)行時(shí)空分離和降維，鄰域點(diǎn)為13個(gè)，空間基函數(shù)的階數(shù)為n=5，獲得五階空間基函數(shù)。其中，第二階和第四階的空間基函數(shù)如圖6所示。

圖6 第2階與第4階空間基函數(shù)

將時(shí)空分布的溫度數(shù)據(jù)向基函數(shù)上投影得到相應(yīng)的時(shí)間系數(shù)ai（t），使用RBFNN模型來近似時(shí)序動(dòng)態(tài)特性，輸入為四塊加熱板的PWM輸入信號(hào)，輸出為時(shí)間系數(shù)，其隱藏層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)選為100。使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)訓(xùn)練模型，使用測試數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。測試數(shù)據(jù)的第二階和第四階時(shí)間系數(shù)擬合效果如圖7所示，其中藍(lán)色表示模型預(yù)測值，紅色表示真實(shí)值。從圖中可以看出，模型具有很好的擬合準(zhǔn)確度。

圖7 時(shí)間系數(shù)擬合效果

將空間基函數(shù)φ（S）和預(yù)測輸出的時(shí)間系數(shù)進(jìn)行合成，得到時(shí)空分布的溫度場為了評(píng)價(jià)所建立模型的精確度，給出以下幾個(gè)誤差指標(biāo)。

選取11號(hào)傳感器觀察模型在測試數(shù)據(jù)上的效果，其中圖8為預(yù)測溫度和實(shí)際溫度對(duì)比，圖9為11號(hào)傳感器的相對(duì)誤差（ARE）。11號(hào)傳感器的溫度數(shù)據(jù)在測試數(shù)據(jù)上的最大誤差為1.9697℃，最大相對(duì)誤差為1.09%，相對(duì)誤差基本在1%以內(nèi)。因此，模型對(duì)于固化爐溫度場的預(yù)測精度是比較高的。

圖8 11號(hào)傳感器預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比

圖9 11號(hào)傳感器相對(duì)誤差分布

選取最后一個(gè)時(shí)間點(diǎn)即28000s時(shí)，將模型輸出的溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行三階插值，得到此時(shí)刻的固化爐溫度場全局空間分布。圖10為該時(shí)刻模型預(yù)測溫度空間分布，圖11為該時(shí)刻模型輸出的相對(duì)誤差分布?？梢钥闯瞿Ｐ驮诳臻g上的相對(duì)誤差大約都在1%以內(nèi)，精度較高，可以準(zhǔn)確預(yù)測固化爐溫度場。

圖10 28000s時(shí)模型預(yù)測溫度分布

圖11 28000s時(shí)模型預(yù)測相對(duì)誤差分布

為了展現(xiàn)所提出的模型與KL方法的對(duì)比，使用同樣的實(shí)驗(yàn)環(huán)境和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過KL-RBFNN對(duì)固化爐溫度場進(jìn)行時(shí)空分離建模。兩種方法誤差對(duì)比如表1所示，從表中可以看出，所提出的基于LTSA的時(shí)空分離策略建模精度比傳統(tǒng)的KL要高。

表1 兩種方法的RMSE值對(duì)比

4 結(jié)語

1）提出了一種基于LTSA的時(shí)空建模方法，對(duì)芯片固化爐爐溫系統(tǒng)進(jìn)行了基于數(shù)據(jù)的建模分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，該方法對(duì)于固化熱過程的建模比較有效。

2）與常用的KL-時(shí)空模型進(jìn)行了比較，相較于KL-時(shí)空模型，該模型的精度更高，并且適用于實(shí)際工業(yè)熱過程，對(duì)工業(yè)典型熱過程的建模與分析具有良好的價(jià)值。